2025年陕西省职教单招考试 数学全真模拟卷（一）（原卷版+解析版）

2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（一） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．集合，则（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．直线与直线平行，则等于（     ） A．2 B． C．或2 D．0或1 4．若角的终边过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．数列的前项和为，若，则等于（     ） A．1 B． C． D． 6．“”是“”的（     ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 7．下列命题正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，且，那么 8．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（     ） A． B． C． D． 9．已知向量，若，则（     ） A． B．5 C． D．20 10．过点作圆的一条切线，切点为B，则（     ） A．3 B． C． D． 11．已知，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 12．从数字中任取两个不同数字组成一个两位数，则组成的两位数小于20的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．已知，则 . 14．已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为 . 15．若为奇函数，则实数 . 16．某公司有员工66名，现将所有员工随机编号，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本．已知样本中有编号为8，19，41，52，63的员工，则样本中还有一名员工的编号为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设是公比为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设等差数列的首项为1，公差为2，求数列的前n项和． 18．（12分）已知. (1)若，求的值； (2)若，求. 19．（12分）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 20．（12分）如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形.求： (1)与底面所成的角； (2)圆柱的体积. 21．（12分）某地方教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，将得到的成绩（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，图中. (1)求a，b的值； (2)已知得分在内的男生数与女生数的比为，若在请组中随机抽取2人进行交流，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率. 22．（12分）某城市拟在小公园的空地上用篱笆围一个花圃，每条线段都用篱笆.如图所示，其中四边形是矩形，三角形是等边三角形.已知现有篱笆总长度为. (1)建立花圃面积为与的函数关系式； (2)当为何值时，矩形花圃面积最大. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（一） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的概念进行求解. 【详解】因为集合， 所以， 故选：C. 2．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含绝对值不等式的基本解法求解. 【详解】不等式可化为不等式， 即，解得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 3．直线与直线平行，则等于（     ） A．2 B． C．或2 D．0或1 【答案】C 【分析】根据两条直线平行列出方程即可得解. 【详解】直线与直线平行，所以， ，解得或， 当时，直线，与直线位置关系为平行； 当时，直线与直线位置关系为平行， 所以等于或， 故选：. 4．若角的终边过点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用终边上的点求三角函数值即可. 【详解】由题意知角的终边过点， 所以、、， 所以. 故选：A. 5．数列的前项和为，若，则等于（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用裂项求和法求解. 【详解】， ， . 故选：B. 6．“”是“”的（     ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】当时，， 所以“” “”， 当时，或， 所以“” “”， 即“”是“”的充分非必要条件， 故选：B. 7．下列命题正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，且，那么 【答案】B 【分析】根据空间中线线，线面，面面位置关系即可求解. 【详解】对A，，那么或与相交，故A错误. 对B，两平面平行，则一平面内的任一直线与另一平面平行，即，那么，故B正确. 对C，，那么或，故C错误. 对D，，且，那么或与相交，故D错误. 故选：B. 8．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性判断求解. 【详解】函数是奇函数，是减函数，故A不符合题意； 函数是奇函数，在整个定义域内不具有单调性，故B不符合题意； 函数是偶函数，故C不符合题意； 函数是奇函数，在定义域内为增函数，符合题意； 故选：D. 9．已知向量，若，则（     ） A． B．5 C． D．20 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标运算求出x，再利用向量模的坐标公式即可得解. 【详解】因为向量，， 则，解得，故， 则. 故选：C. 10．过点作圆的一条切线，切点为B，则（     ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理结合两点距离公式可求. 【详解】如图，因为点为切点，则， 圆，则圆心为，半径， 因为，， 所以； 故选：B. 11．已知，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数，幂函数以及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知， 则有， 又，在上为增函数， 因为，所以， 已知在上为增函数， 因为，所以，即， 又，在上为增函数， 因为，所以，即， 所以， 故选：D. 12．从数字中任取两个不同数字组成一个两位数，则组成的两位数小于20的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概率的计算公式即可得解. 【详解】从数字中任取两个不同数字组成一个两位数， 则有共6种情况， 组成的两位数小于20有2种情况，其概率为. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式求出，再根据二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由题意知， 所以， 所以. 故答案为：. 14．已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对a分类讨论，根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数，对于任意实数，均有， 当时，，符合题意； 当，且， 解得：； 当时，不符合题意， 综上所述. 故答案为：. 15．若为奇函数，则实数 . 【答案】1 【分析】根据奇函数的性质求得参数，再进行检验即可求解. 【详解】为奇函数，， ，， 经检验，满足题意. 故答案为：1. 16．某公司有员工66名，现将所有员工随机编号，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本．已知样本中有编号为8，19，41，52，63的员工，则样本中还有一名员工的编号为 ． 【答案】30 【分析】根据系统抽样的特点，即等距抽样来求解. 【详解】因为采用系统抽样，从66名员工抽取6人， 则抽样间隔， 样本中有编号为的员工，那么接下来员工编号为 ，，，，， 又样本中有编号为的员工， 即样本中还有一名员工的编号为， 故答案为：30. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）设是公比为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设等差数列的首项为1，公差为2，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可求解； （2）数列的前项和即为等比数列的前项和加上等差数列的前项和，故代入等差数列和等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为 ∵， ∴ 即 ∴（舍）或 ∴数列的通项公式为 （2）∵等差数列的首项为1，公差为2 ∴等差数列的前n项和为 又∵等比数列的前n项和为 ∴数列的前n项和为. 18．（12分）已知. (1)若，求的值； (2)若，求. 【答案】(1)或 (2)3 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算，结合已知条件列式求解即可. （2）根据向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以，即， 解得或. （2）若，则， 所以. 则. 19．（12分）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式即可求解. （2）根据同角三角函数的基本关系，两角和与差的正弦公式，两角和与差的正切公式，结合题意即可求解. 【详解】（1），. （2）解法一：. 又， 则，. 解法二：， ，， 则，即，. 20．（12分）如图所示，已知圆柱的轴截面是边长为的正方形.求： (1)与底面所成的角； (2)圆柱的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆柱的轴截面是边长为的正方形得到与底面所成的角为，在直角三角形中，由即可求解. （2）根据圆柱的轴截面是边长为的正方形得到圆柱的底面半径为，高为即可求解. 【详解】（1）因为正方形是圆柱的轴截面， 所以平面垂直圆柱底面，且平面圆柱底面， 又，所以垂直圆柱底面， 所以与底面所成的角为， 在直角中，， 所以与底面所成的角为. （2）∵圆柱的轴截面是边长为的正方形， ∴圆柱的底面半径为，高为， ∴圆柱的体积为. 21．（12分）某地方教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，将得到的成绩（百分制）按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，图中. (1)求a，b的值； (2)已知得分在内的男生数与女生数的比为，若在请组中随机抽取2人进行交流，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质列方程即可求； （2）先求出得分在内的男生数与女生数，然后利用概率公式可求. 【详解】（1）由频率分布直方图得， ， 即，解得：，. （2）由（1）知 则得分在内有， 又因为男生数与女生数的比为， 所以男生人，女生人； 则抽取的两人中至少有一名女生的概率为1减去抽取的两人都是男生的概率， 即. 22．（12分）某城市拟在小公园的空地上用篱笆围一个花圃，每条线段都用篱笆.如图所示，其中四边形是矩形，三角形是等边三角形.已知现有篱笆总长度为. (1)建立花圃面积为与的函数关系式； (2)当为何值时，矩形花圃面积最大. 【答案】(1)， (2)当时，矩形花圃面积最大，最大面积为8平方米 【分析】（1）根据篱笆的总长度得到，再根据矩形面积公式，建立函数关系. （2）根据二次函数的性质，求解. 【详解】（1）因为四边形是矩形，所以，， 又因为三角形是等边三角形，所以， 篱笆的总长度为16m，则， 即，故， 所以矩形的面积， 又，得，则，所以的取值范围为. （2）花圃面积， 即时，， 所以当时，矩形花圃面积最大，最大面积为8平方米. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$