精品解析：广东省广州市南沙区2024-2025学年上学期期中八年级数学模拟卷

广东省广州市南沙区2024-2025学年上学期期中八年级数学模拟卷 一、选择题．（本大题共10题，每题3分，满分30分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 3. 如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 的三边分别为、、，其对角分别为、、．下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 7. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 如图，在矩形中 ，，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：____________． 12. 如图，在中，的平分线交于点D，点E是边的中点，，连接DE，若，则______． 13. 如图， 平分，在上取一点P，作，已知，，点E是射线上一动点，则长度的最小值为 _____． 14. 【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____________． 15. 在中，，，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为________________． 16. 如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为____________________． 三、解答题．（本大题共8题，满分72分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，，相交于点O，求证：． 19. 如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且． （1）求的度数； （2）若，求长． 20. 如图在中，交于，， （1）通过图中的作图痕迹判断四边形的形状并证明你的结论； （2）请你添加一个条件使得四边形为正方形（不再添加新辅助线和特殊点）． 21. 2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 22. 【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y值． 解：∵， ∴． ∴且，解得：，． 请解答： （1）如果，其中m是整数，且，那么______，______； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 23. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中形与数互相配合的重要性．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图1；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图2． 利用数形结合的思想解决下面问题： 已知，请求出的最小值． 24. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值； （3）若F恰为的中点，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省广州市南沙区2024-2025学年上学期期中八年级数学模拟卷 一、选择题．（本大题共10题，每题3分，满分30分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化简为最简二次根式，再进行乘除运算即可． 【详解】A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C． 2. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是（ ） A. 10 B. 10或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，题目中没有说明两条边是否包含斜边，因此需分边长为8的边是直角和斜边两种情况，利用勾股定理分别求解． 【详解】解：当边长为8的边是直角边时， 第三边为斜边，边长为：； 当边长为8的边是斜边时， 第三边为直角边，边长为：； 因此第三边的长是10或， 故选B． 3. 如图，从宠物帐篷的顶部A向地面拉一根绳子以固定帐篷．帐篷一边，绳长，与地面的夹角，则点D与帐篷底部点C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．过点A作于点E，根据勾股定理可得：，进而得出，即可解答． 【详解】解：过点A作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理可得：， 即， ∴， ∵， 根据勾股定理可得：， ∴， 故选：B． 4. 的三边分别为、、，其对角分别为、、．下列条件不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．根据三角形内角和定理判断A、D即可；根据勾股定理的逆定理判断B、C即可． 【详解】解：A、， ， ， ， ，即是直角三角形，故本选项错误； B、， 直角三角形，故本选项错误； C、， ， 是直角三角形，故本选项错误； D、，， ，，， 不是直角三角形，故本选项正确； 故选：D 5. 如图，在中，，，．小红作图过程如下：以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接，则的长是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，根据等腰三角形三线合一可推出，再根据30度所对直角边等于斜边的一半求得，然后利用勾股定理求得，，最后由即可求得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图 根据题意可知，， ， ， 在，，， ， ， 在，， ， ， ． 故选：D． 6. 如图，在四边形中，已知，，，则的最小值是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作，使，连接，，则，四边形是平行四边形，，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，过作，使，连接，， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8. 用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，根据正方形的性质先求出丙纸片的边长为，即可求出丁纸片的长为，进而得到乙纸片的边长为，再用乙纸片的边长加上丁纸片的宽即可得到甲纸片的边长． 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为， 丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为， 丁纸片的长为， 乙纸片的边长为， 甲纸片的边长为， 故选：B． 9. 如图，在矩形中 ，，，以点B为圆心、的长为半径画圆弧交对角线于点M，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，由矩形的性质结合勾股定理可得，连接，作于，则，，求出，再由勾股定理求出的长，即可得解． 【详解】解：∵在矩形中 ，，， ∴， 如图，连接，作于， 由题意可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由角平分线定义得是等边三角形，进而得E为中点，则可得，则可判定①；易得，则可判定②；由直角三角形中斜边最长则可判定③；由是等腰三角形及O为中点可判定⑤；由含角直角三角形性质可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵， ∴直角三角形中斜边最长，即， 故③错误； ∵， ∴平分，， ∴； 故⑤正确； 在中，， ∴； ∵， ∴ 故④正确； 故正确有4个； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形性质，灵活运用这些性质是关键． 二、填空题．（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的除法运算，先算除法再化简即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 如图，在中，的平分线交于点D，点E是边的中点，，连接DE，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作于点H，过点B作于点G，设，则，根据等腰三角形的性质得出，则，通过证明，得出，进而得出，最后根据勾股定理得出． 【详解】解：过点A作于点H，过点B作于点G， ∵平分， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶． 13. 如图， 平分，在上取一点P，作，已知，，点E是射线上一动点，则长度的最小值为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理；先根据勾股定理得出，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据“垂线段最短”求解．熟练掌握角平分线的性质和“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ， 如图，过P点作于点H， 平分，，， ， ∵点E是射线上一动点， ∴当时，的值最小， 的最小值为5． 故答案为：5． 14. 【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：16． 15. 在中，，，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据垂线段最短可知当时，的长度最小，再根据等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示，当时，的长度最小， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 16. 如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点N，连接，，易得四边形是平行四边形，进而得到C，M，N三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当时，有最小值，即有最小值，求出，即可求出，利用勾股定理即可求出长，即可解答． 【详解】解：延长交于点N，连接，， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点M为中点， ∴C，M，N三点共线， ∵， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， ∵中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题．（本大题共8题，满分72分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）先将二次根式化简为最简根式，再从左往右依次计算即可； （2）利用二次根式的加减乘除运算法则进行计算． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式． 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且，，相交于点O，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质可得，，然后根据得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，且，， ∴， ∴． 19. 如图，在中，，边的垂直平分线交和于点D，E，且． （1）求度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平分，再证明．可得，下进一步求解即可； （2）证明，在中，根据勾股定理得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵的垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式；含30度角的直角三角形的性质，熟记角平分线的判定与线段的垂直平分线的性质是解本题的关键． 20. 如图在中，交于，， （1）通过图中的作图痕迹判断四边形的形状并证明你的结论； （2）请你添加一个条件使得四边形为正方形（不再添加新的辅助线和特殊点）． 【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析； （2）当时，四边形为正方形 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的判定证明，再证四边形为平行四边形，从而得四边形为菱形． （2）根据正方形的判定求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为菱形． 理由如下：通过作图可知，为的角平分线， ， 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 四边形为平行四边形， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【小问2详解】 解：当时，四边形为正方形， ∵，由（）得四边形菱形， ∴四边形为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，等角对等边，尺规作角平分线，菱形的判定，熟练掌握正方形的判定，尺规作角平分线，菱形的判定是解题的关键． 21. 2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】（1）农场A会受到台风的影响；理由见解析． （2）7小时． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离． （1）过A作于H，由勾股定理得，由三角形面积公式得到，由，判断农场A会受到台风的影响； （2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接，，得到，由勾股定理求出，得到，即可求出台风响该农场持续时间． 【小问1详解】 解：农场A会受到台风的影响，理由如下： 过A作于H， ∵， ∴， ∴， ∵的面积 ∴， ∴， ∵， ∴农场A会受到台风的影响； 【小问2详解】 如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴台风影响该农场持续时间是（小时）． 22. 【阅读理解】 【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题： 如果，其中a是整数，且，那么，． 【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值． 解：∵， ∴． ∴且，解得：，． 请解答： （1）如果，其中m是整数，且，那么______，______； （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； （3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】（1）2， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算、方程组的解，利用平方根求方程的解，估计无理数是本题的关键． （1） 根据夹逼法可得，依此可求m和n； （2）根据夹逼法可得，依此可求a和b，代入可得结论； （3）因为x、y为有理数，所以也是有理数，根据材料可得方程组，解出可解答． 【小问1详解】 解： ， ，其中m是整数，且， ，， 故答案为：2，； 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴ ∴且，解得：， ∴当时， 时，． 23. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中形与数互相配合的重要性．“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化． 例如：已知（数的形式），从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边长度分别为3、4，计算结果为斜边（图形形式）长度为5，如图1；同理计算（数的形式）可以看成直角边长度分别为、8，结果为斜边（图形形式）长度为，如图2． 利用数形结合的思想解决下面问题： 已知，请求出的最小值． 【答案】130 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意灵活构造出直角三角形是解题的关键．取线段，使，在上任取一点，设，，构造直角三角形，使，且，，则，可得当点，，三点共线时，的值最小，最小值等于的长，构造直角三角形计算即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取线段，使，在上取一点，设，，构造，，使，且，， 则，，， 则， 当点，，三点共线时，的值最小， 即的值最小，最小值等于的长， 过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， ，， ． 的最小值为130． 24. 如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）求的值； （3）若F恰为的中点，求正方形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）6； （3）． 【解析】 【分析】（1）作于M，于N，通过证明，得到，即可求证； （2）通过证明得到，即，求解即可； （3）连接，根据勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，作于M，于N． ∵四边形是正方形， ∴， ∵于M，于N， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∴， ∴正方形的面积． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法与性质，做辅助线，构造出全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$