2025年陕西省职教单招考试 数学全真模拟卷（六）（原卷版+解析版）

2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（六） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合并集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：D. 2．已知，且为第二象限角，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的基本关系式，结合象限角的三角函数符号即可得解. 【详解】因为，为第二象限角， 所以， 则. 故选：C. 3．已知,则四边形的形状为（     ） A．平行四边形 B．正方形或菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得且，再由即可判定四边形的形状为等腰梯形. 【详解】因为，所以且， 则，且，则四边形的形状为梯形； 又，所以， 则四边形为等腰梯形. 故选：D. 4．是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，，， 则，即充分性成立； 当时，取，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的性质，逐项分析求解即可. 【详解】对于选项A：为二次函数，是偶函数，但其图像开口向下，在区间 上单调递减，故A错误； 对于选项B：为偶函数，且在区间 上单调递增，故B正确； 对于选项C：为指数函数，是非奇非偶的，且在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：为对数函数，是非奇非偶的，且在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 6．已知等比数列的前项和，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，分别求出的值，即可解答. 【详解】已知等比数列的前项和， 则， ， ， 所以， 故选：B. 7．若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解. 【详解】根据圆锥的侧面积公式. 故选：D. 8．直线与直线的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程求解交点坐标即可. 【详解】联立，解得， 即交点坐标为. 故选：D. 9．过点的圆的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出过的切线方程结合圆的几何特征即可求解. 【详解】由于点在圆上，圆心， 则过圆心与点A的直线与切线垂直，其斜率为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 因此切线方程为，即 . 故选：B. 10．函数与在同一坐标系中的图像可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与二次函数图像的性质即可得解. 【详解】函数与，与轴交点坐标相同都为，故排除选项； 故选：. 11．已知，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据对数函数和指数函数的性质解不等式即可． 【详解】因为，其中， 所以在上为减函数，故； 因为，其中， 所以在上为增函数，故． 故选：C． 12．在中国古代，为了更好地指导农事活动，古人总结了一套反映季节变化规律的时间知识体系——二十四节气，并将其编成了朗朗上口的《二十四节气歌》：“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连.秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒.”每一句诗都蕴含着特定的节气名称，其中第一句就包含了春季的六个节气，一年中共24个节气，而一年12个月中，每月有两个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在同一个月的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型和组合数公式，直接计算概率. 【详解】从24个节气中任选2个节气，事件总数为， 因为一年12个月，每月有2个节气，这2个节气恰好在同一个月的事件总数为12， 所以这2个节气恰好在同一个月的概率为， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．某班有男生30人，女生20人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班学生中抽出一个容量为10的样本.如果样本按比例分配，那么男生应抽取 人． 【答案】6人 【分析】根据题意求出抽样比，结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】某班有男生30人，女生20人，则共有人， 抽出一个容量为10的样本，则抽样比为， 所以男生应抽取人， 14．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】将自变量代入对应的函数解析式，再根据对数运算和三角运算，即可求解. 【详解】因为函数， 所以， ， 故答案为：. 15．已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由二次函数的性质及闭区间内求最值的方法即可得解. 【详解】，且在区间上，不等式恒成立， ∴在区间上，不等式恒成立， 令，对称轴为，开口向上， 在上递减，故 ，即实数的取值范围为． 故答案为：． 16．如果，那么 . 【答案】 【分析】先由题意求出的值，再利用对数的运算求解即可. 【详解】因为，，且， ，解得， . 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量的夹角为，且设 (1)若，求实数t的值； (2)当时，求夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直，内积为零即可求解. （2）根据向量的内积运算即可求解. 【详解】（1）向量的夹角为，且 由题意得， ， 则 即，解得. （2）当时， . . 则，夹角的余弦值为. 18．（12分）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简题设条件得，直接代入所求即可得解； （2）利用（1）中结论得到的值，再利用三角函数的基本关系式与正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 则. （2）因为，则， 所以 . 19．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求设，证明是等差数列，并求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解出和公比，再由和公比写出通项即可. （2）根据等差数列的定义证明，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）已知数列是各项均为正数的等比数列， 设公比为，则， 由， 得，即， 解得或（舍去），， 所以. （2）证明：由（1）可得，， 则， 则， 所以， 所以是公差为的等差数列， 且， 所以的前项和. 20．（12分）三棱锥中，底面为直角三角形，，，二面角成直二面角，，求： (1)与平面所成角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，可得面，则为与平面所成的角，求解即可； （2）利用棱锥的体积公式求解． 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，∴， ∵二面角成直二面角，即面面， 面面，面， ∴面， ∴为在平面上的射影， ∴为与平面所成的角， ∵， ，， ∴，∴． （2）∵面，，，， ∴三棱锥的体积． 21．（12分）对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据直方图完成以下表格； 成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 （2）求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （3）如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？ 【答案】（1）表格见解析；（2）78；101；（3）初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛． 【解析】（1）根据频率分布直方图确定每组数据的频率及频数； （2）根据频率分布直方图并利用平均值及方差公式求得参赛选手初赛的平均数及方差； （3）根据（1）的成绩分布表，确定进入复赛的最低分位于[80，90)，故成绩为分. 【详解】（1）填表如下： 成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数 50 150 350 350 100 （2）平均数为， 方差:. （3）进入复赛选手的成绩为 (分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可). 22．（12分）某景区销售一种纪念品，这种纪念品的成本价为10元/件，销售价不低于成本价，且物价部门规定这种纪念品的销售价不得高于20元/件，市场调查发现，该纪念品每天的销售量y（单位：件）与销售价x（单位：元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【分析】（1）根据图像，利用待定系数法，即可求解. （2）利用函数关系表示出利润，再根据定义域求二次函数最值，即可求解. 【详解】（1）设与的函数关系式为， 由图像知过点和点，则， 解得， 所以y与x的函数关系式为（）． （2）设每天的销售利润为， 则， 化简得， 因为，所以当时，随的增大而增大， 又因为， 所以当时，W取得最大值，，                 所以每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（六） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．已知集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合并集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：D. 2．已知，且为第二象限角，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的基本关系式，结合象限角的三角函数符号即可得解. 【详解】因为，为第二象限角， 所以， 则. 故选：C. 3．已知,则四边形的形状为（     ） A．平行四边形 B．正方形或菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得且，再由即可判定四边形的形状为等腰梯形. 【详解】因为，所以且， 则，且，则四边形的形状为梯形； 又，所以， 则四边形为等腰梯形. 故选：D. 4．是的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，，， 则，即充分性成立； 当时，取，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 5．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的性质，逐项分析求解即可. 【详解】对于选项A：为二次函数，是偶函数，但其图像开口向下，在区间 上单调递减，故A错误； 对于选项B：为偶函数，且在区间 上单调递增，故B正确； 对于选项C：为指数函数，是非奇非偶的，且在定义域上单调递减，故C错误； 对于选项D：为对数函数，是非奇非偶的，且在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 6．已知等比数列的前项和，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，分别求出的值，即可解答. 【详解】已知等比数列的前项和， 则， ， ， 所以， 故选：B. 7．若圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式求解. 【详解】根据圆锥的侧面积公式. 故选：D. 8．直线与直线的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程求解交点坐标即可. 【详解】联立，解得， 即交点坐标为. 故选：D. 9．过点的圆的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出过的切线方程结合圆的几何特征即可求解. 【详解】由于点在圆上，圆心， 则过圆心与点A的直线与切线垂直，其斜率为， 所以切线的斜率为，又切线过点， 因此切线方程为，即 . 故选：B. 10．函数与在同一坐标系中的图像可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与二次函数图像的性质即可得解. 【详解】函数与，与轴交点坐标相同都为，故排除选项； 故选：. 11．已知，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据对数函数和指数函数的性质解不等式即可． 【详解】因为，其中， 所以在上为减函数，故； 因为，其中， 所以在上为增函数，故． 故选：C． 12．在中国古代，为了更好地指导农事活动，古人总结了一套反映季节变化规律的时间知识体系——二十四节气，并将其编成了朗朗上口的《二十四节气歌》：“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连.秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒.”每一句诗都蕴含着特定的节气名称，其中第一句就包含了春季的六个节气，一年中共24个节气，而一年12个月中，每月有两个节气．若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在同一个月的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型和组合数公式，直接计算概率. 【详解】从24个节气中任选2个节气，事件总数为， 因为一年12个月，每月有2个节气，这2个节气恰好在同一个月的事件总数为12， 所以这2个节气恰好在同一个月的概率为， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．某班有男生30人，女生20人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班学生中抽出一个容量为10的样本.如果样本按比例分配，那么男生应抽取 人． 【答案】6人 【分析】根据题意求出抽样比，结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】某班有男生30人，女生20人，则共有人， 抽出一个容量为10的样本，则抽样比为， 所以男生应抽取人， 14．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】将自变量代入对应的函数解析式，再根据对数运算和三角运算，即可求解. 【详解】因为函数， 所以， ， 故答案为：. 15．已知函数，若在区间上，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由二次函数的性质及闭区间内求最值的方法即可得解. 【详解】，且在区间上，不等式恒成立， ∴在区间上，不等式恒成立， 令，对称轴为，开口向上， 在上递减，故 ，即实数的取值范围为． 故答案为：． 16．如果，那么 . 【答案】 【分析】先由题意求出的值，再利用对数的运算求解即可. 【详解】因为，，且， ，解得， . 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量的夹角为，且设 (1)若，求实数t的值； (2)当时，求夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直，内积为零即可求解. （2）根据向量的内积运算即可求解. 【详解】（1）向量的夹角为，且 由题意得， ， 则 即，解得. （2）当时， . . 则，夹角的余弦值为. 18．（12分）已知，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简题设条件得，直接代入所求即可得解； （2）利用（1）中结论得到的值，再利用三角函数的基本关系式与正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 则. （2）因为，则， 所以 . 19．（12分）已知数列是各项均为正数的等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求设，证明是等差数列，并求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解出和公比，再由和公比写出通项即可. （2）根据等差数列的定义证明，再由等差数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）已知数列是各项均为正数的等比数列， 设公比为，则， 由， 得，即， 解得或（舍去），， 所以. （2）证明：由（1）可得，， 则， 则， 所以， 所以是公差为的等差数列， 且， 所以的前项和. 20．（12分）三棱锥中，底面为直角三角形，，，二面角成直二面角，，求： (1)与平面所成角的大小； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，可得面，则为与平面所成的角，求解即可； （2）利用棱锥的体积公式求解． 【详解】（1）取的中点，连接， ∵，∴， ∵二面角成直二面角，即面面， 面面，面， ∴面， ∴为在平面上的射影， ∴为与平面所成的角， ∵， ，， ∴，∴． （2）∵面，，，， ∴三棱锥的体积． 21．（12分）对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据直方图完成以下表格； 成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 频数 （2）求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （3）如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？ 【答案】（1）表格见解析；（2）78；101；（3）初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛． 【解析】（1）根据频率分布直方图确定每组数据的频率及频数； （2）根据频率分布直方图并利用平均值及方差公式求得参赛选手初赛的平均数及方差； （3）根据（1）的成绩分布表，确定进入复赛的最低分位于[80，90)，故成绩为分. 【详解】（1）填表如下： 成绩 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数 50 150 350 350 100 （2）平均数为， 方差:. （3）进入复赛选手的成绩为 (分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可). 22．（12分）某景区销售一种纪念品，这种纪念品的成本价为10元/件，销售价不低于成本价，且物价部门规定这种纪念品的销售价不得高于20元/件，市场调查发现，该纪念品每天的销售量y（单位：件）与销售价x（单位：元/件）之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【分析】（1）根据图像，利用待定系数法，即可求解. （2）利用函数关系表示出利润，再根据定义域求二次函数最值，即可求解. 【详解】（1）设与的函数关系式为， 由图像知过点和点，则， 解得， 所以y与x的函数关系式为（）． （2）设每天的销售利润为， 则， 化简得， 因为，所以当时，随的增大而增大， 又因为， 所以当时，W取得最大值，，                 所以每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$