精品解析：浙江省杭州市西湖区绿城育华2024-2025学年高二上学期期末数学试题

浙江省杭州市西湖区绿城育华2024-2025学年高二上学期期末数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合. 则（ ） A B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，坐标原点，向量，则=（ ） A. B. C. D. 5. 从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（ ） A. B. 为不可能事件 C. 事件 A，B 相互独立 D. 6. 已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 数列为递减数列 D. 7. 已知圆台下底面正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的短轴长为4，上顶点为 B ，O为坐标原点，点D为OB的中点，曲线的左、右焦点分别与椭圆 C 的左、右顶点重合，点P是双曲线E与椭圆C在第一象限的交点，且三点共线，直线的斜率，则双曲线E的实轴长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 10. 南宋数学家杨辉所著《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知抛物线上一点到焦点 F 的距离为2，又过点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线C方程为： B. 设，则周长的最小值为 C. 若，则直线AB的倾斜角为 D. x 轴上存在一点N，使为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线，则该曲线在处的切线方程为______. 13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（ m 为正整数）， 若，则 m 所有的可能取值为_____________ 14. 在四面体 中，面 ，，，，在四面体四个顶点都在球 的表面上，则球的半径为____________， 分别是，的重心，直线与球 的表面相交于，两点，则线段 的长度为____________ 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）当 时，求函数 的单调递增区间； （2）若函数  在 处的切线的斜率为，求实数 a 的值. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若点是边BC上，，且，求的面积最大值． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为长方形，侧面是等边三角形，平面平面ABCD （1）若E为棱SB的中点，为棱AD的中点，求证：平面SCD （2），异面直线SB，AD夹角的余弦为． ①求棱AD的长度； ②在棱SA上是否存在点，使得平面PBM与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 18. 已知数列满足，且，，，设． （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长. （1）求椭圆的方程； （2）过原点的直线与相交于两点，直线，分别与相交于两点. ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市西湖区绿城育华2024-2025学年高二上学期期末数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合. 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式下大于等于0得到集合，再利用正弦函数值域得到集合，最后利用交集含义即可得到答案. 【详解】由，得，所以， 由，得，所以， 所以. 故选：B 2. 复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则，化简可得，根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以其共轭复数为. 故选：B 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据范围计算范围，再结合的正负性，得出，则可计算，最后利用诱导公式化简即可. 【详解】，则， 又，则， 故， . 故选：A 4. 已知点，，为坐标原点，向量，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到. 【详解】设，则，， ∵，∴，解得，即， ∴. 故选：A. 5. 从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（ ） A. B. 为不可能事件 C. 事件 A，B 相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将任取的两个数用一组有序实数表示，可列出试验和事件包括的样本点，利用古典概率模型求其概率，再根据各选项的要求逐一判断即可. 【详解】从集合中依次不放回的任取两个数，若用一组有序实数表示， 则试验的样本空间为： ， 则 ， . 对于A，因，故A正确，不合题意； 对于B，因，故为不可能事件，即B正确，不合题意； 对于C，因，则，则， 即事件 A，B 相互不独立，故C错误，符合题意； 对于D，因，故必有，即D正确，不合题意. 故选：C. 6. 已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 数列为递减数列 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可判断其公差，即判断AC，再利用前项和公式即可判断BD. 【详解】对A，因为等差数列，则，则，故A错误； 对B，设等差数列的公差为，则，则， 则的最小值为，故B正确； 对C，因为，则数列为递增数列，故C错误； 对D，因为，，则， 则，故D错误. 故选：B. 7. 已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到上底面面积和下底面面积，然后由圆台体积公式求得结果. 【详解】由题意可知圆台下底面面积，上底面面积， 如图：由题意可知，则， ∴圆台体积. 故选：C. 8. 已知椭圆的短轴长为4，上顶点为 B ，O为坐标原点，点D为OB的中点，曲线的左、右焦点分别与椭圆 C 的左、右顶点重合，点P是双曲线E与椭圆C在第一象限的交点，且三点共线，直线的斜率，则双曲线E的实轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，则求得，利用三点共线求，则，求得的值，此时直线，椭圆的方程可求，则点坐标可求，最后利用双曲线的定义求实轴长. 【详解】椭圆的短轴长为4，则， 设，， 则 因三点共线，则，则， 因，则， 则直线，联立椭圆，解得，则点 则实轴长为， 故选：D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. 估计该年级学生成绩的众数为75 B. C. 估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D. 【详解】由频率分布直方图可知成绩在70-80分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确； 由频率分布直方图可知，B错误； 由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确； 由频率分布直方图可知成绩在80-90分之间和90-100分之间的频率之比为， 故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确， 故选：ACD 10. 南宋数学家杨辉所著《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前项和为，则正确的选项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】运用累和法结合等差数列的前项和公式数列通项、裂项相消法求得，即可判断ABC选项，利用作差法判断D选项. 【详解】由题意可知：，于是有，，即， 由累加法可知， 显然可得： ，A选项正确， ，B选项不正确； ， 由裂项相消法可得，C选项正确； 令，∵，即，∴，即，D选项错误. 故选：AC 11. 已知抛物线上一点到焦点 F 的距离为2，又过点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线C方程为： B. 设，则周长的最小值为 C. 若，则直线AB的倾斜角为 D. x 轴上存在一点N，使为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据抛物线的定义可求，进而得标准方程；对于B，根据抛物线的定义将的一边转化为（如图），所以当A，C与点Q三点共线时，周长有最小值； 对于C，设直线方程，与抛物线的方程联立，由韦达定理得，根据，可得，由此解得，即可得直线方程及倾斜角；对于D，设，通过计算可得，所以存在点，使得为定值0． 【详解】A选项：由题意点到准线的距离为2，所以，则， 所以抛物线的方程为，故A正确； B选项： 如图所示，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于，， 根据抛物线的定义可得， 所以周长为， 因此，当A，C与点Q三点共线时，有最小值， 最小值为点Q到准线的距离，距离为， 所以， 所以周长的最小值是，故B正确； C选项：设直线AB的方程为， 联立，整理可得：，， 设，，由韦达定理得，， ，，因为， 所以，又，所以， 此时直线AB的方程为，倾斜角为，故C错误； D选项：设x轴上一点， 则 ， 故当时，，即存在点，使得为定值0，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线，则该曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【详解】曲线，则， 所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程”），数列满足冰雹猜想，其递推关系为：（ m 为正整数）， 若，则 m 所有的可能取值为_____________ 【答案】16或2 【解析】 【分析】根据，且，利用递推求解. 【详解】解：因为，且， 所以或（舍去）； 或； 或或0（均舍去）， 故答案为：16或2 14. 在四面体 中，面 ，，，，在四面体的四个顶点都在球 的表面上，则球的半径为____________， 分别是，的重心，直线与球 的表面相交于，两点，则线段 的长度为____________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】在棱长为的正方体中，找出满足题意的三棱锥；根据几何体的特点，找到球心的位置，进而求得球半径；根据，结合所求球半径，即可求得的长度. 【详解】为方便求解和直观认知，在棱长为的正方体中找到满足题意的三棱锥如下所示： 因为面，面，故，即△为直角三角形； 因为面，面，故，又，面， 故面，又面，故，即△为直角三角形； 不妨取中点为，故在中，；在△中，； 故，也即为该三棱锥外接球的球心； 则该外接球半径； 取中点为，中点为，连接，则其交点即为； 连接，则其交点即为，连接，如下所示： 在△中，因为分别为中点，故， 在△中，因为，且； 则，故； 又为对应三角形的重心，故分别为上靠近的三等分点，则//，故； 为直观理解，作图如下： 又在△中，， 易知； 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数 （1）当 时，求函数 的单调递增区间； （2）若函数  在 处的切线的斜率为，求实数 a 的值. 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出导函数，由导函数大于0解不等式，即得递增区间； （2）先求出，再利用导数的几何意义，由即可求得实数 a 的值. 【小问1详解】 当时，，则， 由可得或， 故函数 的单调递增区间为和； 【小问2详解】 由求导得，， 依题意，，解得. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若点是边BC上，，且，求的面积最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角形内三个角的关系化简已知等式，然后得到，即可求出的大小； （2）由得到，然后由建立方程后得到，借助基本不等式求得的最大值，从而求出三角形面积的最大值. 【小问1详解】 ∵ 由正弦定理可得， ∴， ∵ ∴， ∴，∵，∴， ∵，∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 即，即， 又∵，∴，∴，当且仅当时取等号， ∴. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为长方形，侧面是等边三角形，平面平面ABCD （1）若E为棱SB的中点，为棱AD的中点，求证：平面SCD （2），异面直线SB，AD夹角的余弦为． ①求棱AD的长度； ②在棱SA上是否存在点，使得平面PBM与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）①2；②存在，点为线段的三等分点且更靠近于点时. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）①建立合适的空间直角坐标系，利用异面直线夹角余弦值的空间向量法即可得到方程，解出即可；②求出两平面的法向量，根据平面与平面夹角的空间向量表示方法即可得到方程，解出即可. 【小问1详解】 取的中点，连接、， 、分别为、的中点，所以，且， 因为四边形是矩形，所以，且， 为棱的中点，则且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 ①假设在棱上存在点满足题意，如图，连接、、， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，则是四棱锥的高， 设，则， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， ，， 则，解得，则. ②由①知、、、， 故，，， 设， ． 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以，. 易知平面的一个法向量为， ， 解得，合乎题意， 所以，当点为线段的三等分点且更靠近于点时，平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知数列满足，且，，，设． （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）转化已知条件，求得，即可证明为等比数列，结合逐差法，即可求得； （2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得，再根据恒成立问题，求得的最大值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 ，故可得，又，即， 故数列为首项，公比为的等比数列，则； 故，则， 即，故. 【小问2详解】 ， 故的前项和为 ， 不等式对任意恒成立， 则，即恒成立； 令，则， 则， 当时，，当时，， 故数列的最大项为， 故恒成立，也即，故实数的取值范围为. 19. 已知椭圆的下顶点为，左右焦点分别为，椭圆上的点到距离的最小值为，且抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长. （1）求椭圆方程； （2）过原点的直线与相交于两点，直线，分别与相交于两点. ①证明：直线与直线的斜率之积为定值； ②记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）由的关系以及已知条件即可求解. （2）①由题意设方程为.联立抛物线方程，结合韦达定理以及斜率公式即可得证. ②由三角形面积公式只需分别求出，分别联立直线方程与抛物线、椭圆方程，结合弦长公式以及同理思想即可求解，进一步由基本不等式即可得解. 【小问1详解】 已知抛物线中，令，解得，所以， 因为椭圆上的点到距离的最小值为， 则，所以，从而， ∴椭圆的方程为：. 【小问2详解】 ①直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ，故， 所以直线与直线的斜率之积为定值； ②设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由①知，直线，则， 由，得，解得或， ，则， 由①知，直线， 则 ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $