16.3列方程解应用问题同步练习 2024-2025学年北京版数学八年级下册

16.3列方程解应用问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某地区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．电流通过导线会产生热量，设电流强度为I(安培)，电阻为R(欧姆)，1秒产生的热量为Q(卡)，则Q=0.24I2R，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则 该导线的电流是(　　) A．9安培 B．6安培 C．3安培 D．安培 3．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（    ）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对 6．某旅店底楼的客房比二楼少一间，各个房间住的人数同这层的房间数相同，现有36人，底楼都住满，而二楼只剩下一件空房，则二楼的房间数为（    ） A．4间 B．5间 C．6间 D．7间 7．爷爷的生日晚宴上，大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有几人参加了这次宴会？（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440 C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440 9．在某次聚会上，每2个人都握了1次手，所有人共握手10次．设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（    ） A．x（x－1）＝10 B．＝10 C．x（x＋1）＝10 D．＝10 10．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入300美元，预计2018年人均年收入将达到950美元，设2016年到2018年该地区居民人均年收入平均增长率为x，可列方程为（　　） A．300（1+x%）2=950 B．300（1+x2）=950 C．300（1+2x）=950 D．300（1+x）2=950 11．如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（    ） A． B． C． D． 12．将一块矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好围成一个容积为15m3的无盖长方体水箱，且此长方体水箱的底面长比宽多2米．求该矩形铁皮的长和宽各是多少米？若设该矩形铁皮的宽是x米，则根据题意可得方程为（　　） A．（x+2）（x﹣2）×1=15 B．x（x﹣2）×1=15 C．x（x+2）×1=15 D．（x+4）（x﹣2）×1=15 二、填空题 13．将一个底面直径是厘米、高为厘米的圆柱锻压成底面直径为厘米的圆柱，高变成了多少？ （1）分析：在锻压过程中，圆柱的体积保持不变，所以这个问题中的等量关系是 . 设锻压后圆柱的高为厘米，则锻压前的体积为 ，锻压后的体积为 . （2）解：设锻压后圆柱的高为厘米.根据题意，得方程 ，解这个方程，得，所以，锻压后圆柱的高为厘米. 14．如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，则所截去小正方形的边长是 ． 15．如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则与数量关系是 ． 16．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.      17．某种商品经过连续两次降价后，由原来的每件60元下调至每件48.6元，求这种商品平均每次降价的百分率是 ． 三、解答题 18．某商场销售一种商品，商品销售数（个与销售单价（元个）之间的关系如图所示． (1)求关于的函数关系式和自变量的取值范围； (2)如果商品的销售额为1250元，那么这件商品的销售单价为多少元个？ 19．如图，用一块正方形纸板，在四个角上截去四个相同的边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？如果设正方形纸板的边长是，请列出方程，并把它化成一般形式． 20．如图，在中，．动点P从点C出发，沿方向运动，速度是；动点Q从点B出发，沿方向运动，速度是．几秒后P，Q两点相距？ 21．2019年女排世界杯于9月14日至29日在日本举行，中国女排以全胜的成绩卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国成立70周年献上大礼．人们对女排的喜爱，不仅是因为她们夺得了冠军，更重要的是她们在赛场上展现了祖国至上、团结协作、顽强拼搏、永不言败的精神面貌，已知2019年女排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，求中国女排在本届世界杯比赛中连胜的场次． 22．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝30cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s．经过多长时间P、Q两点之间的距离是15cm？ 23．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 24．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．下图中手卷长1000cm，宽40cm，引首和拖尾完全相同，其宽度都为100cm．若隔水的宽度为xcm，画心的面积为15200cm2，求x的值．    《16.3列方程解应用问题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B A B B C A B D 题号 11 12 答案 D B 1．A 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果教育经费的年平均增长率为x，根据2017年投入2500万元，则2018的教育经费为：万元，2019的教育经费为：万元，再利用总量为8000万元可得方程． 【详解】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2018的教育经费为：万元，2019的教育经费为：万元， 那么可得方程：， 故选A． 2．C 【分析】本题主要对等式的变形,其中涉及到代入法在解题中的应用. 【详解】解:将Q=0.24I2R变形为 I=或I=− (舍去） 将Q=1.08,R=0.5代入, 得I==3(安培） 故该导线的电流是3安培,即选C. 【点睛】本题考查了思想、方法类的代入法，解题的关键就是将Q=0.24I2R变形为I=或I=－，然后将不符合题意的一项舍去即可. 3．B 【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可． 【详解】解：设每件服装降价x元，根据题意，得： （44-x）（20+5x）=1600， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 4．A 【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可． 【详解】解：解方程x2−6x＋8＝0得：x＝4或2， 即AC＝4，BD＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1， 由勾股定理得：AD＝＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键． 5．B 【分析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， ∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动， ∴， ∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动， ∴AQ=2，，， 的面积是面积的， ， 整理得， 解得， 当s时，的面积是面积的． 故选择B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键． 6．B 【分析】设二楼的房间有x间，则一楼有（x-1）间，一楼住了（x-1）2人，二楼住了（x2-x）人，根据“现有36人入住”可列（x-1）2+（x2-x）人，即可列出方程，解方程即可求解，注意根据实际意义进行值的取舍． 【详解】解：设二楼的房间有x间，根据题意得（x-1）2+（x2-x）=36， 方程化简为：2x2-3x-35=0 即：（x-5）（2x+7）=0 解之得x=5，x=-（舍去） 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据“各个客房的床位同这层的房间数相同”这句话，列出住一楼和二楼的客人数． 7．C 【分析】此题利用基本数量关系：两两碰杯一次，总次数为 （n表示人数）列方程解答即可． 【详解】解：设有x人参加了这次宴会，根据题意列方程得， ， 解得x₁＝10，x₂＝−9（不合题意，舍去）， ∴有10人参加了这次宴会． 故选：C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用中的基本数量关系：单循环比赛进行的总场数为，依此数量关系推广到一般问题． 8．A 【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 9．B 【详解】因为参加聚会的x人，每个人需握手（x－1）次，x人共需握手x（x－1）次，而每2个人都握了1次手，需将重复的部分去掉，即一共握了次手，故选B． 【易错点分析】没有将重复计算的握手次数去掉，导致出错． 10．D 【详解】设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，列出方程为：300（1+x）2=950．故选D． 11．D 【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x）m，宽为（26-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6． 【详解】解：设道路的宽为xm，由题意得： （40-2x）（26-x）=144×6． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键． 12．B 【详解】根据题意长方体水箱的底面宽为x-2， ∵长方体水箱的底面长比宽多2米， ∴长方体水箱的底面长为x米， 则x(x-2)×1＝15. 故选B. 【点睛】解此题的关键在于利用长方体容积等于长乘宽乘高来建立方程，需要注意的是本题的x是矩形铁皮的宽，而不是长方体底面的宽，要仔细审题. 13． 锻压前的体积锻压后的体积 【分析】（1）锻压前的体积=锻压后的体积． （2）由题意可得锻压前后圆柱的底面半径，高，体积为底面积×高，根据两个圆柱的体积相等可得相关方程，求解即可． 【详解】解：（1）在锻压过程中，圆柱的体积保持不变，所以这个问题中的等量关系是：锻压前的体积=锻压后的体积． 锻压前的体积为：（10÷2）2π×36=；锻压后的体积为π×（20÷2）2×x=； 故答案是：锻压前的体积=锻压后的体积；；； （2）列出方程为， 解得x=9， 所以，锻压后圆柱的高为9厘米． 故答案是：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据体积相等得到等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：圆柱体的体积=π×底面半径2×高． 14．2 【分析】设所截去小正方形的边长是，再根据“留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的”建立方程，然后解方程即可得． 【详解】设所截去小正方形的边长是， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则所截去小正方形的边长是， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 15． 【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为(a+b)，右图是一个长方形，长、宽分别为(b+a+b)、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式(a+b)2=b(b+a+b)，解方程即可求出答案． 【详解】解：依题意得(a+b)2=b(b+a+b)， 整理得：a2+b2+2ab=2b2+ab， 则a2-b2+ab=0， 方程两边同时除以b2， 则， 解得：， ∵不能为负， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，是一个信息题目．解题的关键是要正确理解题目的意思，会根据题目隐含条件找到数量关系，最后利用数量关系列出方程解决问题 16．10 【分析】设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可. 【详解】设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得： (2x)2+(25-x)2=252， 4x2-50x+x2=0， 5x(x-10)=0， x1=0 (舍去), x2=10 (秒). ∴10秒后P、Q两点相距25cm. 故答案为10. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键. 17．10% 【分析】设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，根据售价由原来的每件60元降到每件48.6元，列出方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 依题意得：60=48.6． 解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去）， 答：这种商品平均每次降价的百分率是10%． 故答案为：10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．(1) (2)销售单价为25元个 【分析】本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）观察函数图象，根据图象中点的坐标，利用待定系数法即可求出关于的函数关系式，再观察函数图象找出自变量的取值范围； （2）利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为． 将，代入得：， 解得：， 关于的函数关系式为． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：这种商品的销售单价为25元个． 19． 【分析】正方形纸板的边长应是厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为厘米，高为厘米，根据题意列方程即可． 【详解】解：正方形纸板的边长应是厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为厘米，高为厘米，根据题意列方程得， ， 化为一般形式为：． 【点睛】考查了长方体体积的计算，长方体的体积=长宽高，解题的关键是平面图形折叠成立体图形后各个部分之间的关系． 20． 【分析】设后P，Q两点相距，根据勾股定理列得，求解即可． 【详解】解：设后P，Q两点相距，根据题意，得． 解得（舍去），， 答：10秒后P，Q两点相距25cm． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用以及勾股定理，正确理解动点问题及掌握勾股定理是解题的关键． 21．中国女排在本届世界杯比赛中连胜11场． 【分析】设中国女排在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据“2019年女排世界杯赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设中国女排在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛， 依题意，得：x（x+1）＝66， 整理，得：x2+x﹣132＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）． 答：中国女排在本届世界杯比赛中连胜11场． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．9秒或12秒 【分析】可设运动x秒时，它们相距15cm，根据题意表示出BP，BQ的长，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设运动x秒时，它们相距15cm，则BP=xcm，BQ=（21-x）cm，依题意有 x2+（21-x）2=152， 解得x1=9，x2=12． 故运动9秒或12秒时，它们相距15cm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于x的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键． 23．(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．10 【分析】隔水的宽度为xcm，分别表示出画心的长和宽，根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得（1000﹣4x﹣200）（40﹣2x）＝15200． 解这个方程，得：x1＝210（不合题意，舍去），x2＝10． 所以x的值为10． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$