2025年陕西省职教单招考试 数学全真模拟卷（九）（原卷版+解析版）

2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（九） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的并集求解即可. 【详解】因为集合, 所以. 故选：C. 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次不等式的解法可求. 【详解】不等式可化为， 解得，即不等式的解集为； 故选：A. 3．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数的定义域、奇偶性及最值，即可判断求解. 【详解】因为， 又恒成立，故函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 又， 所以函数是定义域在R上的偶函数， 且当取得最小值1时，函数取得最小值， 即时，. 故选：A. 4．已知角终边过点，若，则的值是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义列方程求解即可. 【详解】已知角终边过点， 则，得， 即，则， 解得，因为， 所以， 故选：C. 5．已知平行四边形，则向量（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法法则即可得解. 【详解】如图， ，故C正确，显然其他选项都错误. 故选：C. 6．在数列中，若，且，则（ ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合数列的递推公式，可得数列是以6为周期的周期数列，继而可得，即可求解. 【详解】因为在数列中， ，且， 所以， 所以数列是以6为周期的周期数列， 所以． 故选：A． 7．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题中不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交 【答案】D 【分析】利用线面垂直的性质定理判断A，利用线面垂直与平行的性质定理判断B，利用反证法，结合线面垂直的性质定理判断判断C，利用线面的位置关系判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，，所以， 又，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以或， 当时，由易得， 当时，由线面平行的性质可知，内必存在直线， 因为，，所以，则，故B正确； 对于C，假设，由，得， 又，则，这与条件与相交，矛盾， 所以假设不成立，即相交，故C正确； 对于D，若与相交，与可以是相交直线，也可以是异面直线，故D错误. 故选：D. 8．若平行直线：与：之间的距离为，则（ ） A．27 B．3或 C．33或 D．或27 【答案】D 【分析】根据两直线平行求出，再根据平行线之间的距离公式易得答案. 【详解】因为平行直线：与：， 所以， 又直线：与：间的距离为， 所以， 解得或9，所以或27． 故选：D． 9．已知实数满足，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性可得，再由作商法结合对数的换底公式比较大小即可. 【详解】因为， 且均为增函数， 由，得， 设， 则， 则， 由于在上为增函数，所以， 所以，则， 由于在上为增函数，所以， 可得． 故选：A. 10．“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由绝对值不等式结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可解得， 则，不能推出，如时，，充分性不成立； 又，得到，可以推出，必要性成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 11．已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知，点C在直线上，代入求a，根据两点之间的距离求得，利用勾股定理结合题意即可求解. 【详解】因为圆， 所以圆心坐标为，半径为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，即， 因为过点向圆作切线，切点为， 所以， 所以， 故选：C. 12．为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程，则甲、乙恰好选中相同课程的概率为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】如图，根据题意可得：“甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程”共有36个基本事件， “甲、乙恰好选中相同课程”共有6个基本事件，则概率为. 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．已知函数，若，那么x的值为 . 【答案】或 【分析】根据x的不同取值，代入对应的函数解析式即可求解. 【详解】若，由，可得，所以， 若，由，可得，即，所以. 故答案为：或. 14．若，且角为第三象限角，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式，先求出的值，结合同角三角函数的平方关系及三角函数在各象限的符号，即可求出的值，利用三角函数诱导公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 又角为第三象限角， 所以， 所以. 故答案为：. 15．已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用的奇偶性与单调性得到，结合的取值范围解绝对值不等式得到，进而将问题转化为求，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】因为是偶函数，且在上是增函数， 所以由，得，则， 又，所以，即， 整理得，即， 因为，所以，则，， 所以，，故. 故答案为：. 16．某中职学校高一年级共800人，高二年级共1200人，高三年级共1000人.为了检测学生的身高，将采用分层抽样的方式从中抽取500人进行检测，则应从高二年级抽取的人数为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合分层抽样的概念，即可求解. 【详解】由题意，应从高二年级抽取的人数为人. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列的前n项和，求： (1)数列的通项公式； (2)设，求数列第7项到第27项的和. 【答案】(1) (2)357 【分析】（1）根据与之间的关系求解； （2）先求，利用等差数列的求和公式可得. 【详解】（1）当时， ， 当时， 也符合上式， 故 （2）由(1)知， 数列第7项到第27项的和为 . 18．（12分）已知在第二象限，且． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】(1)先利用对数的运算进行化简，然后得出正弦值，再根据同角关系和所在象限得出余弦， 即可得出结果； (2)先利用诱导公式进行化简，然后再根据正切的齐次式化简，代入第一问正切值可得结果. 【详解】（1）由，可得， 而，则， 因为是第二象限角，所以， 所以； （2）， 由，则原式. 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，且是直角梯形，，，点是的中点. (1)证明：直线平面； (2)者直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证得，，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）根据线面角的定义，得到即为直线与平面所成角，在直角中，求得，得到，结合，即可求解. 【详解】（1）证明：因为平而，平面，所以， 又因为，且，可得， 所以，所以 又由且平面，所以平面. （2）解：由（1）知平面，所以即为直线与平面所成角， 在直角中，可得，可得， 在直角中，可得， 所以三棱锥的体积为. 20．（12分）已知，与的夹角为. (1)求 的坐标； (2)若与同向，且与垂直，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示求出，利用向量的模的坐标表示分别求出，再由内积的定义列方程求解即可. （2）根据与同向，可设，再由向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】（1）已知， 则， ，， 由与的夹角为，可得， 即，得， 解得或，因为，所以， 即的坐标为. （2）由（1）可知，的坐标为， 由与同向，设，且， 则， 由与垂直，得， 即，， 解得，所以，即. 21．（12分）200名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下. (1)求本次数学考试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若从本次考试成绩在内的学生中选人，刚好选中的人成绩在之间，另人成绩在之间的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从频率分布直方图中读取信息，再由频率分布直方图的知识进行计算即可. （2）根据古典概型和分步计数原理、组合的知识求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知组距为，且， 解得，因此成绩在区间的频率分别为, 因此本次数学的平均成绩为. （2）由（1）可知成绩在的频率分别为，所以在区间频率为， 因此在这两个区间内的学生分别为，总共有人. 选到每个人的概率是相等的，可视为古典概型，按要求可将其分为两个步骤，将从人中选人共有 种情况，满足要求的选人第一步从中的选人，第二步是从中的人选人， 故完成符合要求的选人情况有种，因此满足题目要求的概率为. 22．（12分）如图，利用一面墙作为一边，用总长米的篱笆作为其他三边，围成一个长方形小花圃，花圃平行墙的一侧开了一个1米宽的门（不占用篱笆材料），设的长为x米，四边形的面积为y平方米． (1)当时，求y的值； (2)写出y关于x的函数解析式，并求y的最大值． 【答案】(1)30（平方米） (2)，，32（平方米） 【分析】（1）根据的长可得出的长，再由长方形面积公式求值即可. （2）根据题意，建立二次函数模型，再由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】（1）在长方形中， 当时，（米），（米）， 所以四边形ABCD的面积（平方米）. （2）因为，所以， 所以四边形ABCD的面积，其中， 所以关于x的函数解析式为，， 化为顶点式为， 当时，，y有最大值，（平方米）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年陕西省普通高校职业教育单独招生统一考试 数学全真模拟卷（九） （满分150分，考试时间120分钟） 班级：___________姓名：___________考号：___________成绩:___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选出的答案标号填入题后的括号内） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 4．已知角终边过点，若，则的值是（ ） A．2 B． C． D． 5．已知平行四边形，则向量（ ） A． B． C． D． 6．在数列中，若，且，则（ ） A．4 B． C． D． 7．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则下列命题中不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若与相交，则与相交 D．若与相交，则与相交 8．若平行直线：与：之间的距离为，则（ ） A．27 B．3或 C．33或 D．或27 9．已知实数满足，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 10．“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ） A． B． C． D． 12．为弘扬我国古代“六艺”文化，某校研学活动社团计划开设“礼、乐、射、御、书、数”六门体验课程.若甲、乙两位同学均只能体验其中一门课程，则甲、乙恰好选中相同课程的概率为（ ） A． B． C．1 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．已知函数，若，那么x的值为 . 14．若，且角为第三象限角，则 ． 15．已知是偶函数，且在上是增函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 . 16．某中职学校高一年级共800人，高二年级共1200人，高三年级共1000人.为了检测学生的身高，将采用分层抽样的方式从中抽取500人进行检测，则应从高二年级抽取的人数为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列的前n项和，求： (1)数列的通项公式； (2)设，求数列第7项到第27项的和. 18．（12分）已知在第二象限，且． (1)求； (2)求的值． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，且是直角梯形，，，点是的中点. (1)证明：直线平面； (2)者直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 20．（12分）已知，与的夹角为. (1)求 的坐标； (2)若与同向，且与垂直，求. 21．（12分）200名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下. (1)求本次数学考试的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若从本次考试成绩在内的学生中选人，刚好选中的人成绩在之间，另人成绩在之间的概率为多少？ 22．（12分）如图，利用一面墙作为一边，用总长米的篱笆作为其他三边，围成一个长方形小花圃，花圃平行墙的一侧开了一个1米宽的门（不占用篱笆材料），设的长为x米，四边形的面积为y平方米． (1)当时，求y的值； (2)写出y关于x的函数解析式，并求y的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$