精品解析：福建省长乐第一中学2024-2025学年八年级下学期数学第一次适应性练习

长乐一中 2024-2025学年第二学期第一次适应性练习 八年级数学 （内容：第16-18章；满分：150；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算．根据二次根式的加减运算法则逐项判断，即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，若的长为16米，则A，B间的距离是（ ） A. 18米 B. 20米 C. 24米 D. 32米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据题意，是的中位线，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，是的中位线， ∴（米）， 故选：D． 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得. 【详解】解：如图： ∵四边形为平行四边形， ∴. ∵， ∴， ∴. 故选D． 5. 下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，能判断为直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能判断为直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能判断为直角三角形，故本选项符合题意； D、设，则，能判断为直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 7. 如图，两平行线和的距离是4，点，分别在和上，且和的夹角，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 过点B作，垂足为D，根据垂直定义可得，根据题意可得：，再根据平角的定义可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可得：，根据等角对等边得出，最后根据勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：过点B作，垂足为D， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，则顶点D的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标和平行四边形性质，灵活运用平行四边形的性质成为解题的关键． 如图：根据平行四边形对边平行且相等的性质可得，进而确定点C和点D纵坐标相同，再根据两点之间的距离列方程即可解答． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∵平行四边形， ∴， ∴轴， ∴点C和点D纵坐标相同，即为3； 又∵，点， ∴ ， ∴点D坐标为． 故选A． 9. 我们知道，菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直”是真命题，但它的逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，下列图形可作为判断该逆命题是假命题的反例（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、对角线不垂直，不能判断该逆命题是假命题，不符合题意； B、对角线不垂直，不能判断该逆命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直，但四边形是菱形，不能判断该逆命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直，但四边形不是菱形，能作为判断该逆命题是假命题的反例，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 10. 在一节《综合与实践》课上，老师和同学们正在进行剪纸活动．老师用一张边长为2的正方形纸片按如下步骤确定线段的位置，最后剪下矩形： ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接，作的角平分线，交于点； ③过点作于点； 小刘同学通过推理计算出的值为（ ），于是他明白了老师的用意． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，连接，设，则，由角平分线的性质可得，求出，证明得到，则，勾股定理得到，解得． 【详解】作于点，连接， 设，则， 根据角平分线的性质，可知， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，由勾股定理可得． ∴ ． 解得， 故选：B 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质、垂线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一个菱形的面积为10cm²，它其中一条对角线的长度为10cm，则另一条对角线的长度为_______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求菱形的面积．设另一条对角线长为，由菱形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：设另一条对角线长为，由菱形的面积公式得： ， 解得， 即另一条对角线的长为． 故答案为：2． 12. 在中，，点O是斜边的中点，若，则的长度为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点O是斜边的中点， ∴． 故答案为：5． 13. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，若，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．利用直角三角形30度角的性质，可得． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：4． 14. 如图，在数轴上点A表示的实数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 15. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 16. 如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式的知识点，灵活运用二次根式的混合运算法则成为解题的关键． （1）先根据平方差公式计算，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，的对角线，交于点，过点且分别与，交于点、． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．由平行四边形的性质可得，，进而得到，证明即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 在和中， ， ， ． 19. 如图，在四边形中，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴,， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在小正方形的顶点上，且点O为其对角线交点． （1）在图1中画一个两边长分别为2和4的矩形； （2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形对角线相等； （3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（2）中所画平行四边形的一条对角线相等． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的定义以及题目要求画出图形即可； （2）根据平行四边形的定义以及题目要求画出图形即可； （3）根据正方形的定义以及题目要求画出图形即可． 【小问1详解】 解：在图1中，矩形ABCD即为所求（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：在图2中，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：在图3中，正方形ABCD即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上找出点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，理解垂直平分线的性质成为解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，其于的交点即为所求； （2）设，由（1）知，进而得到、，再根据勾股定理列方程求解即可． 小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：设，由（1）知， ， ， ，， ， ， ，解得， ． 22. 如图，在中，，分别是边，的中点，过点作交延长线于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）请对的边或角添加一个条件，使得四边形成为菱形，并进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）当是直角三角形时，四边形是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形； （2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可． 【小问1详解】 证明：点、分别是边、的中点， ∴， ∵， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 当直角三角形时，四边形是菱形， 理由：点是边的中点，是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ，则， ， ∵， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键． 23. 验证勾股定理： 课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ （1）小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，） 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积_______， 方法2：四边形的面积_______， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______． 化简可得：． （2）请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证． 【答案】（1），， （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法的探究，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）根据三角形的面积公式直接解答即可； （2）先构建图形，如图所示，由全等的性质推出，，，求得；可得；结合且，可得，即可证明勾股定理． 【小问1详解】 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积， 方法2：四边形的面积， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：． 化简可得：． 【小问2详解】 如图，将两个全等的直角三角形和，如图所示那样摆放，且．点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接． 求证：， 证明：由题意得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． ∵， 即且， ∴ = ， ∴，即． 24. 如1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，A和C的坐标分别为且a，c满足． （1）求a，c的值； （2）点D在上，将沿折叠，使点O落在矩形内点E处． ①如图2，D，E，B三点共线，连接，求此时点D的坐标； ②如图3，若点D是线段的中点，连接，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根以及平方的非负性，列式计算，即可作答． （2）先由折叠得出，①根据矩形性质以及等角对等边，得出，再结合勾股定理列式计算，即可作答． （3）通过斜边上的中线等于斜边的一半，得出，再根据等面积法求出，然后结合勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵a，c满足． ∴， 则， ∴； 【小问2详解】 解：沿折叠，使点O落在矩形内点E， ∴， ①∵四边形是矩形，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴， 即点D的坐标为； ②连接，交于点H，如图， ∵D是线段的中点， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 即， 在中，． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，坐标与图形，算术平方根的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 如图1，E是正方形外一点，且满足，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，M是的中点，作于点N，连接，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理： （1）如图所示，过点C作于F，交延长线于G，证明四边形矩形得到，再证明，得到，即可证明四边形是正方形，进而可证明结论； （2）如图所示，过点D作交于H，可证明是等腰直角三角形，得到，证明，得到，由勾股定理得，据此可证明； （3）如图所示，延长到H，使得，连接，证明，得到，证明是等腰直角三角形，得到，进而证明，得到，由，可证明． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点C作于F，交延长线于G， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 证明：如图所示，过点D作交于H， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明，如图所示，延长到H，使得，连接， ∵M是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长乐一中 2024-2025学年第二学期第一次适应性练习 八年级数学 （内容：第16-18章；满分：150；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在外选一点C，然后测出的中点M，N，若的长为16米，则A，B间的距离是（ ） A. 18米 B. 20米 C. 24米 D. 32米 4. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 下列条件中，a，b，c分别为三角形的三边，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 7. 如图，两平行线和的距离是4，点，分别在和上，且和的夹角，则的长为（ ） A B. C. 4 D. 8 8. 在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，则顶点D的坐标是（ ）． A. B. C. D. 9. 我们知道，菱形的性质：“菱形的对角线互相垂直”是真命题，但它的逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是假命题，下列图形可作为判断该逆命题是假命题的反例（ ） A. B. C. D. 10. 在一节《综合与实践》课上，老师和同学们正在进行剪纸活动．老师用一张边长为2正方形纸片按如下步骤确定线段的位置，最后剪下矩形： ①作的垂直平分线分别交，于点，； ②连接，作的角平分线，交于点； ③过点作于点； 小刘同学通过推理计算出的值为（ ），于是他明白了老师的用意． A B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知一个菱形的面积为10cm²，它其中一条对角线的长度为10cm，则另一条对角线的长度为_______cm． 12. 在中，，点O是斜边的中点，若，则的长度为_______． 13. 如图，矩形的两条对角线相交于点O，若，，则_____． 14. 如图，在数轴上点A表示的实数是_____． 15. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是_______． 16. 如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，的对角线，交于点，过点且分别与，交于点、． 求证：． 19. 如图，在四边形中，，求的度数． 20. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，网格的中心标记为点O．按要求画四边形，使它的四个顶点均落在小正方形的顶点上，且点O为其对角线交点． （1）在图1中画一个两边长分别为2和4的矩形； （2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相等； （3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（2）中所画平行四边形的一条对角线相等． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：边上找出点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接，若，求的长． 22. 如图，在中，，分别是边，的中点，过点作交延长线于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）请对的边或角添加一个条件，使得四边形成为菱形，并进行证明． 23. 验证勾股定理： 课本原题：1876年，美国总统伽菲尔德（）利用图1验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？ （1）小明在验证完后，突发灵感，用两个全等的直角三角形纸片（，，（），）拼出如图2能验证勾股定理的图形（顶点A，E重合，顶点F在边上，连接，） 解：用两种方法计算四边形的面积， 方法1：四边形的面积_______， 方法2：四边形的面积_______， 因为这两种方法都表示四边形的面积，可得等式：_______． 化简可得：． （2）请你仿造小明的思路，用两个全等的直角三角形纸片拼出一个不同于图1，图2的能验证勾股定理的图形，画出示意图，写出验证过程．如果你没有思路，请利用图1进行验证． 24. 如1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，A和C的坐标分别为且a，c满足． （1）求a，c的值； （2）点D在上，将沿折叠，使点O落在矩形内点E处． ①如图2，D，E，B三点共线，连接，求此时点D的坐标； ②如图3，若点D是线段的中点，连接，求的长． 25. 如图1，E是正方形外一点，且满足，连接． （1）求证：平分； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，M是的中点，作于点N，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$