2025年陕西省职教单招考试 数学全真模拟卷（四）（原卷版+解析版）

2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（四） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．已知，则（     ） A． B． C． D． 2．不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 3．设，，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 5．函数在上递减，在上递增，则的值是（     ） A．1 B．3 C．5 D． 6．“”是“”的（     ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知球的直径为3，则球的体积为（     ） A． B． C． D． 8．函数与在同一坐标系中的图像可能是（     ） A． B． C． D． 9．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 10．已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线的方程为（     ） A． B． C． D． 11．已知函数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 12．我们把在大于1的自然数中除了1和它本身外没有其他因数的数叫做质数．现从中任取一个数，则取到“质数”的概率是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．已知，则 ． 14．函数的定义域是 . 15．已知函数为奇函数，当时，，且，则实数 ． 16．某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品数量之比为 ．现用分层抽样方法抽出一个容量为 的样本，样本中A种型号的产品有 件，那么此样本的容量 为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量与的夹角为，，，求： (1); (2). 18．（12分）如图在正方体中，边长为2，求： (1) 与所成的角; (2)三棱锥的体积. 19．（12分）在数列中， (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前n项和 20．（12分）已知（），求： (1)； (2)． 21．（12分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在，，，的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. (1)求随机抽取的市民中年龄段在的人数； (2)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求年龄段抽取的人数. 22． （12分）如图所示，在等边三角形中，分别是上的点，，，是边上的点，四边形为矩形，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出该函数的定义域； (2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（四） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合补集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式 ， 得，即， 解得， 所以不等式 的解集为， 故选：A. 3．设，，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 4．已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合两直线垂直，斜率之间的关系，可设出直线的方程，将已知点的坐标代入，即可求解. 【详解】因为直线过点，且与直线垂直， 又直线的斜率为1， 设直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 5．函数在上递减，在上递增，则的值是（     ） A．1 B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数， 所以二次函数的对称轴为， 因为函数在上递减，在上递增， 所以二次函数的对称轴，即， 解得：. 故选：C. 6．“”是“”的（     ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用集合的包括关系判断充分必要条件，从而得解. 【详解】因为， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．已知球的直径为3，则球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球的体积公式可求. 【详解】球的直径为3，则半径为， 则球的体积为； 故选：D. 8．函数与在同一坐标系中的图像可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合一次函数与反比例函数的性质进行讨论即可求得. 【详解】当时，反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的斜率，在轴上的截距，图像经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的斜率，在轴上的截距，图像经过第一、二、四象限，故B错误，D正确. 故选：D. 9．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，对比相同的中间值，即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以，即， 因为在上单调递减， 所以， 因为在上单调递减， 因为， 综上， 故选：A. 10．已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由圆的一般方程得出圆心，设出线段的垂直平分线，再由线段的垂直平分线过圆心，代入求解即可. 【详解】由圆可知圆心为， 设线段的垂直平分线方程为, 因为线段的垂直平分线过圆心， 所以，解得， 所以线段的垂直平分线方程为. 故选：B. 11．已知函数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 12．我们把在大于1的自然数中除了1和它本身外没有其他因数的数叫做质数．现从中任取一个数，则取到“质数”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型计算公式可求解. 【详解】在2，5，6，7，9，11，12，15中任取一个数，共有8种取法， 取到质数这个事件包括2，5，7，11，共4种取法， 所以取到“质数”的概率为：． 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．已知，则 ． 【答案】0 【分析】利用诱导公式可求. 【详解】， ， 则； 故答案为：. 14．函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合对数式、零指数幂有意义的条件，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得且. 即函数的定义域是. 故答案为：. 15．已知函数为奇函数，当时，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求出的值，再将代入到函数解析式里，即可求得的值. 【详解】因为函数为奇函数，且，所以， 又当时，， 所以，所以，解得. 故答案为：. 16．某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品数量之比为 ．现用分层抽样方法抽出一个容量为 的样本，样本中A种型号的产品有 件，那么此样本的容量 为 ． 【答案】88 【分析】先求出种型号产品在全部产品中的占比，再根据分层抽样求解即可. 【详解】因为四种不同型号的产品，产品数量之比为 ， 所以A种型号产品在全部产品中的占比为， 又因为在容量为的样本，样本中A种型号的产品有件， 所以，解得. 故答案为：88. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量与的夹角为，，，求： (1); (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的运算法则，将已知展开，利用内积的定义，转化为关于的一元二次方程可求解； （2）由（1）知，，根据内积的定义可求解. 【详解】（1）由可得， ， ， 又，与的夹角为， 故， 即. 又， 解得； （2）由（1）知，，且，与的夹角为， 故. 18．（12分）如图在正方体中，边长为2，求： (1) 与所成的角; (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找出异面直线所成的角，结合正方体的结构特征即可求解. （2）根据正方体的结构特征结合三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）在正方体中， . 所以与所成的角即为 与所成的角为. （2）在正方体中， 三棱锥的底面积为， 高为. 三棱锥的体积为： . 19．（12分）在数列中， (1)求数列的通项公式； (2)若求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列中与之间的关系即可求解； （2）根据裂项相消法即可求解. 【详解】（1）当时   ，    当时  ，    当时，满足， 所以数列的通项公式. （2），      则        . 20．（12分）已知（），求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式求解即可. （2）根据同角三角函数的关系求出，再根据的表达式求解即可. 【详解】（1）（） ，即 又（）， ． （2）由（1）可知（） ， 故. 21．（12分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在，，，的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示. (1)求随机抽取的市民中年龄段在的人数； (2)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求年龄段抽取的人数. 【答案】(1)35 (2)2 【分析】（1）利用频率直方图求出随机抽取的市民中年龄段在的人数. （2）由频率分布直方图可知两年龄段人数，用分层抽样的方法求解即可. 【详解】（1）由题意知年龄段在的频率为 ， 故人数为， 即随机抽取的市民中年龄段在的人数为35. （2）由题意知年龄段在的人数为， 在的人数为， 按年龄段分层抽样抽取的8人中年龄段的人数为， 即抽取的8人中年龄段抽取的人数为2. 22．（12分）如图所示，在等边三角形中，分别是上的点，，，是边上的点，四边形为矩形，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出该函数的定义域； (2)当为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)，定义域为. (2)时，面积最大为. 【分析】（）根据平行线的性质及等边三角形的性质，结合三角函数求出矩形的长与宽即可求出解析式，根据题意结合得出定义域. （）根据二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）在等边三角形中，，所以，则为等边三角形， ，则， 因为，则，， 则矩形的面积为， 因为点在上移动，且四边形为矩形，所以， 所以，定义域为. （2）因为，定义域为， 函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，面积最大为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$