精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题

华清中学高二年级下学期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：王茹 校对人：徐立宏 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，对应点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 4. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 6. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 7. 已知椭圆的左､右两焦点分别为､，离心率，P是椭圆上一点，轴，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由离心率可得，再根据可得，即可整理椭圆方程为，代入可求的坐标，即可求得答案 【详解】由题意可得即， 由可得即， 所以椭圆方程为， 当时，解得，所以， 因为，所以， 故选：A 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由结合的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】构造函数，则由题意可知当时， 所以函数在区间上单调递减， 又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数， 所以在区间上单调递增， ，，， 因为，， 所以，所以， 即， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】依据求导公式和导数四则运算去判断即可解决. 【详解】对于选项A，∵，∴选项A正确； 对于选项B，，令，则，∴选项B错误； 对于选项C，∵，∴选项C正确； 对于选项D，∵，∴选项D错误． 故选：AC 10. 已知函数导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系可判断A，B；根据导数的几何意义可判断C，D. 【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，A错误； 由图象可知当时，，在上单调递增，B正确； 由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确， 故选：BD 11. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出再求. 【详解】由题意得 ， ∴． 故答案为：． 13. 已知为等差数列的前项和，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式以及等差数列下标和的性质代入计算，即可得到结果． 【详解】由等差数列的前项和可得： ， ， 则，所以． 故答案为： 14. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________. 【答案】(0，) 【解析】 【分析】对函数求导后，由题意可知在有2个不同零点，从而可得方程在上有两个不同的实根，再结二次函数的性质可求得结果 【详解】解：因为函数有两个不同的极值点， 所以在有2个不同的零点， 所以方程在上有两个不同的实根， 所以，解得， 故答案为：(0，) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （I）求函数的单调区间； (Ⅱ)若，求不等式的解集． 【答案】（I）函数的单调增区间是，单调递减区间是； (Ⅱ)当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（I）求函数的导函数，求解出不等式的解集即可. (Ⅱ)把代入不等式中，原不等式化为，根据的不同取值范围求出不等式的解集. 【详解】（I），当时，即，，当或时，，因此函数的单调增区间是，单调递减区间是； (Ⅱ) 而，所以有， ， 当时，不等式的解集为空集； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 16. 某地区发生了重大交通事故，某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家．（要求：列出排列组合算式，并写出详细过程） （1）抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ （2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ （3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 【答案】（1）30 （2）80 （3）34 【解析】 【分析】（1）用分步乘法原理，第一步从4名外科专家中抽取2名，第二步从其他5名专家中抽取2名，由乘法原理计数； （2）至少有2名外科专家分为三类：2名外科专家4名其他专家，或者3名外科专家3名其他专家，或者4名外科专家2名其他专家，由分类加法原理和分步乘法原理计数可得； （3）至多有2名外科专家可分两类：2名外科专家4名其他专家，或者1名外科专家5名其他专家，由分类加法原理和分步乘法原理计数可得． 【小问1详解】 第一步从4名外科专家中抽取2名，第二步从其他5名专家中抽取2名，由分步乘法原理可得方法数为：； 【小问2详解】 至少有2名外科专家可分为三类：2名外科专家4名其他专家，或者3名外科专家3名其他专家，或者4名外科专家2名其他专家， 所以方法数为； 【小问3详解】 至多有2名外科专家可分两类：2名外科专家4名其他专家，或者1名外科专家5名其他专家， 方法数为：． 17. 已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992. （1）求的值； （2）求展开式中的项； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先令求得各项系数和，再求得二项式系数和，根据题意，列出方程，即可求得 (2)根据的通项公式以及，通过赋值法，即可求得. 【小问1详解】 （1）展开式各项系数的和为：；二项式系数的和为：.又各项系数的和比二项式系数的和大 ，即，解得，. 【小问2详解】 （2）展开式的通项公式为：， 令，解得. 展开式中的项为：. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以，而，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有， ，，， 因为， 所以，而平面，， 所以平面； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， 则有， 由（1）可知平面的法向量为， 所以有， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知：平面的法向量为， ，所以可得： ， 所以点E到平面的距离为. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）根据（1）的结论对进行分类讨论，由，结合构造函数法以及导数来求得的取值范围. 【小问1详解】 已知函数，定义域为， ， ①当时，， x + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 在上单调递增，在上单调递减； ②当时，，函数在单调递增； ③当时，， x + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 若存在，使得成立，即使得. 由（1），可知当时，在上单调递增，， 不满足； 当时， x - 0 + 递减 极小值 递增 ，所以，即， 令，∴， ∴在上单调递减， 又∵，由，得. 综上，实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华清中学高二年级下学期第一次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：王茹 校对人：徐立宏 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 若为偶函数，则（ ）． A B. 0 C. D. 1 5. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 6. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左､右两焦点分别为､，离心率，P是椭圆上一点，轴，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的有（ ） A. 若，则 B 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递增 C. 曲线在处的切线的斜率为0 D. 曲线在处的切线的斜率为4 11. 已知函数图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数，则___________． 13. 已知为等差数列前项和，且，则________． 14. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数. （I）求函数的单调区间； (Ⅱ)若，求不等式的解集． 16. 某地区发生了重大交通事故，某医院从9名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这9名医疗专家中有4名是外科专家．（要求：列出排列组合算式，并写出详细过程） （1）抽调6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ （2）至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ （3）至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 17. 已知在的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992. （1）求的值； （2）求展开式中的项； 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，为棱上的点，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$