6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第六章 计算原理 课时1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 新知探究 探究一：分类加法计数原理 情境设置 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 2 新知生成 知识点一 分类加法计数原理 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有𝑚 种不同的方法，在第2类方案中有𝑛种不同的方法，那么完成这件事共有𝑁=𝑚+𝑛 种不同的方法. 2.分类加法计数原理的推广 完成一件事有𝑛类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，⋯⋯ ，在第𝑛类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 3.分类加法计数原理的推广中“完成一件事有𝑛 类不同的方案”是指完成这件事的所有方法可以分为𝑛类，即任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事，这𝑛 类不同方案中的方法互不相同，且完成这件事的任何一种方法都在某一类方案中. 3 一、分类加法计数原理 例题1 (1)算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1)，共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一枚算珠拨下，记作数字5，梁下有五枚算珠，上拨一枚算珠记作数字1(例如图2中的算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的三枚算珠，可以表示多少个不同的整数？ (2) 从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取2个，其中一个作为底数，另一个作为真数，求可以得到不同对数值的数的个数. 【解析】(1) 由题意知，拨动三枚算珠，有4种拨法： ①个位拨动三枚算珠，有2种结果：3，7. ②十位拨动一枚算珠，个位拨动两枚算珠，有4种结果：12，16，52，56. ③十位拨动两枚算珠，个位拨动一枚算珠，有4种结果：21，25，61，65. ④十位拨动三枚算珠，有2种结果：30，70. 综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示 个不同的整数. (2)当取出的2个数中含1时，由于1只能作为真数，则以1为真数，从其余各数中任 取一数为底数，对数值均为0.当取出的2个数中不含1时，则取出的两数分别作为对数 个对数式，其中， ， ，， ，重复了4次，所以得到不同对数值的 数的个数为 . 4 反思感悟 方法总结 分类计数原理的解题思路: (1)根据题目特点恰当选择分类标准； (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复； (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏. 5 新知运用 跟踪训练1 设椭圆的焦点在轴上，其中 ， ，求满足上述条件的椭圆的个数. 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以 ， 则当时， 可取2，3，4，5，6，7，有6种取法； 当时， 可取3，4，5，6，7，有5种取法； 当时， 可取4，5，6，7，有4种取法； 当时， 可取5，6，7，有3种取法； 当时， 可取6，7，有2种取法. 由分类加法计数原理知，共有个满足条件的椭圆. 6 新知探究 探究二：分步乘法计数原理 情境设置 如图，小明从街道的𝐸处出发，先到𝐹 处与小红会合，再一起到位于𝐺 处的老年公寓参加志愿者活动. 问题1：小明从𝐸处到𝐹 处的最短路径有多少条？ 问题2：小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条？ 7 新知生成 知识点二 分步乘法计数原理 1.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理的推广 完成一件事需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有 种不同的方法……做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 8 二、分步乘法计数原理 P5 例2 某班有男生30名、女生24名,从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法? 例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同取法? (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法? 9 二、分步乘法计数原理 P6 例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法? 例5 给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母A∼G或U∼Z,后两个字符要求用数字1∼9，最多可以给多少个程序模块命名? 10 二、分步乘法计数原理 例题2 从， ,0,1,2,3这6个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数的系数，， ，则可以组成的抛物线的条数为多少？ 变式1：本例中若要求二次函数的图象开口向下，则可以组成多少条不同的抛物线？ 变式2：若从本例的6个数字中选2个作为椭圆的参数， ，则可以组成椭圆的个数是多少？ 【解析】由题意知不能为0，故系数有5种选法,系数也有5种选法,系数 有4种选法.根据分步乘法计数原理，可以组成的抛物线的条数为 . 11 反思感悟 方法总结 利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)将完成这件事的过程分成若干步； (2)求出每一步中的方法数； (3)将每一步中的方法数相乘得最终结果. 12 新知运用 跟踪训练2 已知有两个口袋，一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. (1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？ (2)把这两个口袋里的9封信分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？ 【解析】(1) 由分步乘法计数原理，可得共有 种不同的取法. (2)若从每封信投入的邮筒考虑，则第一封信投入的邮筒有4种可能，第二封信投入 的邮筒有4种可能……第九封信投入的邮筒也有4种可能，所以共有 种不同的投法. 13 新知生成 知识点三 两个计数原理的应用 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 回答的都是有关完成一件事的不同方法种数的问题 不同点 针对的是“分类”问题，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事 针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算完成这件事 14 概念理解 判断：下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)在分类加法计数原理中，两类办法中的某两种方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中，任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (4)在分步乘法计数原理中，如果事情是分两步完成的，那么其中任何一个单独的 步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.( ) × √ √ √ 15 三、两个计数原理的区别与联系 例题3 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中，序号的编码规则为： (1)由10个阿拉伯数字和除O，I 之外的24个英文字母组成； (2)最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 【解析】 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数. 根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母. (1)当没有字母时，序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，这类号牌的张数为 10×10×10×10×10=100 000 . (2) 当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类.当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法;第 步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌的张数为 .同理，其余四个子类号牌也各有240 000张.根据分类加法计数原理，这类号牌的张数为 . 16 三、两个计数原理的区别与联系 例题3 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示.其中，序号的编码规则为： (1)由10个阿拉伯数字和除O，I 之外的24个英文字母组成； (2)最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 【解析】(3)当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第 步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘法计数原理，号牌的张数为 .同理，其余九个子类号牌也各有576 000张.于是，这类号牌的张数为 .综合(1)(2)(3) ，根据分类加法计数原理知，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌的张数为 . 17 新知运用 跟踪训练3 已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成，且英文字母在前.其中英文字母可以是A，B，C，D，E，F 这6个字母中的1个，数字可以是1，2，⋯ ，9这9个数字中的1个，那么共有多少种不同的编号？ 【解析】根据题意，分两步完成： 第1步，从6个英文字母中选1个，有6种方法； 第2步，从9个数字中选1个，有9种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为6×9=54 ， 所以共有54种不同的编号. 18 随堂检测 1. 已知两条异面直线𝑎，𝑏,利用𝑎上的5个点,𝑏 上的8个点，共13个点，可以确定不同的 平面个数为( ). A.40 B.16 C.13 D.10 2.有3名大学生志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法 共有( ). A.12种 B.9种 C.8种 D.6种 3.某公司招聘了5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能都 分给同一部门，另外3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数 是____. C C 12 19 随堂检测 4.从甲地到乙地，一天中有5趟火车，12趟客车，3趟飞机航班，还有6趟轮船，某人某 天要从甲地到乙地，则共有不同走法的种数是( ). A.26 B.60 C.18 D.1 080 5.某公司安排员工进行教辅调研，从南昌到石家庄调研有3种走法，从石家庄 到济南有2种走法，若从南昌到达济南必须经过石家庄，则从南昌到济南的不同的走 法种数为( ). A.5 B.6 C.8 D.12 6. 多项式的展开式共有____项. 10 A B 20 课堂小结 1.知识清单： (1)分类加法计数原理； (2)分步乘法计数原理； (3)两个计数原理的应用. 21 $$