2025年陕西省职教单招考试 数学全真模拟卷（五）（原卷版+解析版）

2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（五） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 2．不等式 的解集为（  ） A． B． C． D． 3．直线与直线的距离为（  ） A． B． C． D． 4．已知数列的前n项和为，则等于（  ） A．729 B．387 C．604 D．854 5．若点在角的终边上，则实数的值为（  ） A． B． C．3 D． 6．是的（  ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若函数在内为增函数，且函数为减函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 9．已知向量，向量，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．已知圆，则过点与圆相切的直线方程为（  ） A． B． C． D． 11．已知则（  ） A． B． C． D． 12．现有三张卡片，上面分别写有数字2，3，6，从中任取两张排成一个两位数排成偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．计算： . 14．函数的定义域为 . 15．若函数为奇函数，则 . 16．某校采用系统抽样的方法从1000名学生中抽取50名学生参加问卷调查，现将所有学生编号为001，002，…，1000．若抽取的第一个编号为010，则抽取的最后一个编号为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知，且角是第二象限角，求： (1)的值； (2)的值． 18．（12分）已知，，是否存在k，使得： (1)； (2). 19．（12分）已知等比数列的前n项和为. (1)求m的值并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 20．（12分）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 21．（12分）手机支付也称为移动支付（），是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对岁至岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图． 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 x y 3 (1)求的值； (2)若从第组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数． 22．（12分）西安市政府大力扶持大学生创业，大学生李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼灯．他在销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似地看作一次函数：． (1)设李明每月获得利润为（元），试写出与之间的函数关系式；（注：单个的销售利润=销售单价－进价） (2)当销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？获得的最大利润是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（五） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合交集的概念和运算，及区间的表示，即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：D. 2．不等式 的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】， 所以不等式 的解集为. 故选：A. 3．直线与直线的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线的距离等效于与的距离， 再利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】等效于， 直线与直线的距离等效于与的距离， 直线与直线的距离为， 故选：C. 4．已知数列的前n项和为，则等于（  ） A．729 B．387 C．604 D．854 【答案】C 【分析】根据题意，结合数列中之间的关系，即可求解. 【详解】因为数列的前n项和为， 所以. 故选：C. 5．若点在角的终边上，则实数的值为（  ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】因为点在角的终边上， 所以，即， 故选：A. 6．是的（  ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据对数定义，结合充分性，必要性的定义即可得解. 【详解】当时，此时无意义，所以不能推出，故充分性不成立； 当时，成立，故必要性成立； 所以是的必要条件， 故选：. 7．若函数在内为增函数，且函数为减函数，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，列不等式组可求解. 【详解】因为函数在内为增函数，且函数为减函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 8．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】A 【分析】根据题意，结合线面关系、面面关系的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】A，因为垂直于同一条直线的两个平面平行， 所以若，，则一定成立，故选项A正确； B，若，，则l与可以平行、相交或，故选项B错误； C，若，，则或，故选项C错误； D，若，，，则与平行、相交或，故选项D错误. 故选：A. 9．已知向量，向量，则（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据求出向量的坐标，再由向量模的坐标表示运算即可. 【详解】已知向量，向量， 则， 所以， 故选：D. 10．已知圆，则过点与圆相切的直线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，点在圆上，再根据直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的方程为，则圆心， 将点代入可得：，即点在圆上， 因为，且直线过点与圆相切， 设切线的斜率为，则，即， 所以切线方程为，即. 故选：B. 11．已知则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求解. 【详解】因为对数函数在上单调递减， 所以由可得. 又因为指数函数在上单调递增，由可得. 故选：A. 12．现有三张卡片，上面分别写有数字2，3，6，从中任取两张排成一个两位数排成偶数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出所有两位数的情况，利用古典概型求概率即可. 【详解】数字2，3，6，从中任取两张排成一个两位数共有，六个， 其中偶数为四个， 则排成偶数的概率是； 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．计算： . 【答案】1 【分析】根据三角函数的运算即可解得. 【详解】 . 故答案为：. 14．函数的定义域为 . 【答案】且 【分析】根据函数的定义域得到并求解，，即可． 【详解】函数有意义， 则， 解得且， 故答案为：且． 15．若函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】根据奇函数的性质，列方程求解即可. 【详解】已知函数为奇函数， 则有，即， 得，即， 所以，即，解得， 故答案为：. 16．某校采用系统抽样的方法从1000名学生中抽取50名学生参加问卷调查，现将所有学生编号为001，002，…，1000．若抽取的第一个编号为010，则抽取的最后一个编号为 . 【答案】 【分析】系统抽样是等距抽样，先计算抽样间隔，再计算抽取的最后一个编号即可. 【详解】由题意，抽样间隔为， 第一个编号与最后一个编号间隔的组数为， 最后一个编号为， 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知，且角是第二象限角，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系，即可求解. （2）根据诱导公式，结合角所在的范围正余弦齐次式的计算，即可求解. 【详解】（1）， 角是第二象限角，， ，， . （2） 分子分母同时除以， 则原式. 18．（12分）已知，，是否存在k，使得： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)k不存在. 【分析】（1）根据向垂直的坐标表示结合已知条件列式即可求解. （2）根据共线向量的坐标表示结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 即，，解得. （2）因为，所以，即，此方程无解， 所以k不存在. 19．（12分）已知等比数列的前n项和为. (1)求m的值并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等比数列的前n项和求出首项，并求出通项公式，进而可求出参数. （2）分组求和，结合等差数列与等比数列前n项和公式求解即可. 【详解】（1）易知， 时，有，此时， 数列为等比数列时，， ，解得. （2）由（1）可知，， 则， . 20．（12分）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到平面，从而得证. 【详解】（1）取的中点，连接、，因为，分别为，的中点， 所以且，又三棱柱是正三棱柱，所以，， 所以且， 所以为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面.    （2）在正三棱柱中为的中点， 所以，又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. 21．（12分）手机支付也称为移动支付（），是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对岁至岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的调查，把回答“会”的个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频数分布表和频率分布直方图． 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 频数 x y 3 (1)求的值； (2)若从第组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数． 【答案】(1) (2)第一组抽2人，第3组抽3人 【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据，结合表中的数据计算即可. （2）首先求出抽样比，再用第组的频数乘以抽样比即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， 第一组，频率和组距的比为， 则， 第三组，， 从而. （2）由（1）可知，第1组为人，第3组共有人， 所以抽取的比例， 则从第1组抽取的人数为， 从第3组抽取的人数为. 22．（12分）西安市政府大力扶持大学生创业，大学生李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼灯．他在销售过程中发现，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可近似地看作一次函数：． (1)设李明每月获得利润为（元），试写出与之间的函数关系式；（注：单个的销售利润=销售单价－进价） (2)当销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？获得的最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)销售价为35元时，可以获得最大利润，获得的最大利润是2250元 【分析】（1）根据利润等于每件的利润与销售数量的积，列出函数式并注意实际问题中自变量的范围即可； （2）根据二次函数的性质可求解. 【详解】（1）由题意得， ； （2）由（1）可知，二次函数的对称轴为，且开口向上， 因为， 所以， 即当销售价为35元时，可以获得最大利润，获得的最大利润是2250元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$