精品解析：辽宁省葫芦岛市普通高中2025届高三第一次模拟考试数学试题

2025年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试 数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，姓名并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则的共轭复数的模为（ ） A. B. C. D. 2 3. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 已知圆心角为的扇形面积为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 6. 平面向量，，则在上的投影为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（ ） A. B. C. 14 D. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. 有且仅有1个零点 D. 的最小值为 11. 已知数列，不为常数列且各项均不相同，设，，下列正确的是（ ） A. 若为等差数列且为等比数列，则方程最多有三个解 B. 若，均为等差数列，则方程最多一个解 C. 单调递增，单调递减，则方程最多有一个解 D. 若，均为等比数列，则方程最多有三个解 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 13. 若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是_____． 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是_____． 四、解答题（本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营． 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 36 14 50 100 OpenAI 46 24 30 100 （1）请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI （2）对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前openAI高成本运营占比为，设为DeepSeek发布后这两家公司抽取的个客户使用时的高成本运营占比，若，则可以认为DeepSeek的技术水平高于openAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI． 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． （1）求的通项公式； （2）若存在，使得，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数的值． 18. 已知，，直线，交于点，且直线，的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． （1）求的方程； （2）设直线与曲线相切，是否存在使得相应的为整数?若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）设直线与曲线交于点，两点，点为弦的中点，满足，且直线，与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程． 19. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，分别交轴于，点为该部分图象与轴的交点，且与轴的交点为．将绘有该图象的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． （1）求函数的解析式； （2）在图2中，的图象上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； （3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年葫芦岛市普通高中高三年级第一次模拟考试 数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，姓名并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式可求得，再由交集运算可得结果. 【详解】易知，又， 可得. 故选：A 2. 若复数，则的共轭复数的模为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出，再写出的共轭复数，然后由模的定义计算模. 【详解】因为， 所以，所以. 故选：B. 3. 将函数的图象向左平移个单位后，所得图像的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象平移满足“左加右减”即可求解. 【详解】函数的图像向左平移个单位得到的函数图象的解析式为. 故选：A. 4. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线定义将点到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第三边且三点共线时能取得最值，即得结果. 【详解】依题意，抛物线中，，点到准线的距离， 故点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和为： ， 当且仅当A,P,F三点共线时等号成立. 所以的最小值为. 故选：C. 5. 已知圆心角为的扇形面积为，则由它围成的圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥侧面展开图以及扇形面积公式求出圆锥母线长和底面圆半径，即可得出结果. 【详解】根据题意设围成的圆锥为，如下图： 设扇形的半径为，则，解得； 可知圆锥母线为4 又扇形弧长为, 设圆锥底面半径为，则，因此； 所以圆锥的母线与底面所成角的余弦值等于. 故选：D 6. 平面向量，，则在上的投影为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意由向量数量积的坐标表示以及投影向量定义计算可得结果. 【详解】根据题意可知， 在上的投影为. 故选：A 7. 5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码．某信号的二进制编码由6个数字组成，则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型以及分步乘法计数原理计算可得概率. 【详解】根据题意可知某信号的6位数字均有“0”和“1”两种选择， 因此可以编码出种信号； 若信号编码中恰好有3个“1”，则其余三个数字是0，共有种信号， 因此该信号编码中恰好有3个“1”的概率为. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，， 又因为，所以， ， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故C正确，A错误，且无证据表明BD正确. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知圆的圆心到直线与距离为，则实数的值为（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离可以列出关于方程，再解方程即可得到的取值. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为， 又因为点到直线的距离为， 所以，解得或. 故选：. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在单调递增 C. 有且仅有1个零点 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据解析式以及函数奇偶性定义可判断A正确，对函数求导并由对勾函数性质以及三角函数值域可判断B正确，结合函数单调性可知C正确，由指数函数性质可得D错误. 【详解】对于A，易知的定义域为，定义域关于原点对称， 可知，即为奇函数，可得A正确； 对于B，当时， 可得恒成立， 因此在单调递增，即B正确； 对于C，由B可知在上单调递增，且， 因此有且仅有1个零点，即C正确； 对于D，当时，可得趋近于，因此D错误. 故选：ABC 11. 已知数列，不为常数列且各项均不相同，设，，下列正确的是（ ） A. 若为等差数列且为等比数列，则方程最多有三个解 B. 若，均为等差数列，则方程最多一个解 C. 单调递增，单调递减，则方程最多有一个解 D. 若，均为等比数列，则方程最多有三个解 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先，选项A利用反证法与导数可判断，选项B中两等差数列对应的一次函数至多一个交点，选项C由单调性结合反证法可判断，选项D举反例可判断. 【详解】对于A，等差数列的通项公式是线性的，可表示为（其中为公差）， 而等比数列的通项公式是指数型的，可表示为（其中为公比且）， 由得，令， （1）当时，， 若，则，所以是增函数， 若恒大于零或恒小于零，则单调，至多有一个零点， 若既不恒大于零又不恒小于零，则恰有一个零点，不妨记为， 那么，当单调递减，当单调递增，是的极小值点,所以，至多有两个零点（在和至多各有一个零点）. 当时，同理至多有两解； （2）当公比为负时，记为， 当为偶数时，，由（1）知方程至多有两解； 当为奇数时，由（1）知方程至多有两解； 为偶数时，与为奇数时，它们的单调性相反， 直线与，至多有三个交点（可见C的推理）， 下面举例如下，方程恰有三解时，方程无解,故A正确; 对于B，因为当和均为等差数列时，它们的通项公式分别为 和（其中，且数列不为常数列）， 方程可化简为， 若两数列公差不同，方程等价于关于的一元一次方程， 解为，由于方程至多有一个实数解，且题目中为自然数， 因此方程要么存在唯一的自然数解，要么无解（例如解为负数或非整数）， 若两数列公差相同，方程化简为， 由于题目规定两数列不为常数列且各项均不同， 若，则方程无解，若，则两数列完全相同（即对所有成立）， 但题目明确要求数列“不为常数列且各项均不相同“，因此这种情况被排除. 综上，无论公差是否相等，方程在自然数范围内最多存在一个解，故B正确； 对于C，首先，取，方程只有一解， 当时，，当时，方程无解， 所以，方程只有一解， 假设方程方程有两个不同的解，记为， 所以，，，因为数列单调递增，，即①， 又因为数列单调递减，得②， 则①与②矛盾，所以方程至多有一个解，故C正确； 对于D，取，方程， 即为偶数都是方程的解，方程可以有无数多个解，故D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 13. 若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程以及斜率范围，利用离心率表达式可得结果. 【详解】易知双曲线的一条渐近线的斜率为， 依题意可得，所以 所以双曲线离心率，又， 可知双曲线离心率的取值范围是. 故答案为： 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得的关系，结合锐角三角形条件可求的范围，然后结合二倍角及和差公式对进行化简，构造函数，对其求导，结合导数分析函数的单调性，进而可求. 【详解】因为， 由正弦定理可得, 即， 所以，而三角形为锐角三角形， 所以或(舍去)， 所以， 由题意得， 所以，， 令，， 则， 易得，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故当时，函数取得最大值， 又，， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题；共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营． 高昂 较高 低廉 总计 DeepSeek 36 14 50 100 OpenAI 46 24 30 100 （1）请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异； 高成本运营 低成本运营 DeepSeek OpenAI （2）对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前openAI高成本运营占比为，设为DeepSeek发布后这两家公司抽取的个客户使用时的高成本运营占比，若，则可以认为DeepSeek的技术水平高于openAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI． 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 高成本运营 低成本运营 DeepSeek 50 50 OpenAI 70 30 有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异 （2）能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表，根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论； （2）利用频率估计概率求得，根据已知条件求得，故可知，从而得出结论. 【小问1详解】 根据题意可得列联表： 高成本运营 低成本运营 DeepSeek 50 50 OpenAI 70 30 可得 因为， 所以有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异． 【小问2详解】 由题意可知：DeepSeek发布后这两家公司的高成本运营占比， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以，能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI． 16. 设数列是公差大于1的等差数列，，满足，记，分别为数列，的前项和，且，． （1）求的通项公式； （2）若存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出和，即可求出的通项公式； （2）先求出，可得为等差数列，利用等差数列求和公式求出，根据题意可得，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 ，，解得，； 由，可知，； ，， 又， ， 即，解得或（舍去）， ． 【小问2详解】 由（1）知： 可知，，解得， 所以为等差数列，故， 存在，有即 又 所以 故，整理解得． 所以的取值范围是. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数的值． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分别讨论，当以及当时，导函数的正负情况，从而得到函数的单调区间； （2）由（1）得，当时，，则要使不等式成立， 即需使不等式成立，令，利用导数分析函数的单调性，从而得到恒成立，故若要使，则，从而求得的值. 【小问1详解】 因为，定义域为， 求得， 所以，当时，成立，此时在上单调递减； 当时， ，，在上单调递减； ，，在上单调递增． 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 由（1）得，当时， ， 要使不等式成立，即需使不等式成立，即不等式成立， 令，，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立， 若，则, 所以. 18. 已知，，直线，交于点，且直线，的斜率之积为，点的轨迹记为曲线． （1）求的方程； （2）设直线与曲线相切，是否存在使得相应的为整数?若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）设直线与曲线交于点，两点，点为弦的中点，满足，且直线，与轴围成底边在轴上的等腰三角形，求直线的方程． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）设点，，利用，求出曲线的方程； （2）联立直线与曲线的方程得，由直线与曲线相切可得，即，分别讨论，，时，的取值情况，从而得解； （3）设，，，，联立直线与曲线的方程得，由是弦的中点，可知，即，故列式可得或，分类讨论的取值情况，从而求得直线的方程． 【小问1详解】 设点，则 于是， 整理得：. 【小问2详解】 由，消去得， 由，化简得， 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； 当时，．符合题意； 所以在该集合中存在，使得为整数，且 【小问3详解】 设，，， 由，消去得 ， 由是弦的中点，可知， ， 整理得：， 因式分解：， 所以或． 当时，直线的方程为，过定点，即必过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，过定点． 因为为等腰三角形，且为底边，可求得， 所以当时，，即直线l的方程为， 当时，，即直线l的方程为． 【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，联立直线方程与椭圆方程，消去x或y建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. 19. 已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，分别交轴于，点为该部分图象与轴的交点，且与轴的交点为．将绘有该图象的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，． （1）求函数的解析式； （2）在图2中，的图象上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由； （3）如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）； （2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为， 又点， 故连线的斜率连线的斜率， 于是，过点作交轴于，则直线斜率为-2， 因为，故直线一定交的图象于， ②在平面上，过作平行于的交于，连接， 由，且，可得平面平面， 又平面，从而平面， 综上，可确定存在两个点满足条件，即平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意：，，利用绘有图象的纸片折叠前有，以及折叠后存在关系，列方程组求得和，从而求得，再把代入得出，从而求得函数的解析式.（2）①在平面内，过点作图象的切线，斜率为，而，，过点作交轴于，则直线斜率为-2， 因为，故直线一定交的图象于，②在平面上，过作平行于的交于，连接，可证面平面，故可确定存在两个点满足条件； （3）以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设二面角，通过空间向量法求得的余弦值，再利用函数单调性分析即可确定范围. 【小问1详解】 由题意，当绘有图象的纸片折叠前有， 于是① 又当二面角的值为时，可得， 于是，②， 联立（1）（2），解得：，所以， 又与轴的交点为，可得，解得（舍）或，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依图，以过且平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设二面角， 于是， 所以， 设平面的法向量， 于是，取，则， 设平面的法向量，于是， 取，则， 结合法向量方向可判断，二面角的余弦值为， 令 即， 令， 于是， 易知，该函数为定区间上的单调递增函数， 所以，，二面角的余弦值的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $