10.4 三元一次方程组（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（苏科版2024）

10.4 三元一次方程组 学习目标 1. 了解三元一次方程组的概念，会解简单的三元一次方程组，提升运算能力； 2. 通过解简单的三元一次方程组进一步体会消元转化思想. 2 知识回顾 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 问题情境 《九章算术》“方程”章第一个问题大意是：上等稻三捆，中等稻二捆，下等稻一捆，共收获粮食三十九斗；上等稻二捆，中等稻三捆，下等稻一捆，共收获粮食三十四斗；上等稻一捆，中等稻二捆，下等稻三捆，共收获粮食二十六斗. 求上等稻、中等稻、下等稻每捆分别收获多少斗粮食. 这个问题中有几个未知量？ 你能找出几个等量关系？ 4 问题情境 《九章算术》“方程”章第一个问题大意是：上等稻三捆，中等稻二捆，下等稻一捆，共收获粮食三十九斗；上等稻二捆，中等稻三捆，下等稻一捆，共收获粮食三十四斗；上等稻一捆，中等稻二捆，下等稻三捆，共收获粮食二十六斗. 求上等稻、中等稻、下等稻每捆分别收获多少斗粮食. 解：设上等稻每捆收获x斗粮食，中等稻每捆收获y斗粮食，下等稻每捆收获z斗粮食. 这个问题的解必须同时满足这三个方程，所以我们把把三个方程联立在一起. 5 归纳与总结 把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组. 三元一次方程组必须满足的三个条件： (1)方程组中一共含有三个未知数； (2)含有未知数的项的次数都是1； (3)方程组中的每个方程都是整式方程. 6 新知巩固 A. B. C. D. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( ) A 7 例题讲解 例1 解方程组 ① ② ③ 解：①－②，得x－y＝5. ④ ②×3－③，得5x＋7y＝76. ⑤ ④与⑤联立，得方程组 解这个方程组，得 把x＝，y＝代入①，得z＝. 所以原方程组的解是 解二元一次方程组的基本思想是什么？是否可以用同样的方法解三元一次方程组？ 消去未知数z 8 例题讲解 例1 解方程组 ① ② ③ 解：①－③，得2x－2z＝13. ④ ②×2－③×3，得x－7z＝－10. ⑤ ④与⑤联立，得方程组 解这个方程组，得 把x＝，z＝ 代入①，得y＝. 所以原方程组的解是 消去未知数y 9 归纳与总结 解三元一次方程组的基本思想： “转化” “消元” 通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 . 消元 “三元” “二元” 二元一次方程组 一元一次方程 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 10 归纳与总结 解三元一次方程组的一般步骤: (1)消元：利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得到关于另外两个未知 数的二元一次方程组. (2)求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. (3)回代：将求得的未知数的值代入原方程组中含有最后一个未知数的方程中，得 到一个一元一次方程. (4)求解：解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值. (5)写解：将求得的三个未知数的值用“<m></m>”联立起来，就是原三元一次方程组的解. 11 新知巩固 解下列方程组： (1) 解：(1)③－①，得－④， ②＋④，得， ， 把代入④，得－， ， 把代入①，得． 原方程组的解为． ① ② ③ ① ② ③ 解：(2)②－③，得x＋3z＝5④， ④－①，得2z＝2， ∴z＝1， 把z＝1代入④，得x＝2， 把x＝2，z＝1代入③，得y＝4． 原方程组的解为． (2) . 12 例题讲解 例2 足球比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． 某足球队赛了22场得47分，且胜的场数比负的场数的4倍还多2．该球 队胜、平、负各多少场？ 解：设该球队胜x场、平y场、负z场. 原方程组的解为 答: 该球队胜14场、平5场、负3场. 13 新知巩固 1. 在等式y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数)中，当x＝－1时，y＝5；当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝2. 求a、b、c的值. 解：根据题意得： 解得， 14 新知巩固 2．一某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买1个A品牌的足球、1个B品牌的足球和1个C品牌的足球共需180元；购买2个A品牌的足球和1个B品牌的足球共需140元；购买2个B品牌的足球和1个C品牌的足球共需200元．求A，B，C三种品牌的足球的单价． 解：设A，B，C三种品牌的足球的单价分别为x元、y元、z元. ，解得 ， 答：A，B，C三种品牌的足球的单价分别为40元，60元，80元． 15 三元一次方程组的概念 课堂总结 解三元一次方程组的基本思想 解三元一次方程组的一般步骤 当堂检测 基础过关 1.下列方程组中，是三元一次方程组的是 ( ) C 17 当堂检测 基础过关 2. 解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取( ) A.先消去x B.先消去y C.先消去z D.以上说法都不对 B 18 当堂检测 基础过关 3．解三元一次方程组，如果消掉未知数， 则应对方程组变形为 ( ) A．①＋③，①×2－② B．①＋③，③×2＋② C．②－①，②－③ D．①－②，①×2－③ C 19 当堂检测 基础过关 4．已知三元一次方程组，则3(x＋y＋z)＝______． 18 5．已知方程组的解满足x＋y＝3，则z的值为_____． 8 20 当堂检测 基础过关 (1) 6. 解下列方程组: (2) (1) (2) 21 当堂检测 能力提升 1．三元一次方程组消去一个未知数后，所得二元一次方程组是( ) A． B． C． D． A 22 当堂检测 能力提升 2．有甲、乙、丙三种商品，若购甲件、乙件、丙件，共需元；若购甲件、乙 件、丙件，共需元，则购甲、乙、丙三种商品各件共需 ( ) A． 元 B． 元 C． 元 D． 元 A 23 当堂检测 能力提升 3．已知方程是关于x，y，z的三元一次方程，则＝ ． －1 4．若，则x＋y＋z＝______． 10 5．已知△ABC的周长为25cm，三边a、b、c中，a＝b，c:b＝1:2，则边长a＝ ． 10cm 24 当堂检测 能力提升 解：(1)由已知得 解得 即a＝2，b＝－3，c＝1. 6．已知等式y＝ax2＋bx＋c，且当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝－3时，y＝28； (1)求 a、b、c 的值； 25 当堂检测 能力提升 6．已知等式y＝ax2＋bx＋c，且当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝－3时，y＝28； (2)当x＝－3时，y的值又是多少？ 解：(2)由(1)得y＝2x2－3x＋1. 当x＝－2时，y＝8＋6＋1＝15. 即y的值是15． 26 当堂检测 能力提升 7．一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，求原来的三位数. 解：设个位、十位、百位上的数字为，依题意得： ，解得 ， ∴原来的三位数是217. 答：原来的三位数是217. 27 $$