精品解析：河北省衡水市枣强县2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

河北省2025年中考模拟试卷 数学（强化型） （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 在下列四个数中：，0，，中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，掌握无理数的概念及常见形式是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如相邻两个1之间0的个数逐渐增加），由此即可求解． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是有理数，不符合题意； C、是开不尽方的数，是无理数，符合题意； D、是有限小数，是有理数，不符合题意； 故选：C ． 2. 年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形．把一个图形绕某一个点旋转后，可以与原图形重合，这个图形就是中心对称图形；把一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项符合题意； C选项：既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 3. 今年春晚，身穿东北大花袄的机器人“扭秧歌”吸引了众多观众的眼球，据媒体报道，这种人形机器人单个售价65万元，春晚16个人形机器人需花费万元，万元用科学记数法表示为________元（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，正确确定的值是关键．科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即可n的值，由此即可求解． 【详解】解：万， 故选：D ． 4. 如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 故选：A 5. 以下调查中，适合全面调查的是（ ）． A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件 C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 【答案】B 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A．了解全国中学生的视力情况，适合抽样调查，故本选项不合题意； B． 检测“神舟十六号”飞船的零部件，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意； C．检测台州的城市空气质量，适合抽样调查，故本选项不合题意； D．调查某池塘中现有鱼的数量，适合抽样调查，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 6. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，下列是甲、乙、丙、丁四名同学列的方程或方程组， 甲同学：；乙同学：；丙同学：；丁同学：． 正确有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设合伙人数为x人，羊价为y钱，每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，根据羊的价格不变列式；根据人数不变列式即可求解． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，根据羊的价格不变可得， ∴， 根据人数不变得到， ∴甲、丙同学正确， 故选：B ． 7. 如图，由个相同的小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的小正方体可能是（ ） A. ①或②或③ B. ①或② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左边看到的图形即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由几何体可知，取走小正方体①或②或③，余下的几何体与原几何体的左视图相同， 故选：． 8. 如图是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 9. 已知：如图，在中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接． 以下四个结论： ①；②；③； ④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中，， ∴， ∴，本结论正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，本结论正确； ③∵， ∴， ∴， 则，本结论正确； ④∵， ∴，本结论正确， 故正确的结论有4个， 故选：D． 10. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． 11. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，，垂足为点H，分别交、及的延长线于点E、M、F，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，先证明，得到，再证明，平行线分线段成比例求出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 12. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“限根方程”．熟练掌握新定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，分类讨论，是解题关键． ①当时，该方程是；得到方程的根为 ，，得到，该方程是“限根方程”， ①正确；②解该一元二次方程，得出，，或，．再根据此方程为“限根方程”，即此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，当，时，根据，得到，整数m不存在；当，时，得到，整数m不存在．②错误． 【详解】解：①当时，原方程为： ， 解得 ， ， ∴ ， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在． 综上所述，m的值不存在． ∴②错误． ∴①正确，②错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 计算的结果为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理． 【详解】解： 故答案为：1 【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 14. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，根据方程解得到，进而得到，根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2025． 15. 如图，在矩形和正方形中，点、均在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点、在同一个反比例函数图象上，若正方形的面积为4，且，则这个反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．先由正方形的面积为4，得出边长为2，求得．再设B点的横坐标为t，则E点坐标，根据点B，E在反比例函数的图象上，列出t的方程，即可求出k． 【详解】解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， ∴，， 设B点坐标为，则E点坐标， ∵点B，E在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∴这个反比例函数的表达式为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质可得，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识的综合，掌握切线的性质得到，当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 先化简，再求值：，其中．乐乐同学的计算过程如下： 解：………………① ………………② ………………③ ………………④ ………………⑤ 当时，原式． （1）乐乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； （2）请帮助乐乐同学写出正确的解答过程． 【答案】（1）③ （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求证，掌握分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则计算即可判定； （2）根据分式的混合运算法则计算，再代入求值即可求解． 【小问1详解】 解：括号中通分相减得， ∴③错误， 故答案为：③； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 18. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 【答案】（1）每台A型机器人每天分别微运货物100吨，每台B型机器人每天分别微运货物80吨；（2）购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【解析】 【分析】（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据“每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据这些机器人每天搬运的货物不低于1800吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨，根据题意得： ， 解得：． 答：每台A型机器人每天分别搬运货物100吨，每台B型机器人每天分别搬运货物80吨． （2）设购买m台A型机器人，则购买（20-m）台B型机器人，根据题意得： 100m+80（20-m）≥1800， 解得：m≥10． 设该公司计划采购、两种型号的机器人所需费用为w万元，则w=3m+2（20-m）=m+40， ∵k=1＞0， ∴w随m增大而增大， ∴当m=10时，w有最小值，且最小值为w=10+40=50（万元）， 此时20-m=10． 所以，购买10台A型机器人，10台B型机器人时，所需费用最低，最低费用为50万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式是解题的关键． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（） 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 （1）统计表中的_______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度； （2）阅读时间在的众数是_______；阅读时间的中位数是________； （3）请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人； （4）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）5，144 （2）40 ，40 （3）估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于 （4） 【解析】 【分析】本题考查统计图表，求众数与中位数，用样本估计总体，树状图法求概率，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用总数减去其他组的人数求出的值，360度乘以B组人数所占的比例求出圆心角的度数； （2）根据众数和中位数的确定方法进行计算即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 故答案为：5，144 【小问2详解】 解：阅读时间在的数据中出现次数最多的是40； 故众数为40； 将数据排序后，第10个和第11个数据均为40， ∴中位数为：； 小问3详解】 解：（名）； 答：估计全校有1200名同学课外阅读时间不少于； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好选择一名男生和一名女生的情况有8种； （一名男生和一名女生）． 20. 如图，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，点O是AE上一点，以O为圆心，OA长为半径的圆与DE相切于点C，与AE相交于点B． （1）求证：AC平分∠DAE； （2）若AD＝6，CD＝2，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，由切线的性质得出OC⊥DE，由等腰三角形的性质得出∠CAO=∠ACO，得出∠DAC=∠CAO，则可得出结论； （2）连接BC，求出∠DAC=30°，由直角三角形的性质可得出AB的长，根据条件，求出∠BOC=60°，作CM⊥AE，垂足为M，求出扇形BOC的面积和三角形ACO的面积，则可得出答案． 【小问1详解】 解：如下图，连接OC， ∵DE是半圆的切线， ∴OC⊥DE， ∴AD//OC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵AO＝CO， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴AC平分∠DAE； 【小问2详解】 如下图，连接BC， ∵CD＝，AD＝6， ∴tan∠DAC= ， ∴∠DAC＝30°， ∴AC＝，∠CAO＝30°， ∵∠ACB=90°，∠CAB=30 ∴AB＝ACcos30°＝8， ∴AO=OC=4， ∵∠DAC＝∠CAO=30°， ∴∠DAB＝60°， ∵AD//OC， ∴∠BOC＝60°， ∴S扇形COB= ， 如下图作CM⊥AE，垂足为M， 在Rt△ACB中，AC＝，∠CAO＝30°， ∴CM＝AC=， ∴S△AOC=4××=， ∴S阴影=S扇形COB+S△AOC=+． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，扇形的面积，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线． 21. 如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上 （1）求m，k的值； （2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣； （3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) k=﹣5，m=5；(2) x＜﹣1或0＜x＜5时，﹣x+4＞﹣；(3) P（0，12）或（0，﹣4）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象直线y=﹣x+4的图象在反比例函数y=的图象的上方时，对应的自变量的取值范围就是不等式的解集； （3）构建方程即可解决问题； 【详解】(1)点A（﹣1，5）和点B（m，1）均在反比例函数图象上， ∴k=﹣5，m=5； (2)∵A（﹣1，5），B（5，﹣1）是直线y=﹣x+4与反比例函数y=的交点， 观察图象可知：x＜﹣1或0＜x＜5时，﹣x+4＞﹣； (3)设P（0，m）， ∵直线AB交y轴于（0，4）， ∴×|m﹣4|×6=2××4×6， 解得m=12或﹣4， ∴P（0，12）或（0，﹣4）； 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 22. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数） 【答案】烈士纪念碑的通高约为米 【解析】 【分析】根据题意，四边形是矩形，米，米，根据三角形的外角的性质得出，，等角对等边得出，进而解，求得，最后根据，即可求解． 【详解】解：依题意，四边形是矩形，米，米， ∵ ∴ ∴， ∴米， 在中， ∴米 ∴米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，存在一点P，使的值最小．求点P的坐标； （3）若点M在抛物线上，轴于N点，且与相似，直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）存在， （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数与几何图形的综合，掌握相似三角形的性质是关键． （1）运用待定系数求解即可； （2）根据题意得到抛物线的对称轴直线为，则点关于对称轴的对称点，运用待定系数法求值直线的解析式，将代入计算即可求解； （3）根据相似三角形的性质数形结合，分类讨论． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：存在，理由如下， 已知抛物线解析式为：， ∴对称轴直线为， ∴点关于对称轴的点的坐标为，如图所示，连接交对称轴与点， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设，且点在直线上， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：已知抛物线解析式为：， 当时，， ∴， ∵， ∴， 点M在抛物线上，轴于N点，设点，则， 第一种情况，当点在轴上方时，即， ①点在位置时，，如图所示， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，， 当时，点于点重合，不符合题意， ∴，则， ∴； ②当点在位置时，， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，（舍去），， ∴， ∴； 第二种情况，当点在轴下方时，即或， ①点在位置时，即，，如图所示， ∴， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，（均不符合题意，舍去）； ②点在位置时，即，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴； 综上所述，或或． 24. 如图，在平行四边形中，，，点是的中点，是上一点，将沿折叠，点落在点位置． （1）连接，求证：； （2）在折叠过程中，求点与点之间的最小距离； （3）在折叠过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围； （4）已知与边交于点，若，直接写出点到的距离． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据中点定义得到，运用边边边即可求证； （2）连接，则，当点落在上时，点与点D之间距离最小，由勾股定理得到，由四边形是平行四边形，勾股定理得到，则，即可求解； （3）分类讨论：当点落在上时，可证，得到，求出，则；当点落在上时，连接交于点，可证，得到，由点是中点得到，由此即可求解； （4）延长交于M点，延长交延长线于N点，连接，可证，得到，四边形是矩形，再证明，得到，求出，，证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 点E是的中点 又，， ． 【小问2详解】 解：连接，则，当点落在上时，点与点D之间距离最小， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴， 点与点D之间的最小距离为． 【小问3详解】 解：当点落在上时， ，平分， ， 又由（2）得，， ，， ， ， ， ， ； 当点落在上时，连接交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的取值范围为． 【小问4详解】 解：延长交于M点，延长交延长线于N点，连接， ，，， ， ， 根据折叠，，即， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又 四边形是矩形， ， ∵， ∴， ∴，即， ， ， ，，， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，三线合一，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省2025年中考模拟试卷 数学（强化型） （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题．（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 在下列四个数中：，0，，中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 年巴黎奥运会项目图标设计，不仅注重刻画运动员运动状态，更注重项目本身的展示．下列项目图标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 今年春晚，身穿东北大花袄的机器人“扭秧歌”吸引了众多观众的眼球，据媒体报道，这种人形机器人单个售价65万元，春晚16个人形机器人需花费万元，万元用科学记数法表示为________元（ ） A B. C. D. 4. 如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在长方形的两条对边上，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 5. 以下调查中，适合全面调查的是（ ）． A. 了解全国中学生的视力情况 B. 检测“神舟十六号”飞船的零部件 C. 检测台州的城市空气质量 D. 调查某池塘中现有鱼的数量 6. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，下列是甲、乙、丙、丁四名同学列方程或方程组， 甲同学：；乙同学：；丙同学：；丁同学：． 正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，由个相同小正方体拼成立体图形，若从标有①②③④的四个小正方体中取走一个后，余下的几何体与原几何体的左视图相同，则取走的小正方体可能是（ ） A. ①或②或③ B. ①或② C. ③ D. ④ 8. 如图是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶点为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 已知：如图，在中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接． 以下四个结论： ①；②；③； ④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 11. 如图，在菱形中，对角线、交于点O，，垂足为点H，分别交、及的延长线于点E、M、F，且，则的值为（ ） A B. C. D. 12. 定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 二、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 计算的结果为________． 14. 若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是________． 15. 如图，在矩形和正方形中，点、均在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点、在同一个反比例函数图象上，若正方形的面积为4，且，则这个反比例函数的表达式为______． 16. 如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 先化简，再求值：，其中．乐乐同学的计算过程如下： 解：………………① ………………② ………………③ ………………④ ………………⑤ 当时，原式． （1）乐乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； （2）请帮助乐乐同学写出正确的解答过程． 18. 某快递公司为了提高工作效率，计划购买、两种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台型机器人每天多搬运20吨，并且3台型机器人和2台型机器人每天共搬运货物460吨． （1）求每台型机器人和每台型机器人每天分别搬运货物多少吨？ （2）每台型机器人售价3万元，每台型机器人售价2万元，该公司计划采购、两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出、两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低﹖最低费用是多少？ 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气，”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，为了解学生课外阅读情况，抽样调查了20名学生每天用于课外阅读的时间，以下是部分数据和不完整的统计图表：阅读时间在范围内的数据：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的统计图表： 课外阅读时间x（） 等级 人数 D 3 C a B 8 A 4 （1）统计表中的_______；统计图中B组对应扇形的圆心角为_______度； （2）阅读时间在的众数是_______；阅读时间的中位数是________； （3）请你估计全校2000名同学课外阅读时间不少于40min的人数有多少人； （4）A等级学生中有两名男生和两名女生，从A等级学生中选两名学生对全校学生作读书的收获报告，用列举法或树状图法求恰好选择一名男生和一名女生的概率． 20. 如图，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，点O是AE上一点，以O为圆心，OA长为半径的圆与DE相切于点C，与AE相交于点B． （1）求证：AC平分∠DAE； （2）若AD＝6，CD＝2，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，O为坐标原点，点A（﹣1，5）和点B（m，﹣1）均在反比例函数图象上 （1）求m，k的值； （2）当x满足什么条件时，﹣x+4＞﹣； （3）P为y轴上一点，若△ABP的面积是△ABO面积的2倍，直接写出点P的坐标． 22. 为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数） 23. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线的对称轴上，存在一点P，使的值最小．求点P的坐标； （3）若点M在抛物线上，轴于N点，且与相似，直接写出点M的坐标． 24. 如图，在平行四边形中，，，点是的中点，是上一点，将沿折叠，点落在点位置． （1）连接，求证：； （2）在折叠过程中，求点与点之间的最小距离； （3）在折叠过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围； （4）已知与边交于点，若，直接写出点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$