精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高二3月月考数学试题

2025年度高二数学3月月考卷 一、单选题 1. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. 6 D. 2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 135° 3. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面距离为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列结论中正确的有（ ） A. B. C D. 10. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面 11. 已知函数（，且），下列说法正确的是（ ） A. 当时，可能存在两个零点 B. 若恒成立，则 C. 若恒成立，则的最小值为 D 若恒成立，且，则 三、填空题 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量是________. 13. 如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是______． 14. 已知正四面体的棱长为6，是棱的中点，是棱上一动点，若在上，使得与平面所成的角为，则线段的长度的最小值是______. 四、解答题 15. 已知函数，且满足 （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 如图，在三棱柱中，，，，点满足. （1）用表示； （2）若三棱锥的所有棱长均为，求及. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，函数在区间内有唯一的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：在区间内有唯一的零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年度高二数学3月月考卷 一、单选题 1. 已知，，且，则x的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量平行列出方程即可求解. 【详解】由题意，，且，所以，解得. 故选：D. 2. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数几何意义求斜率，再求倾斜角. 【详解】因为，则，所以， 所以曲线在点处的切线的倾斜角为. 故选：D． 3. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案. 【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则， ∴． 故选:B． 4. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算可得和数量积的运算律和定义计算即可求解. 【详解】，因为分别为的中点， 所以，，且， 则 ， 所以， 即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为. 故选：C 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据导数正负排除BC. 【详解】由题意，，故函数的图象关于y轴对称，排除D； 当时，，， ，排除B， 可知时，其中是无限接近0的一个正数，，排除C； 故选:A． 6. 在直四棱柱中，底面是正方形，，，点在棱上，若直线到平面的距离为，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系后利用点到直线的距离空间向量求解后可得正确的选项. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设． 因，平面，平面，故平面， 故直线到平面的距离为到平面的距离. ，， 设平面的法向量为，则由可得： ，取， 故到平面的距离，故，故， 故选：C. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，然后由已知可得的单调性，最后将不等式转化为，即可得到答案. 【详解】，令， 则，则在上单调递增. 由，为奇函数，得，则， 从而原不等式可化为，即，此即为. 由于在上单调递增，故这等价于，所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件. 8. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，条件可转化为恰有两个不同的实数解，画函数与函数的图象，观察图象可得结论. 【详解】由题可知恰有两个不同的实数解，即恰有两个不同的实数解. 令，则， 又，所以在上单调递增， 所以函数的值域为， 所以恰有两个不同的实数解. 所以函数与函数的图象有且仅有两个交点， 设，则， 令，解得，在上单调递增， 令，解得，在单调递减， 且， 当时，，当时，， 当时，， 作出函数和的大致图象如图， 由图象可知，当时，恰有两个不同的实数解， 即的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过令将条件转化为方程恰有两个不同的实数解. 二、多选题 9. 下列结论中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的求导公式逐个计算即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若，则存在，使 D. 若，则存在，使平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项，统一变量，结合向量的线性运算关系判断动点的位置可得出结果；C选项可做反解验证，以垂直为条件运算；D选项为探究，可假设存在，以线面垂直为条件求解验证判别. 【详解】 对于A，若，则，则点在线段上，如上图. 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故因平面，平面，故平面，同理可证平面， 因平面，平面，且，故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，若，则（为的中点）如上图. 又因为，所以.故点的轨迹长度为，故B正确； 对于C，若，则，所以. ，所以点在线段上（如上图）.假设，则， 即，化简得， 该方程无解，所以不存在，故C错误； 对于D，如上图，设为的中点， 当时，则，即， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则， . 所以. 假设平面，则， 即，解得.故D正确. 故选： . 11. 已知函数（，且），下列说法正确的是（ ） A. 当时，可能存在两个零点 B. 若恒成立，则 C. 若恒成立，则的最小值为 D. 若恒成立，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求导结合零点存在性定理可判断A；分与两种情况讨论可求得判断B；利用，求导可求得的最小值判断C；由选项B知，，可得，利用换元法，结合对数平均值不等式计算可判断D. 【详解】函数的定义域为 选项A．当时，， 故在上为单调递增函数，由，， 根据零点存在性定理，在上存在唯一的一个零点．故选项A错误． 选项B．由选项A知，当时，在上单调递增， 无最小值，且，不合题意，故． 当时，，， 令，则， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 故时，有极小值，也是最小值． ， 由题意，，又，则，可得， 所以，则．选项B正确． 选项C．由选项B知，，，令，则， 在单调递减，在单调递增． 故，即的最小值为．选项C正确． 选项D．由选项B知，，且． ，由得， 令，则，易知，故 由对数平均不等式得，得，即 由，故，故选项D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：D选项，关键于由，得到，换元法结合对数平均值不等式求得结论. 三、填空题 12. 已知，，则向量在向量上的投影向量是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，， 则向量在向量上的投影向量为， 故答案为：. 13. 如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积为，化简得到，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】设点坐标为，由点在椭圆上知，得， 等腰梯形的面积为， ， 令， ， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则在区间上，有唯一的极大值点， 所以当时，有最大值为； 即当时，有最大值为. 故答案为：. 14. 已知正四面体的棱长为6，是棱的中点，是棱上一动点，若在上，使得与平面所成的角为，则线段的长度的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先将正三棱锥补全为正方体，然后根据题中条件求得点的轨迹；然后求解即可. 【详解】如图将该正三棱锥补全为一个正方体，建立空间直角坐标系，点为点在平面的投影， 易知， 平面的一个法向量，显然点在平面上， 设 易知 由题可知， 得 整理得 易知到点的距离, 所以在以为球心，半径为的球面上； 由题易知，, 所以， 所以，点在平面上是以点为圆心的圆上， 所以线段的长度的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：这个题最重要是求点的轨迹，我们利用的是空间直角坐标系确定轨迹，然后再在平面上来解决问题即可. 四、解答题 15. 已知函数，且满足 （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在区间上的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，即方程， 解得 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 16. 如图，在三棱柱中，，，，点满足. （1）用表示； （2）若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分和，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性； （2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，若，即时，在上单调递增， 若，即时，令，得； 令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 因为，恒成立， 所以，则， 令且，则， 令，则，故在上单调递增， 又，所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以，实数的取值范围为. 18. 如图，在多面体中，平面，四边形为平行四边形，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在点，使得满足要求，此时 【解析】 【分析】（1）由平面，，得，，两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过计算即可得证； （2）利用空间向量求直线与平面的所成角的方法计算，即可得到结果； （3）由空间向量的坐标运算以及二面角的公式，代入计算，即可得到结果. 小问1详解】 证明：因为平面，平面， 所以，， 又，所以，，两两垂直， 以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， 所以，所以. 【小问2详解】 设平面的一个法向量， 因为，， 所以，即， 令，则，，所以， 又，设直线BD与平面BEF所成角， 则. 【小问3详解】 假设存在，设，则， 所以， 设平面DHP的一个法向量，因为， 所以，即， 令，则，， 所以， 由（2）问可知：平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，函数在区间内有唯一的极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：在区间内有唯一的零点，且. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数求得切线斜率，由点斜式得直线方程并整理即可； （2）（i）求出导函数，根据分类讨论，分和两类，对还需对导函数再一次求导，确定单调性，极值点； （ii）在（i）的基础上，先证明是唯一零点，然后证明：求出，利用是极值点，化简消去，得的函数，然后利用导数证明，最后由的单调性得证结论成立． 【小问1详解】 当时，， ，即切点为， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 （i）函数， ①当时，当时，， 则在区间上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去； ②当时，设， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递增，即在区间上单调递增， 又在区间上有唯一零点， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 函数在区间内有唯一极值点，符合题意， 综上，的取值范围是. （ii）由（i）知，当时，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 时，，则， 又在区间上有唯一零点， 即在区间上有唯一零点. ， 由①知， 则， 设， 则， ， 在区间上单调递增，又， 又. . 由前面讨论知在区间上单调递增， . 【点睛】方法点睛：本题考查用导数确定函数的极值点与零点问题，属于难题．证明，考虑到的来源，因此联想用的单调性，只要证明，这是关键，为此计算，并由是极值点得出与的关系，从而消去参数，只剩下一个未知数，引入新函数，利用导数证明出结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$