专题02 平面向量（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（黑龙江专用）

专题02 平面向量 题型概览 题型01平面向量的实际背景及基本概念 题型02平面向量的数量积 题型03平面向量的线性运算 题型04平面向量的基本定理及坐标表示 题型05解三角形和平面向量的结合 题型06平面向量的应用举例 平面向量的实际背景及基本概念题型01 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】B 【分析】利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错； 对于B选项，向量与向量的模相等，B对； 对于C选项，若，则无意义，C错； 对于D选项，零向量的方向任意，D错. 故选：B. 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）以下关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量 【答案】AD 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答. 【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确； 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确； 零向量有方向，其方向是任意的，C不正确； 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选：AD 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中，不正确的是（    ） A．若为单位向量，且，则 B．若，，则 C． D．若平面内有四点，则必有 【答案】ABC 【分析】由共线向量的特征可知AB错误；由向量数量积运算的定义可知C错误；由向量线性运算可知D正确. 【详解】对于A，，与同向或反向，或，A错误； 对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：ABC. 平面向量的数量积题型02 4．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知：，，向量与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据向量的数量积公式计算即可； （2）根据向量的模公式计算即可； （3）根据向量的夹角公式计算即可. 【详解】（1）由题意，根据向量的数量积公式得 （2）根据向量的模公式得 （3）根据向量的夹角公式得 . 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，则 ． 【答案】9 【分析】根据题意可得为直角三角形，利用向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知，即可得； 可得； 所以. 故答案为：9 6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，,的夹角，若，则 ． 【答案】 【分析】根据垂直关系可得数量积为0，即可结合数量积的运算律求解. 【详解】由，以及可得， 由可得， 解得， 故答案为： 7．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】由，可得，即可判断的形状. 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 8．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知的内角的对边分别为，，，，点为的外接圆圆心，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，由余弦定理求解；对B，根据点O为ABC的外接圆圆心，利用投影求解；对C，由，再利用数量积的投影求解；对D，根据，由，联立求解. 【详解】对A，由余弦定理知，又，所以，A正确； 对B，因为点O为ABC的外接圆圆心，所以，，所以，B错误； 对C， ，C正确； 对D，因为，则， 又，即①， 同理， 即，所以②， 联立①②，解得，，，D正确． 故选：ACD 9．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量满足，，． (1)求与的夹角； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积的性质及运算规律即可求解； （2）由，再利用求模公式求解． 【详解】（1）因为，，，设， 所以， 所以，因为， 所以，即与的夹角为； （2）因为， 则， 故． 10．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知，且的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先求出数量积，再根据投影向量公式需求求出，进而根据投影向量公式即可求解. 【详解】由题， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B. 11．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据数量积的定义求出，再求出、，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】∵两个向量，的夹角是，是单位向量，， ∴． ∵，∴， ∴． 设向量与的夹角为，则，∵，∴． 故选：A． 12．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则 . 【答案】 【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得. 【详解】记与交于点O，， 由题知，①， 在中，由余弦定理有②， 联立①②解得， 所以， 因为，所以. 所以， 以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以. 故答案为： 13．（23-24高一下黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积和向量的模求夹角的余弦. 【详解】. 故选：D 14．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 【答案】3 【分析】由已知，作，由正六边形的性质得，再由数量积公式，结合图形，当在处时，最大，计算可得答案. 【详解】由已知，正六边中，得， 作，垂足为， 要使最大，必须让， 所以， 如图可知，当在处时，最大，从而最大， 此时， 所以的最大值是3.      故答案为：3. 15．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知向量与的夹角为. (1)求的值； (2)若，求在上的投影向量的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用数量积性质，将所求转化为向量数量积计算即可； （2）根据投影向量公式直接求解可得. 【详解】（1）因为向量与的夹角为， 所以， 所以 （2）由投影向量公式可得： . 16．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. (3)若一条直线与坐标系相交，分别交，两轴于两点且，求锐角三角形的周长的取值范围. 【答案】(1)6； (2)； (3). 【分析】（1）由数量积的定义求出，又，，根据定义计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律求出，即可得解； （3）由正弦定理可得，，将三角形的周长转化为的三角函数，再由正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）依题意， 又，， 所以，，∴； （2）因为，所以， 所以， 所以. （3） 由正弦定理得， 即，， ， 又，， ，，， 即周长的取值范围为. 17．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直得到，再根据投影向量的公式计算得到答案. 【详解】，则，故， 在方向上的投影向量. 故选：D. 18．（21-22高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，满足，，且、的夹角为45°． (1)求； (2)若，求实数k的值． 【答案】(1)1； (2)﹒ 【分析】(1)根据即可计算； (2)，根据数量积运算律即可计算． 【详解】（1）因，，与的夹角为45°， 则， ； （2）又， 则， 解得﹒ 19．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】，展开计算得，根据，则得到其最小值. 【详解】. 因为,所以，当且仅当时取等号， 所以,则的最小值是. 故答案为：. 20．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由数量积的运算律化简后得出正确选项 【详解】由题意得，故 ∴，△ABC是直角三角形 故选：C 21．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）在中，，，，则下列四个结论中正确的是（    ） A． B．若，则为锐角三角形. C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】三角形中向量首尾相接，可知选项A正确；通过向量数量积的性质可知选项B、C正确与否；将展开，结合余弦定理，可求出，可知选项D正确. 【详解】中，，，，. ，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定是锐角三角形，故B错. ，则，则直角三角形，故C正确. ，即，， 又因为， 所以，所以，则为直角三角形，故D正确. 故选：ACD. 22．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，， 向量在向量方向上的投影向量为. 故选：D. 23．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量是 【答案】BCD 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算逐项判断. 【详解】对于A：，故A错误. 对于B：，因为，所以，故B正确； 对于C：，则，故C正确； 对于D：在上的投影向量是，故D正确. 故选：BCD. 24．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示公式、平面向量共线的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】A：当时，，，因为，所以，因此本选项正确； B：由（1）可知，该选项不正确； C：当时，向量，，因为，所以，即 ，因此本选项正确； D：因为，所以有，所以，因此本选项不正确， 故选：AC 25．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知，，且，则向量在向量上的投影等于（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的几何意义计算可得； 【详解】解：因为，，且， 所以向量在向量上的投影等于； 故选：A 平面向量的线性运算题型03 26．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（    ） A．当时，直线过边的中点 B．若时，与的面积之比为 C．若，且，则 D．若，且，则满足 【答案】AD 【分析】对于A，根据向量的线性运算结合向量数乘的含义可判断A;对于B，利用作图，结合向量加减法的几何意义，可判断与的面积之比；对于C，由条件可判断为等边三角形，利用数量积的定义即可求得的值；对于D,由得，，平方后结合数量积的运算可推得结果. 【详解】对于A，设AB的中点为D，则当时，有, 即得O,C,D三点共线，故直线过边的中点，故A正确； 对于B，延长OA至,使 , 延长OB至,使, 连接,设其中点为E,连接OE并延长至 ，使 , 连接 ,则四边形是平行四边形， 所以，而时，， 故,即 三点共线，且， 根据同底等高三角形面积相等，则, 即与的面积之比为，故B错误； 对于C，由于且时，， 故O为的外心和重心，故为等边三角形， 则,由可得， 故，故C错误； 对于D，因为，且， 由得，， 所以,即，故D正确， 故选：AD. 27．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知，，与的夹角为. (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，，，，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出，再根据数量积的运算律计算可得； （2）根据数量积的运算律求出，，，再由夹角公式计算可得； （3）根据平面向量共线定理及基本定理求出，由垂直得到，即可求出. 【详解】（1）因为，，与的夹角为， 所以， 所以 . （2）因为 ， ， ， 设与的夹角为， 则， 即与夹角的余弦值为； （3）因为与不共线，若，则， 所以，解得， 又，所以， 即，即，解得， 所以. 28．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数量积、单位向量、向量的线性运算确定三角形状，再由向量的模长确定三角形的边长，从而建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求的最小值即可. 【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线， 又，故的平分线与垂直，由三线合一得到， 取的中点，因为，故， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C． 29．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解. 【详解】因为所以 因为三点共线， 所以即, 又因为， 所以,且为不共线的非零向量， 所以，解得， 所以， 所以 . 故选：B. 30．（21-22高一下·黑龙江大庆·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为，E为边BC中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分别表示向量，再求并结合投影向量的定义计算作答. 【详解】正方形ABCD的边长为，E为边BC中点，则，，而， 则，又，即是单位向量， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C 31．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，将用表示，再根据E，F，P三点共线，求得λ即可得答案． 【详解】由E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，得， 设，由E，F，P三点共线，得，解得， 所以. 故选：B 32．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题正确的是（    ） A．若非零向量，满足，则与是平行向量 B．已知平面内的一组基，则也是一组基 C．已知，则是单位向量 D．若是正三角形的中心，则 【答案】AB 【分析】根据共线向量定理可分析可得正确；利用向量的坐标运算进行计算可得错误；作出图象，观察图象可得错误. 【详解】由知方向相反，是平行向量，选项A正确； 已知不共线，若存在非零实数，使）， 化为，则必有，此方程组无解，故不存在， 所以与不共线，则是一组基，选项B正确； 已知，所以，则，不是单位向量，选项C错误； 若是正三角形的中心，作出图象可知，选项D错误，    故选: 33．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据向量线性运算法则可得，又，化简整理可得结果． 【详解】在中，，所以，所以，所以，． 【点睛】本题考查向量的线性运算，属基础题． 平面向量的基本定理及坐标表示题型04 34．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）对于非零向量，定义变换，得到一个新的向量，则关于该变换，下列说法正确的是（    ） A．若为任意实数，则 B．若，则 C．若，则 D．存在使得 【答案】ABC 【分析】由定义变换的新向量，结合数乘运算定义判断选项A，结合向量平行的条件验证选项B，结合向量垂直的条件验证选项C，由向量夹角的坐标运算验证选项D. 【详解】对于选项A，因为，所以， 所以，故A正确； 对于选项B，，设，若，则， ，， 所以，即，故B正确； 对于选项C，若，则， 所以，故C正确； 对于选项D，， ，所以，故D错误. 故选：ABC. 35．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）点是的外心，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则为的垂心 D．若，，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由平面向量数量积的定义，即可判断A，由平面向量基本定理，代入计算，即可判断BC，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，即可判断D. 【详解】因为，故A正确； 由可知，三点共线， 又可知，点在的角平分线上， 所以为的角平分线，与不一定相等，故B错误； 若，则点是的中点，又点是的外心， 所以，即为直角顶点，所以为垂心，故C正确；    因为，所以，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，其中， 因为，所以， 得， ，， 则，则， 所以，故D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题主要考查了平面向量的运算，以及平面向量基本定理的应用，难度较大，解答本题的关键在于应用好平面向量基本定理，以及转化为平面向量坐标运算. 36．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量. (1)若，求； (2)若，求，并求出向量与的夹角. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由得，解出的值，得到，进而得到； （2）由，解出的值，得到，由公式，再结合夹角的范围得到出向量与的夹角. 【详解】（1），因为， 所以， 解得，此时， 所以. （2），因为， 所以，解得， 此时， ，，， 所以， 又因为， 所以向量与的夹角. 37．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示可得，结合建立方程，解出x，结合模的坐标表示即可求解； （2）根据线性运算的坐标表示可得，由建立方程，解出x，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】（1），则， 又，所以，解得， 故，所以. （2），则， 又，所以，解得， 故，得， 所以，又， 所以，即与的夹角为. 38．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=    (1)试用，表示； (2)若，求∠ARB的余弦值 (3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案. 【详解】（1）因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. （2）由（1），，， 则，，. 则； （3）由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则. 39．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直角梯形中，//.    (1)求； (2)若与共线，求的值； (3)若为边上的动点（不包括端点），求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出各点坐标，求得的坐标，利用数量积的坐标运算即可求得结果； （2）根据（1）中所求点的坐标，写出与的坐标，根据向量共线的坐标表示，即可求得参数值； （3）设，求出点的坐标，再求得关于的函数关系，进而求得函数的最小值即可求得结果. 【详解】（1）过作，易知，又，故可得； 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下所示：    则，， 故. （2）由（1）可知，， 故， 若与共线，则，解得. （3）设，则，易知， 则 则， 对，其对称轴，故其最小只能为； 故的最小值为. 40．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若（，），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加法，减法和数乘得到，再利用待定系数法求解. 【详解】解：因为， 所以，所以， 所以，，． 故选：D 41．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图：在中，已知与交于点．    (1)用向量表示向量； (2)过点作直线，分别交线段于点，设，若，，当取得最小值时，求模长． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）设，将向量分别用和表示，根据三点共线可求的值；； （2）将向量用表示，由三点共线，可得，由基本不等式可解. 【详解】（1）设，将代入， 得,因为三点共线，且三点共线， 所以，得 即． （2）， 则，因为三点共线， 则，即 当且仅当，即时取得等号． 此时 . 42．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，点是线段上一点. (1)若点是线段的中点，试用和表示向量； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据向量的线性运算法则求解； （2）根据向量线性运算利用表示，结合平面向量基本定理列方程求的值. 【详解】（1）因为点是线段的中点，且， 所以. 所以； （2）设，则 ， 又， 所以， 因为， 所以， 所以. 43．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】变形为，由得，转化在中，利用三点共线可得. 【详解】解：依题： ， 又三点共线， ，解得． 故选：． 【点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程： 三点共线⇔ (为平面内任一点,) 44．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知向量，下列结论正确的是（    ） A．与能作为一组基底 B．与同向的单位向量的坐标为 C．与的夹角的正弦值为 D．若满足，则 【答案】ACD 【分析】对于A两个不共线的向量可以作为平面的一组基底；对于B与向量同向的单位向量为；对于C可以用夹角公式先求夹角的余弦，再用平方关系求正弦；对于D代模长公式计算即可. 【详解】对于A，因为，所以不存在实数使得， 所以与能作为一组基底，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以与同向的单位向量的坐标为，故B错误； 对于C，因为， 所以与的夹角的正弦值为，故C正确； 对于D，因为， 所以，解得，故D正确． 故选：ACD． 解三角形和平面向量的结合题型05 45．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算可得，即点在线段上，且,由三角形面积公式可得，得解. 【详解】解：因为点是所在平面上一点，又， 所以,即,即， 则点在线段上，且, 又，, 又，即， 所以点在线段上，且, ， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考查了运算能力，属中档题. 平面向量的应用举例题型05 46．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 【答案】ABD 【分析】用向量表示三角形的四心. 【详解】选项A：如图，点O为的重心时，，故A正确；    选项B：若点O为的外心，如图，为线段的垂直平分线， 则，同理， ，故B正确；    选项C：当时，则为的垂心，，重合，此时，故C错误；    选项D：若点O为的内心，在的平分线上， 则，故D正确. 故选：ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面向量 题型概览 题型01平面向量的实际背景及基本概念 题型02平面向量的数量积 题型03平面向量的线性运算 题型04平面向量的基本定理及坐标表示 题型05解三角形和平面向量的结合 题型06平面向量的应用举例 平面向量的实际背景及基本概念题型01 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）以下关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等 C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中，不正确的是（    ） A．若为单位向量，且，则 B．若，，则 C． D．若平面内有四点，则必有 平面向量的数量积题型02 4．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知：，，向量与的夹角为． (1)求； (2)求； (3)求与的夹角的余弦值． 5．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，则 ． 6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，,的夹角，若，则 ． 7．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 8．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知的内角的对边分别为，，，，点为的外接圆圆心，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量满足，，． (1)求与的夹角； (2)若，，求． 10．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知，且的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若向量，的夹角是，是单位向量，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则 . 13．（23-24高一下黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，，，（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国､各地区代表团的91朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF.已知正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 15．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知向量与的夹角为. (1)求的值； (2)若，求在上的投影向量的坐标. 16．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标. (1)设，，求的值； (2)若，求的大小. (3)若一条直线与坐标系相交，分别交，两轴于两点且，求锐角三角形的周长的取值范围. 17．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（    ） A．3 B． C． D． 18．（21-22高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，满足，，且、的夹角为45°． (1)求； (2)若，求实数k的值． 19．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）已知向量，的夹角为，且，则的最小值是 . 20．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是（　　） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 21．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）在中，，，，则下列四个结论中正确的是（    ） A． B．若，则为锐角三角形. C．若，则为直角三角形 D．若，则为直角三角形 22．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，则向量在向量方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量是 24．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 25．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知，，且，则向量在向量上的投影等于（    ） A． B．4 C． D． 平面向量的线性运算题型03 26．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（    ） A．当时，直线过边的中点 B．若时，与的面积之比为 C．若，且，则 D．若，且，则满足 27．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知，，与的夹角为. (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，，，，求的值. 28．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（    ） A． B． C． D． 30．（21-22高一下·黑龙江大庆·阶段练习）已知正方形ABCD的边长为，E为边BC中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，则（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题正确的是（    ） A．若非零向量，满足，则与是平行向量 B．已知平面内的一组基，则也是一组基 C．已知，则是单位向量 D．若是正三角形的中心，则 33．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期中）如图，正方形中，为的中点，若，则的值为 . 平面向量的基本定理及坐标表示题型04 34．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）对于非零向量，定义变换，得到一个新的向量，则关于该变换，下列说法正确的是（    ） A．若为任意实数，则 B．若，则 C．若，则 D．存在使得 35．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）点是的外心，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则为的垂心 D．若，，则的取值范围为 36．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面向量. (1)若，求； (2)若，求，并求出向量与的夹角. 37．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求向量与夹角的大小. 38．（22-23高一下·黑龙江牡丹江·阶段练习）在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC=    (1)试用，表示； (2)若，求∠ARB的余弦值 (3)若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 39．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）在直角梯形中，//.    (1)求； (2)若与共线，求的值； (3)若为边上的动点（不包括端点），求的最小值. 40．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若（，），则的值为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图：在中，已知与交于点．    (1)用向量表示向量； (2)过点作直线，分别交线段于点，设，若，，当取得最小值时，求模长． 42．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，点是线段上一点. (1)若点是线段的中点，试用和表示向量； (2)若，求实数的值. 43．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，在中， ，是上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期中）已知向量，下列结论正确的是（    ） A．与能作为一组基底 B．与同向的单位向量的坐标为 C．与的夹角的正弦值为 D．若满足，则 解三角形和平面向量的结合题型05 45．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是 A． B． C． D． 平面向量的应用举例题型05 46．（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）已知三角形ABC满足，则下列结论正确的是（    ） A．若点O为的重心，则， B．若点O为的外心，则 C．若点O为的垂心，则， D．若点O为的内心，则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$