2025年陕西省职教单招考试 数学全真模拟卷（七）（原卷版+解析版）

2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（七） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．若两直线和互相垂直，则的值为 （    ） A．4 B．1 C．2 D． 4．已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 5．已知角终边上一点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 8．已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知某一圆柱的侧面积和体积均为，则该圆柱的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知点，则（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，圆与轴相切，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 12．端午节是我国传统佳节，小芳同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其他均相同）到学校，其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给她的好朋友小丽.小丽收到的两个粽子都是肉馅的概率（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．= . 14．已知函数在定义域上是增函数，且，则的取值范围是 . 15．若 为偶函数，则 . 16．采用系统抽样从含有个个体的总体（编号为）中抽取一个容量为的样本，已知最后一个入样编号是，则第1个入样编号是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 18．（12分）已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值． 19．（12分）等比数列的各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 20．（12分）已知，，，求： (1)的值； (2)的值． 21．（12分）某公司生产某种设备每年需固定支出120万元，此外每台设备还需支出其它费用2万元．设该公司年产量为台，当时，公司年销售总收入为万元，当时，公司年销售总收入为万元． (1)求该公司年利润与年产量的函数关系式（年利润年销售总收入-年总支出）； (2)当该公司年产量为多少台时，所获年利润最大？最大利润是多少？ 22．（12分）为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分为5组，即，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示.    (1)若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取n人做采访，其中年龄在中被抽取的人数为7，求n； (2)若各区间的值以该区间的中点值作代表，求上述网民年龄的方差的估计值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（七） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集和补集的概念求解. 【详解】因为，， 所以， 又全集，所以， 故选：C. 2．关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式，即， 解得，即不等式的解集为， 故选：B． 3．若两直线和互相垂直，则的值为 （    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据直线垂直的条件列方程求解即可. 【详解】已知两直线和互相垂直， 则有，解得， 故选：D. 4．已知等差数列，其前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，及等差数列的前n项和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 所以，即， 所以. 故选：C. 5．已知角终边上一点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边上一点的坐标，求出与即可得解. 【详解】因为角终边上一点的坐标为， 所以，， 则， 故选：. 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性和充分条件必要条件的概念，即可求解. 【详解】因为指数函数在定义域上单调递增， 当时，，得到“”“”， 又，指数函数在定义域上单调递增，得到，推不出， 所以“” “”， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 7．设，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性，结合中间值0、1比较大小即可. 【详解】，且，， 又，且，， ，． 综上，． 故选：C． 8．已知函数若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合分段函数解析式、指数函数的单调性、二次不等式的解法，可分别求出和时，不等式的解集，即可求解. 【详解】当时，，解得； 当时，，即， 所以，解得， 所以， 综上所述， ． 即的取值范围为. 故选：A． 9．已知某一圆柱的侧面积和体积均为，则该圆柱的高为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面积公式和体积公式，即可求解. 【详解】由题意，设底面半径为，高为， 则体积，侧面积， 所以， 解得， 故选：D． 10．已知点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算及坐标表示即可得解. 【详解】因为点， ． 故选：D． 11．如图所示，圆与轴相切，其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的圆心和半径求解即可. 【详解】依图可得，圆心坐标为， 又因为圆与轴相切，半径， 带入圆的标准方程可得. 故选：D． 12．端午节是我国传统佳节，小芳同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其他均相同）到学校，其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给她的好朋友小丽.小丽收到的两个粽子都是肉馅的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得所需基本事件的件数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】依题意，记两个肉粽馅为、红枣馅粽子为、豆沙馅粽子为， 从中任取两个的基本事件有共6件， 其中小丽收到的两个粽子都是肉馅的基本事件只有共1件， 所以小丽收到的两个粽子都是肉馅的概率为. 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．= . 【答案】2 【分析】由诱导公式以及特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】 . 故答案为：2. 14．已知函数在定义域上是增函数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性结合定义域进行求解. 【详解】∵函数在定义域上是增函数，且， ∴，解得，，即的取值范围是. 故答案为：． 15．若 为偶函数，则 . 【答案】2 【分析】首先由诱导公式将化简，再根据偶函数的定义列方程求解即可. 【详解】已知 ， 因为为偶函数，所以， 即， 得，即，解得， 故答案为：2. 16．采用系统抽样从含有个个体的总体（编号为）中抽取一个容量为的样本，已知最后一个入样编号是，则第1个入样编号是 . 【答案】 【分析】根据样本容量得出系统抽样间隔，再由最后一个入样编号即可确定入样编号. 【详解】已知总体数量为，样本容量为， 则系统抽样间隔为， 则由最后一个入样编号是， 得， 所以第1个入样编号是， 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 18．（12分）已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可； （2）利用诱导公式化简，然后利用同角三角函数的基本关系式求值即可. 【详解】（1） （2）∵，∴. 又是第三象限角，∴， ∴. 19．（12分）等比数列的各项均为正数，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用通项公式和已知条件列式可求得，可得通项公式； （2）由的通项公式求得，利用裂项相消法可求数列的前n项和. 【详解】（1）设公比为，由题得 解得或. 因为等比数列的各项均为正数， 故. （2）， . ， 故数列的前n项和 . 20．（12分）已知，，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据内积的概念求的值； （2）由，结合向量内积的运算律计算. 【详解】（1）已知，，， 则. （2）. 21．（12分）某公司生产某种设备每年需固定支出120万元，此外每台设备还需支出其它费用2万元．设该公司年产量为台，当时，公司年销售总收入为万元，当时，公司年销售总收入为万元． (1)求该公司年利润与年产量的函数关系式（年利润年销售总收入-年总支出）； (2)当该公司年产量为多少台时，所获年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该公司年产量为16台时，所获年利润最大，最大利润是136万元 【分析】（1）根据题意，结合分段函数求解析式，分别求出和时，对应的年利润，即可求解； （2）根据题意，结合分段函数求最值，分别求出每段区间上函数的最大值，比较即可求解. 【详解】（1）由题意，得当，时，； 当，时，， 所以年利润与年产量的函数关系式为； （2）由（1）得当，时，， 所以当时，函数取得最大值； 当，时，， 所以当时，函数取得最大值，即； 综上所述，当时，函数取得最大值， 即当该公司年产量为16台时，所获年利润最大，最大利润是136万元. 22．（12分）为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分为5组，即，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示.    (1)若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取n人做采访，其中年龄在中被抽取的人数为7，求n； (2)若各区间的值以该区间的中点值作代表，求上述网民年龄的方差的估计值. 【答案】(1)20 (2)124 【分析】（1）根据频率和为1求出，结合分层抽样的知识求n； （2）根据频率分布直方图求出平均值，再结合方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，， 解得，年龄在中人数所占比例为 则. （2），，，，五组的频率分别为， 若各区间的值以该区间的中点值作代表，则上述网民年龄的平均值的估计值为（岁） 方差的估计值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$