第十八章 平行四边形 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

第十八章 平行四边形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十八章（平行四边形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在平行四边形中，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A． B． C． D．距离不确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中线，， ∴， ∴M，C两点间的距离为， 故选：B． 3．菱形不一定具有的性质的是（　　） A．对角线相等 B．邻边相等 C．对边相等 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质的理解和掌握，掌握菱形的性质是解决问题的关键．列举出菱形的所有性质即可． 【详解】解：菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，对角相等，③菱形的对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角； 故菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：A． 4．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是菱形的判定．根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：A、添加可证明平行四边形是矩形，不能使它变成菱形，故此选项符合题意； B、添加能证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、添加可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、添加，则，所以，所以，可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，等边三角形的性质，正方形的性质，正确得到是等边三角形是解题的关键． 根据条件可以得到是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：连接、， ， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：A． 6．如图，将矩形折叠，使一条短边落在长边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质．由折叠的性质得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知， 由题意得， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 根据菱形的性质可知，过点作交的延长线于点，根据等边三角形的性质， 可知，根据含角的直角三角形的性质，可得EH的长，再根据的面积公式，即可． 【详解】解：图1连接， ∵菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图3，过点作交的延长线于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，中，，则的值为（   ） A．7 B． C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质、定理．延长交于点，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：延长交于点， ∵ ∴ 在中 ∴ ∴ 又∵ ∴是的中位线 ∵ ∴ ∴ 故选：A． 9．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理，设的中点为，连接、，从而可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，设的中点为，连接、， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交，于点．下列说法：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的结论个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等；由正方形的性质和两个正方形边长关系，可证，结论①得证；由正方形的性质和两个正方形边长关系，可得到为的中点，，都是等腰直角三角形，且，可得，，可证，再结合，即可证，结论②得证；通过，可证为的中点， ，从而可证明，结论④可判定；过点作于，得到，设正方形的边长为，利用，，即可得到两者面积之比，可判定结论③；利用前面的证明结果，通过证明，即可证明不平分，可判定结论⑤；掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：①∵四边形和都是正方形，，为的中点， ，， ， ∴， ∵， 在和中， ， ∴，故①符合题意； ②∵四边形和都是正方形，， ∴正方形的边长为正方形边长的， ∴为的中点， 又∵为的中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意． ④∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ，即为的中点， ∵， ∴， ∴，故④符合题意． ③∵为的中点，过点作于，如图： 设正方形的边长为，则正方形边长为，则， ， ， ，故③符合题意． ⑤∵，， ， ， 又， ， ， ∴不平分，故⑤不符合题意； 综上所述，结论①②③④符合题意，共个， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出的长． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 故答案为： ． 12．矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据题意求出矩形的另一条边长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意画出示意图，假设， 矩形的面积为， 矩形的另一条边长为， ， 矩形的对角线， 故答案为：． 13．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 故答案为：． 14．如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为 【答案】/64度 【分析】根据三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 15．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上．若，空白部分面积为13.5，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题关键． 根据余角的性质得到，进而推出，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，又因为，可得到，进而得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵空白部分面积为13.5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，在四边形中，是的中点，N是上的动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点M作于点E，连接，，根据垂线段最短，得出当点N与点E重合时，最小，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：过点M作于点E，连接，，如图所示： ∵垂线段最短， ∴当点N与点E重合时，最小， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 根据可得且平行，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质∶对角线互相平分得到与互相平分即可得结论． 【详解】证明∶ 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 18．如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？ 【答案】四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据得到，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 19．如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中线的作法、含的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握中线的作法，并熟练运用相关知识解决问题． （1）直接利用线段垂直平分线的尺规作图方法作出直线交于点即可得解； （2）利用含的直角三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质得到的长； 【详解】（1）如图，线段即为所求； （2）∵， ∴， 由（1）作图可知，为边上的中线． ∴． 20．如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用翻折变换的性质及矩形的性质即可求解； （2）利用翻折变换的性质即可求解． 【详解】（1）是直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴， ∴是直角三角形； （2）∵将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 21．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹： (1)在图1中，在边上取一点，连结，使的面积是面积的； (2)在图2中，在内部取一点，连结，，使的面积是面积的； (3)在图3中，在边上找一点，连结，使的面积是面积的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）取格点，，连接交于，连接即可； （2）取格点，，连接交网格于点,，设交网格于点,取格点，连接,，且交于点，则的面积是面积的； （3）取格点，，连接，交于点，连接，，根据可知的面积，根据可知：的面积的面积，则的面积是面积的． 本题考查了作图的应用与设计，网格作图，中线与面积，解决本题的关键是准确利用矩形对角线互相平分进行网格作图． 【详解】（1）解：如图1，则点即为所求； ； （2）解：如图2，则点即为所求； （3）解：如图3，则点即为所求． ； 22．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． 23．如图，在正方形中，边长为3，点M，N是边，上两点，且，连接，； (1)则与的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)延长至P，连接，若，试求的长． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明和准确计算． （1）证，得出，，再证即可； （2）连并延长交于G，求出长，再根据中位线的性质求出即可； （3）过点B作于点H，根据勾股定理求出，，即可． 【详解】（1）解：设与交于点Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）连并延长交于G，连接 ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3，， ∴， ∴； （3）过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 24．【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析，（2），（3）①4；②． 【分析】（1）运用翻折变换的性质、正方形的性质及全等三角形的判定即可证得结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质和判定及翻折变换的性质即可求得答案； （3）①利用等边三角形的判定和性质即可求得答案； ②过点作于点M，过点作于点，运用勾股定理可得，根据菱形性质及翻折可得：，，，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵将沿翻折到处，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）解：过点作于点，如图， 则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由翻折得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点落在边上时，如图，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴； ②当点落在边上时，如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 由翻折得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得： ， 即． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查勾股定理、折叠的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第十八章（平行四边形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在平行四边形中，，的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（ ） A． B． C． D．距离不确定 3．菱形不一定具有的性质的是（　　） A．对角线相等 B．邻边相等 C．对边相等 D．对角相等 4．如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将矩形折叠，使一条短边落在长边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，测得，对角线，最后用剩下的两根木条搭成了如图所示的图形，连接，则图 中的的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，中，，则的值为（   ） A．7 B． C．6 D．5 9．如图所示，在四边形中，，，，，，分别是，边的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交，于点．下列说法：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的结论个数有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，中，，，D是的中点，则的长为 ． 12．矩形的面积为，一条边长为，则矩形的对角线的长为 ． 13．如图，的对角线、相交于点O，，若，则四边形的周长为 ． 14．如图，在中，，点分别是的中点，若点在线段上，且，则的度数为 15．如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上．若，空白部分面积为13.5，则 ． 16．如图，在四边形中，是的中点，N是上的动点，连接．若，则的最小值为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分． 17．如图，四边形是平行四边形，点E、F分别在边、上，且，连接、、、，与相交于点P，求证：． 18．如图，在四边形中，．四边形是平行四边形吗？为什么？ 19．如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)若，求的长． 20．如图，在长方形中，，将矩形纸片沿折叠，使点A落在点E处，设与相交于点F． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 21．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，是与网格线的交点，仅用无刻度尺的直尺按下列要求作图，保留作图痕迹： (1)在图1中，在边上取一点，连结，使的面积是面积的； (2)在图2中，在内部取一点，连结，，使的面积是面积的； (3)在图3中，在边上找一点，连结，使的面积是面积的． 22．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 23．如图，在正方形中，边长为3，点M，N是边，上两点，且，连接，； (1)则与的数量关系是__________，位置关系是__________； (2)若点E，F分别是与的中点，计算的长； (3)延长至P，连接，若，试求的长． 24．【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点E是边上一点，将E沿翻折，点的对应点为，延长交边于点，连接．求证：． 【类比迁移】 （2）如图2，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，求的度数． 【拓展应用】 （3）在菱形中，，边长为，点是边上一点，点是边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在菱形的一条边上，且． ①如图3，当点落在边上时，求的长； ②当点落在边上时，请直接写出的长． 2 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