2025年陕西省职教单招考试 数学全真模拟卷（二）（原卷版+解析版）

2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（二） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．设全集，则（     ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 3．已知，且，则角所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知定义在R上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 5．无论取任何实数，直线恒过定点（     ） A． B． C． D． 6．“点是第一象限的点”是“角的终边位于第一象限”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．在等比数列中，若是方程的两个根，则等于（     ） A．3 B． C． D． 8．已知圆柱的底面面积为，高为3，则它的体积为（     ） A． B． C． D． 9．已知向量，若，则（     ） A． B． C． D． 10．已知圆与直线相切，则实数（     ） A．5 B．10 C．25 D．100 11．已知，，，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 12．从一副扑克牌（去掉大小王）中任取一张，取到黑桃的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．已知函数，则= . 14．已知是偶函数，则 . 15．计算： . 16．某个年级有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为的样本，则此样本中男生人数为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围． 18．（12分）如图，已知是矩形，面，，，，求： (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积. 19．（12分）已知数列是等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若成等比数列，求正整数的值. 20．（12分）已知，且是第二象限角. (1)求和； (2)求的值. 21．（12分）下列表格是某城市100户居民月用水量的调查数据（频数分布表） 用水量（吨）分组 频数 12 15 22 25 14 6 6 根据上述表格回答问题： (1)估计该城市有百分之几的居民用水量在1.5到3吨之间？ (2)为鼓励节约用水，计划确定一个用水标准量，用水量不超过的部分按平价收费；用水量超过的部分按议价收费．为保证能有85%的居民用水不超标，把用水标准量定为3吨是否合理? 22．（12分）如图，用一根长为的铁丝围成一个底角为的等腰梯形．设梯形的腰长为，面积为（铁丝的粗细不计）． (1)写出关于的函数解析式，并求当时的值； (2)求当为何值时，取最大值？并求出最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷 （二） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．设全集，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为全集， 所以. 故选：C. 2．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的基本解法，即可求解. 【详解】由题意知不等式， 即， 解得. 故选：D. 3．已知，且，则角所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据象限角的三角函数值的符合即可得解. 【详解】因为，所以与同号，为第一象限角或第三象限角， 又因为，则与异号，为第三象限角或第四象限角， 综上，角所在的象限是第三象限角， 故选：. 4．已知定义在R上的奇函数，当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义得出，再将代入解析式中求值即可. 【详解】已知为R上的奇函数， 所以， 由时，，得， 所以， 故选：B. 5．无论取任何实数，直线恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线进行整理即可求解定点. 【详解】直线， 所以直线恒过定点. 故选：A. 6．“点是第一象限的点”是“角的终边位于第一象限”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由三角函数正负与象限角的关系结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为点在第一象限，所以，则的终边位于第一、第二象限或轴正半轴上，故充分性不成立； 反之，若的终边位于第一象限，则，故点是第一象限的点，故必要性成立； 综上，“点是第一象限的点”是“的终边位于第一象限”的必要不充分条件. 故选：B. 7．在等比数列中，若是方程的两个根，则等于（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质和韦达定理即可求解. 【详解】因为是方程的两个根， 由韦达定理得， 又等比数列， 所以. 故选：A. 8．已知圆柱的底面面积为，高为3，则它的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，结合圆柱体积公式，即可求解. 【详解】因为圆柱的底面面积为，高为， 所以体积， 故选：A. 9．已知向量，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量平行的坐标表示列出方程求出值，利用平面向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】向量，且， 则，解得， 所以，所以， 故选：. 10．已知圆与直线相切，则实数（     ） A．5 B．10 C．25 D．100 【答案】D 【分析】先由圆的标准方程得到圆心与半径，再利用直线与圆相切得到，结合点线距离公式即可得解. 【详解】对于圆，易知其圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为圆C与直线相切，则，即，解得. 故选：D. 11．已知，，，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数、和的单调性，结合0和1进行比较即可求解. 【详解】因为函数在R上单调递增， 所以，即， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 综上所述，，即. 故选：C. 12．从一副扑克牌（去掉大小王）中任取一张，取到黑桃的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型公式即可得解. 【详解】一副扑克牌去掉大小王剩张，黑桃只有张， 所以取到黑桃的概率是， 故选：. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．已知函数，则= . 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，结合诱导公式求的值，进而可得答案. 【详解】因为，所以， 而，所以 . 故答案为：． 14．已知是偶函数，则 . 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义和性质列出等式即可解得. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以， 整理，得， 因为对任意此式都恒成立，所以，所以． 故答案为：1. 15．计算： . 【答案】 【分析】利用指数幂与对数的运算可求. 【详解】； 故答案为：. 16．某个年级有男生人，女生人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为的样本，则此样本中男生人数为 . 【答案】 【分析】根据分层抽样方法可求. 【详解】解：因为有男生人，女生人，所以年级一共人， 用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为的样本，抽样比为， 所以要从男生中抽取. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量，． (1)若，求的值； (2)若向量，夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）应用向量线性运算坐标表示可得，根据向量垂直的坐标表示即可求参数值； （2）由题设有，注意排除，同向共线时对应x值即可. 【详解】（1）由题设，，又， 所以，即， 可得. （2）由题设，，即， 当，同向共线时，有且，此时，可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或. 18．（12分）如图，已知是矩形，面，，，，求： (1)二面角的正切值； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可证得平面，从而，所以是二面角的平面角，在中可求解； （2）由题可知，棱锥的高为，在矩形中可求得，再根据棱锥的体积公式可求解. 【详解】（1）因为面，面，面， 所以，； 在矩形中，，，在平面内， 所以平面； 因为平面， 所以， 所以是二面角的平面角. 在中，，， ； （2） 因为面， 所以三棱锥的高为， 在矩形中，， 所以. 19．（12分）已知数列是等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若成等比数列，求正整数的值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据已知求得数列首项及公差，再结合通项公式求解. （2）由等差数列的通项公式，结合等比数列的性质列式求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 得到方程组 解得：，， 所以等差数列的通项公式为： ， 即． （2）由（1）知：，则， 所以，            又因为成等比数列， 所以，即，              整理得：，解得或（舍去）， 所以，                 故正整数的值是6． 20．（12分）已知，且是第二象限角. (1)求和； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合三角函数在各象限的符号，及同角三角函数的平方关系及商数关系，即可求解； （2）根据题意，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】（1）因为，且是第二象限角，所以. ， ； （2）. 21．（12分）下列表格是某城市100户居民月用水量的调查数据（频数分布表） 用水量（吨）分组 频数 12 15 22 25 14 6 6 根据上述表格回答问题： (1)估计该城市有百分之几的居民用水量在1.5到3吨之间？ (2)为鼓励节约用水，计划确定一个用水标准量，用水量不超过的部分按平价收费；用水量超过的部分按议价收费．为保证能有85%的居民用水不超标，把用水标准量定为3吨是否合理? 【答案】(1) (2)合理 【分析】（1）利用用水量在1.5到3吨之间的频数除以总频数即可； （2）利用3吨以上的用户占比求出3吨以内的用户占比与所给数据比较即可. 【详解】（1）由题意可得，用水量在1.5到3吨之间的百分比为 故该城市有的居民用水量在1.5到3吨之间． （2）因为用水量超过3吨的百分比为，                   所以用水量不超过3吨的百分比为， 因此，把用水标准量定为3吨是合理的． 22．（12分）如图，用一根长为的铁丝围成一个底角为的等腰梯形．设梯形的腰长为，面积为（铁丝的粗细不计）． (1)写出关于的函数解析式，并求当时的值； (2)求当为何值时，取最大值？并求出最大值． 【答案】(1)；当时， (2)当时，取最大值 【分析】（1）先通过等腰梯形的性质求出上底、下底和高与腰长的关系，进而求出函数解析式，再代入求值； （2）根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）如图，设梯形的上底为，下底为，高为．因为腰长为，底角为， 由题意可知，，， 又梯形的周长为， ， 梯形的面积关于的函数解析式为． 其中需满足的条件是即， 关于的函数解析式为． 当时，． （2）由（1）知的定义域为， 对称轴为， 又，显然，在上随的增大而增大， 在上，随的增大而减小． 当时，面积有最大值，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$