第13讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（七大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第13讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 学习目标： 1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面，能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系； 2．借助长方体，直观认识空间点、直线、平面的位置关系； 3．在认识位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 重点难点： 重点：1．空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；2．了解空间中两条直线的位置关系，理解两异面直线的定义；3．了解直线与平面的位置关系，并会用图形语言和符号语言表示 难点：1．用图形表示直线与平面、平面与平面的位置关系及其应用；2．会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 二、平面的基本事实 1.基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b a∥α 相交关系 图示 符号 语言 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 考点01 位置关系的画法及平面的基本性质 1．每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（   ） A．两条直线确定一个平面 B．三点确定一个平面 C．不共线三点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 【答案】C 【详解】自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触点不在同一条直线， 它们可以确定唯一一个平面，因此自行车就稳了，其中蕴涵的道理是不共线三点确定一个平面. 故选：C. 2．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 【答案】(1)详情见解析 (2)详情见解析 (3)详情见解析 【详解】（1）解：点在平面上，点不在平面上，如下图所示： （2）解：直线在平面上，直线与平面相交于点，且点不在直线上，如下图所示： ． （3）解：直线经过平面外一点和平面上一点，如下图所示： 3．已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 【答案】 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 4．（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：点在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，故A正确； 对于B：直线在平面外，则直线与平面平行（没有交点），或直线与平面相交（有一个交点，记为）， 则所对应的图形如下所示： 故B错误； 对于C：由B可知C正确，故C正确； 对于D：三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线， 三条交线可能交于同一点也可能互相平行，D中没有三线平行的情形， 故D错误. 故选：AC 5．如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 【答案】(1)O必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） (2)答案见解析 【详解】（1）在长方体中， 如图所示： 设与的交点为，因为平面，平面， 所以平面，平面， 故必为平面与平面的公共点，（答案不唯一） （2）因为平面，平面， 所以平面与平面的交线为. 如图：作出平面与平面的交线为． 考点02 点共面 6．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 7．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 【答案】证明见解析 【详解】 连接， 因为，可知为平行四边形， 则， 因为、分别为与的中点，由中位线可知， 所以， 所以、、、四点共面. 8．已知：，求证：直线共面于.    【答案】证明见解析 【详解】， . 同理可得，， 所以直线共面于. 9．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【答案】证明见解析. 【详解】在四棱锥中，取的中点，连接， 由分别是的中点，得， 又，则且， 而，，于是，且， 即四边形为平行四边形，则， 所以四点共面． 10．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点. (1)线段上是否存在一点，使得点，，，共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)存在，证明见解析 (2) 【详解】（1）存在，当G为PA的中点时满足条件，证明如下： 如图，连接，，则是三角形的中位线， 所以，又由已知， 所以，所以，，，四点共面. （2）因为是的中点，所以， 因为，所以， 故，所以， 所以，则 . 考点03 点共线 11．如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    【答案】共线 【详解】∵，平面，∴平面， ∵为中点，∴为中点， ∴，平面，∴平面. ∴是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， ∴三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线.      12．如图，已知：，，，，，求证：．    【答案】证明见解析 【详解】  ，与确定一个平面． 直线，点．，，． 又，与重合，． 13．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P， ∴P在面ABC内， 同理P在面DAC内. 又∵面面， ∴P在直线AC上，∴P、A、C三点共线． 14．已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 15．已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 考点04 线共点 16．在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 【答案】A 【详解】由于是空间四边形，故，确定平面，，确定平面． ，，， 面，面， ， 面，面 面面 故选：A． 17．如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 18．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 19．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点， 的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 20．如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【答案】证明见解析 【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    考点05 空间中直线与直线的位置关系 21．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 22．已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【答案】C 【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误； 对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形，所以也为的中点， 因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确； 故选：C. 23．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 【答案】D 【详解】因为是正四棱台，所以，故A错误， 侧棱延长交于一点，所以与相交，故B错误， 同理与也相交，所以四点共面，所以与相交，故C错误， 与是异面直线，故D正确. 故选：D 24．（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【答案】BD 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 25．正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令分别是的中点，是中点，连接， 由正四棱柱的性质及题设，易知且，则为平行四边形， 所以，直线与所成角即为直线与所成角，即， 若，则，，， . 故选：D 考点06 空间直线与平面的位置关系 26．已知直线直线，且与平面相交，那么与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行或在平面内 C．相交或平行 D．相交或在平面内 【答案】A 【详解】因为，且与平面相交， 所以与平面相交，如下图所示. 故选：A 27．已知为直线，为平面，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据题意易知当时，可判断“”推不出“”，如下图： 当时，可知垂直于平面内的所有直线，因此可以推出， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 28．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当直线相交且垂直时，平面可以相互平行， 当时，直线可以平行， 则“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 29．已知为异面直线，平面平面，则（    ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．至多与中的一条相交 【答案】B 【详解】对于A：因为已知，为异面直线，平面，平面，， 所以直线与共面于平面，与共面于平面， 如果与平行，则与必相交；如果与平行与必相交，故排除A； 对于B：直线不能与，都不相交，否则与，分别平行， 进而，与、为异面直线相矛盾，再结合A得到B正确 对于C：直线不能与，都不相交，否则与，分别平行， 进而，与、为异面直线相矛盾，由此能排除选项C； 对于D：如果与不平行只有相交，同理，与不平行必相交， 所以得直线可以同时与，都相交，但是交点不重合，由此能排除选项D； 故选：B． 30．若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（   ） A．至少与、中的一条相交 B．与、都相交 C．至多与、中的一条相交 D．与、都不相交 【答案】A 【详解】BC选项，如图1，与、都相交，如图2，与相交、与平行，BC错误； D选项，与、都不相交，故与平行，但此时和不是异面直线，D错误； A选项，至少与、中的一条相交，A正确. 故选：A 考点07 空间中平面与平面的位置关系 31．已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】直线平面，则， 充分性满足， 但时，与可能相交，必要性不满足，因此是充分不必要条件， 故选：B． 32．“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【详解】由平行平面的定义知，“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是真命题. 故答案为：真 33．已知两个不同的平面，和两条不同的直线m，n满足，，则“，平行”是“m，n不相交”的（   ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，平行时，由，可知直线m，n无公共点，则m，n不相交，故为充分条件； 当m，n不相交时，满足，，，，则满足题设条件，但不能推出，平行，说明直线m，n不相交不能推出，平行； 故选：B. 34．（多选）已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（    ） A．不平行是不平行的充分条件 B．不相交是不相交的必要条件 C．垂直且相交是垂直的充分条件 D．平行或相交是异面的必要条件 【答案】BD 【详解】不平行，有可能平行，故A错误； 若不相交，则不相交，故B正确； 若垂直相交，，可能不垂直，故C错误； 若异面，则平行或相交，故D正确. 故选：BD. 35．如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 【答案】相交 【详解】在正方体中，E为的中点，所以与不平行， 则延长与BB′必相交于一点，设交点为H， 所以，， 又平面，平面， 所以平面，H∈平面， 故平面与平面相交． 故答案为：相交 基础试炼 1．平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 【答案】C 【详解】因为直线与直线相交于点，，所以平面， 又点在平面上，所以平面， 因为平面，点在直线上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线. 故选：C.    2．若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（    ） A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面 C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交 【答案】C 【详解】由直线不平行于平面，且直线，得直线与平面相交，则与有公共交点，C正确； 平面内不存在直线与平行，否则，与已知矛盾，因此内所有直线都与异面或相交，ABD错误. 故选：C 3．不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】四点中任意三个点都不共线时，确定的平面的个数最多， 结合三棱锥的结构特征可知，确定个平面. 故选：B． 4．已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“直线平面”成立，设，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立； 若“平面平面”成立，且直线平面，可推出平面或平面， 所以“直线平面”不一定成立. 综上，“直线平面”是“平面平面”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（多选）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】 对于选项A，如图所示：，两条线段不平行，可知其不共面； 对于选项B，如图所示：，两条线是平行的，因而是在同一个平面； 对于选项C，如图所示：，不能作出一个平面，因而是不共面的， 对于选项D，如图所示：，两条线平行，是共面的. 故选：BD 6．（多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意可知M为的中点，故，， 故，与均为相交直线，A，B错误； 平面，平面直线， 故与直线为异面直线，同理可说明与直线为异面直线，C，D正确， 故选：CD 7．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 【答案】②③ 【详解】①：由基本事实可知说法正确； ②：四边形可能是空间四边形，所以说法错误； ③：三条直线两两相交可能确定一个平面也可能确定三个平面， 若三条直线在同一平面内两两相交，则确定一个平面； 若三条直线不在同一平面内，例如在三棱锥中，可确定出平面，平面，平面， 所以说法错误； ④：平面可以无限延展，如图所示，两个相交平面可将空间分为四个区域，所以说法正确； 故答案为：②③. 8．已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是 ． 【答案】或 【详解】若点是和直线的交点，则，若点在外且，则 故答案为：或 9．正方体中，    （1）异面直线与所成角的大小为 ； （2）异面直线与所成角的大小为 ； （3）异面直线和所成角的大小为 ． 【答案】 45° 90° 60° 【详解】异面直线与所成角即为；    异面直线与所成角即为;    异面直线和所成角，由于面对角线， 则为等边三角形，则.则异面直线和所成角大小为.    故答案为：. 10．如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图（1）. （2）延长交于点E，连接CE， 则CE为平面与平面ABCD的交线，如图（2）. 11．如图，用集合语言描述下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系． 【答案】详见解析 【详解】在（1）中，. 在（2）中，. 12．如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)共面，理由见解析 【详解】（1）由，分别为，的中点， 可得， 又，， 所以， 四边形为平行四边形． （2），，，四点共面， 理由如下：由题意易知， 四边形为平行四边形，． 由（1）知， ，与共面． 又， ，，，四点共面． 高阶突破 1．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【详解】在四棱台中，侧棱、、、的延长线交于一点，令此点为，    由，平面，得平面，同理平面， 而平面，平面，则平面平面， 即直线为所求作的直线，所以直线与直线相交， 故选：B. 2．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】在正方体中，与平面所成的角是相等的， 所以水平面平行于平面，又水平面恰好经过的中点， 则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为， 如图，所以其面积. 故选：B 3．如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【答案】B 【详解】对于A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故A错误； 对于B，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 故B正确； 对于C，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故C错误； 对于D，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故选：B. 4．空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 【答案】A 【详解】如图：在正方体中，不妨设三条两两异面的直线为， 令，作平面过，则过与相交的直线都在平面内， 作平面过，则过与相交的直线都在平面内，. 平面与平面不平行且不重合，有且仅有一条公共直线， 所以直线只有1条. 故选：A. 5．（多选）以下四个命题正确的有（  ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”等价于“与相交” C．若直线平面，直线平面，且 ， ，则 D．若四条直线中任意两条共面，则这四条直线共面 【答案】AC 【详解】 对于A，由上图可知：三个平面可以把空间分成四部分、六部分、七部分、八部分，最多八部分，所以选项A正确； 对于B，由上图可知： ， 直线平面，直线平面，且，但直线与直线并不相交， 所以选项B错误； 对于C，直线平面，直线平面，因为， 所以，又因为，所以， 所以选项C正确； 对于D，如上图，直线，直线，直线，直线任意两条共面，但这四条直线并不共面，所以选项D错误. 故选：AC. 6．已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 【答案】 【详解】 如图，过作交底面圆锥于点，连接， 因为，则为异面直线与所成角， 所以， 又，所以，即， 因为，函数在上单调递减，所以， 故异面直线与所成角的最小值为. 故答案为：. 7．正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)作图见解析，理由见解析， (2)证明见解析. 【详解】（1） 连接，并延长直线，交射线于， 因为， 所以确定一个平面， 平面和平面的交线为. （2）连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 又因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以四边形是等腰梯形. 8．如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、E、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）   连接 由分别为中点，则， 又，，则， ， 所以四点共面. （2）   由，， 易知， 又分别为中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线不平行， 设它们交点为 ，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即EH、FG必相交且交点在直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第13讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 学习目标： 1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面，能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系； 2．借助长方体，直观认识空间点、直线、平面的位置关系； 3．在认识位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义 重点难点： 重点：1．空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；2．了解空间中两条直线的位置关系，理解两异面直线的定义；3．了解直线与平面的位置关系，并会用图形语言和符号语言表示 难点：1．用图形表示直线与平面、平面与平面的位置关系及其应用；2．会用图形语言、符号语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、平面 平面 叙述 平面的表示 ①在立体几何中，通常以用平行四边形来表示平面 可写成平面，平面，平面或平面（对角线） 平面的画法 ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线 图示 平面的特点 ①平面是平的； ②平面是无限延展的没有边界的； ③平面是没有厚度的。 点、直线、平面的位置关系 ①点与直线（平面）的位置关系只能用“”或“”； ②直线与平面的位置关系只能用“”或“” 二、平面的基本事实 1.基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 2.三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图示 符号 语言 a∥b a∥α 相交关系 图示 符号 语言 独有关系 图示 符号 语言 a，b是异面直线 考点01 位置关系的画法及平面的基本性质 1．每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是（   ） A．两条直线确定一个平面 B．三点确定一个平面 C．不共线三点确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面 2．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． (1)，； (2)，，； (3)，，，． 3．已知平面，直线，点，若，且，则 （填数学符号）． 4．（多选）下图中图形的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中， (1)设AC与BD的交点为O，O必为平面______与平面______的公共点（答案不唯一）； (2)画出平面与平面的交线． 考点02 点共面 6．如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 7．在正方体中，、分别为与的中点，求证：、、、四点共面 8．已知：，求证：直线共面于.    9．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 10．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点. (1)线段上是否存在一点，使得点，，，共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由； (2)若，求三棱锥的体积. 考点03 点共线 11．如图，在正方体中，已知是的中点，且直线交平面于点，点的位置关系是 ．    12．如图，已知：，，，，，求证：．    13．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 14．已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 15．已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 考点04 线共点 16．在空间四边形的边、、、上分别取点E、F、G、H，若与相交于一点M，则M（    ） A．一定在直线上； B．一定在直线上； C．可能在直线上，也可能在直线上； D．不在直线上，也不在直线上． 17．如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 18．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 19．如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 20．如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    考点05 空间中直线与直线的位置关系 21．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 22．已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 23．如图，是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（   ）．    A．和； B．和； C．和； D．和． 24．（多选）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 25．正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点06 空间直线与平面的位置关系 26．已知直线直线，且与平面相交，那么与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行或在平面内 C．相交或平行 D．相交或在平面内 27．已知为直线，为平面，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 28．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．已知为异面直线，平面平面，则（    ） A．与都相交 B．与中至少一条相交 C．与都不相交 D．至多与中的一条相交 30．若是平面与平面的交线，直线和是异面直线，在平面内，在平面内，则下列命题正确的是（   ） A．至少与、中的一条相交 B．与、都相交 C．至多与、中的一条相交 D．与、都不相交 考点07 空间中平面与平面的位置关系 31．已知空间中两个不重合的平面和平面，直线平面，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 32．“若平面与平面平行，则平面与平面没有公共点.”是 命题.（填“真”或“假”） 33．已知两个不同的平面，和两条不同的直线m，n满足，，则“，平行”是“m，n不相交”的（   ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 34．（多选）已知是两条不同的直线是两个不同的平面，，则（    ） A．不平行是不平行的充分条件 B．不相交是不相交的必要条件 C．垂直且相交是垂直的充分条件 D．平行或相交是异面的必要条件 35．如图，在正方体中，分别为B′C′，A′D′的中点，则平面与平面 ． 基础试炼 1．平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是（    ）    A．直线； B．直线； C．直线； D．以上均不正确． 2．若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（    ） A．内存在与平行的直线 B．内所有直线都与异面 C．与有公共交点 D．内所有直线都与相交 3．不共面的四点最多可确定（    ）个平面 A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（多选）下图中在立方体中作两条线段，线段的端点要么是立方体的顶点，要么是棱的中点，则这两条线段位于同一平面的立方体是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线是异面直线的有（    ） A． B． C． D． 7．有下列四个说法： ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③三条直线两两相交则确定一个平面； ④两个相交平面把空间分成四个区域． 其中错误说法的序号是 ． 8．已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是 ． 9．正方体中，    （1）异面直线与所成角的大小为 ； （2）异面直线与所成角的大小为 ； （3）异面直线和所成角的大小为 ． 10．如图，在长方体中，P为棱的中点． (1)画出平面PAC与平面ABCD的交线； (2)画出平面与平面ABCD的交线． 11．如图，用集合语言描述下列图形中的点、直线、平面之间的位置关系． 12．如图所示，四边形和四边形都是梯形，，，分别为，的中点．    (1)证明：四边形是平行四边形； (2)，，，四点是否共面？为什么？ 高阶突破 1．木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面上过点画直线，则与直线的位置关系是（   ）. A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 2．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点固定在地面上，使得三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过的中点，若，则该水平面截正方体所得截面的面积为（   ） A． B． C．4 D． 3．如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 4．空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 5．（多选）以下四个命题正确的有（  ） A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”等价于“与相交” C．若直线平面，直线平面，且 ， ，则 D．若四条直线中任意两条共面，则这四条直线共面 6．已知P是一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径是1．B、C分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为 ． 7．正方体中，为的中点，为的中点． (1)记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由； (2)求证：四边形是等腰梯形． 8．如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、E、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$