第6讲 第2课时 空间向量的应用（二）讲义——2025届高三数学一轮复习

第6讲 第2课时 空间向量的应用（二） 核心考点⇄师生共研 考点一 异面直线所成的角 例1 如图，在三棱锥中， 平面，是边长为2的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. [解析]方法一：设 为 的中点，连接，，如图.因为 是 的中点，所以，由题意并解三角形得，则，，. 在 中，由余弦定理的推论可知.所以异面直线 与 所成角的余弦值为.故选. 方法二：以 为坐标原点，过点 作垂直于 的直线为 轴，，所在直线分别为 轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易知，，，， 所以，， 设异面直线 与 所成角为 ，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选. 解题技法 用向量法求异面直线所成角的步骤 对点训练 1. 如图，已知圆锥的截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,且 ,所以, 连接,则 平面，以点 为坐标原点，过点 作垂直于 的直线为 轴，，所在直线分别为 轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设圆 的半径为2， 则,,,, ,, 设异面直线 与 所成的角为 , 则,，所以异面直线与所成角的余弦值为. 2. 已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱，，两两夹角都为 ，且，，，,分别为,的中点，则与所成角的余弦值为 [解析]如图所示, 由题意可得，，所以 ， ， ， 设 与 所成角为 ,所以,，因此 与 所成角的余弦值为. 考点二 直线与平面所成的角 例2 [2022·全国甲卷]在四棱锥中， 底面,,,,. （1） 证明：； 【解】证明：如图所示，取 中点为，连接，，则.又，所以四边形 为平行四边形.又，所以四边形 为菱形，所以.同理可得，四边形 为菱形，所以，所以. 因为 底面, 底面，所以, 又，， 平面，所以 平面. 因为 平面， 所以. （2） 求与平面所成的角的正弦值. [答案] 由（1）知，又，所以 ，所以 为正三角形. 以 为坐标原点，过点 作垂直于 的直线为 轴，，所在直线为 轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，. 则，，. 设平面 的法向量为, 则 即 令，则，，所以. 设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，， 所以直线 与平面 所成的角的正弦值为. 解题技法 利用空间向量求线面角的解题步骤 ［注意］线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值. 对点训练 [2024·重庆市调研]如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点， 平面，,为的中点. （1） 求证：平面; 解：证明：如图，取 的中点为，连接,，又,分别为,的中点，所以//，且,所以四边形 是平行四边形， 所以， 因为 平面， 平面， 所以 平面. （2） 若,，求直线与平面所成角的正弦值. [答案] 因为 平面,， 平面,所以，.以 为坐标原点，在平面 内过点 作垂直于 的直线为 轴，，所在直线分别为 轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则,. 因为,所以 . 所以，,,,，,所以,,. 设平面 的法向量为, 则 即 不妨令，得,,所以, 设直线 与平面 所成的角为 ， 则,, 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 考点三 平面与平面的夹角（二面角）（链接高考） 例3 [2023· 新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱中，，.点，，，分别在棱，，，上，，，. （1） 证明：; 【解】证明：方法一（向量法）以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以， 又，不在同一条直线上， 所以. 方法二（综合法）将 向上平移1个单位长度到，连接，. 由题意得，， 所以四边形 为矩形， 故. 又，，所以四边形 为矩形，故. 由正四棱柱的性质知，， 故. 所以四边形 为平行四边形， 所以，又， 因此. 方法三（综合法）设,, ,连接 交 于点， 由于，，，， 由，得，解得，同理得. 所以 是等腰直角三角形， ，，.因为，平分， 所以 ,所以，.由，得, 又，即点 与点 重合， 故四点，，，共面于平面, 因为平面 平面，平面 平面，平面 平面，所以. （2） 点在棱上，当二面角为 时，求. [答案] 如（1）方法一中解析图所示，设,则，，，设平面 的法向量, 则 即 令,得 ,,所以, 设平面 的法向量, 则 即 令,得,,所以， 所以, , 化简可得,解得 或, 所以 或，所以. ［分析及溯源］ 本题以直四棱柱为载体，考查空间线线平行的位置关系，以及根据二面角的大小求线段长，试题源于教材人教A版必修第二册习题8.6复习巩固和人教A版选择性必修第一册例8，复习参考题1综合运用. 【考题变式】 （综合变式）已知是正方体的棱的中点，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.建立如图所示的空间直角坐标系，且设正方体的棱长为2，则,,, ,,.设平面 的法向量, 则 所以 不妨令,则,,则. 又,, 设平面 的法向量, 则 所以 不妨令,则,,则， ,.由图知，二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为.故选. 解题技法 利用空间向量求二面角的两种常用方法 对点训练 [2024·河南襄城模拟]如图，矩形与半圆柱相接，半圆柱的轴截面 平面，线段的中点为，是上一点，，，与底面所成的角为. （1） 在线段上有一点满足，证明：平面； 解：证明：如图，连接，交 于点，连接. 因为，由条件可知，所以. 因为，所以， 所以. 又 平面， 平面， 所以 平面. （2） 若，求平面与平面的夹角的余弦值. [答案] 作 平面 于点，则点 在 上，连接， 则 为 在平面 上的射影， 所以 为 与底面 所成的角， 所以，所以. 以 为坐标原点，过点 且与 平行的直线为 轴，,所在直线为 轴、轴，建立空间直角坐标系，如图. 因为，所以， 则，，， 所以，. 设平面 的法向量为， 则 所以 令，则，则. 易知平面 的一个法向量为， 设平面 与平面 的夹角为 ，则，所以平面 与平面 的夹角的余弦值为. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 若平面 的一个法向量为，直线的方向向量为，则直线与平面 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设直线 与平面 所成的角为 ，则,， 所以.故选. 2. （人教A版选择性必修第一册P38 T1改编）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意可知，，，两两互相垂直，以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,, 所以,, 设异面直线 与 所成的角为 , , 则,，所以,即异面直线与所成的角为. 3. 在四棱锥中， 平面，四边形是矩形，且，，，则平面与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为 平面，四边形 是矩形，所以，，两两垂直，故以 为坐标原点，，，所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示.则,,,,0,.因为 平面，所以平面 的一个法向量为, 而,0,，，设平面 的法向量为, 则 即 取,得,, 则平面 的一个法向量为,设平面 与平面 的夹角为 ,则,,又 ,所以 , 所以平面 与平面 的夹角为 .故选. 4. （多选）在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 [解析]选.对于，依题意，,，，故 正确； 对于，，，故 错误； 对于，，,设异面直线 与 所成的角为 ， 所以,， 则异面直线 与 所成角的余弦值为，故 正确； 对于，因为，，所以点 到直线 的距离是 ，故错误.故选. 5. [2022·新高考Ⅰ卷]（多选）已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 [解析]选. 如图，连接，在正方形 中，，因为，所以，所以直线 与 所成的角为 ，故 正确.在正方体 中， 平面，又 平面，所以，连接，则，因为，， 平面，所以 平面，又 平面，所以，所以直线 与 所成的角为 ，故 正确.连接，交 于点，则易得 平面，连接，因为 平面，所以，为直线 与平面 所成的角.设正方体的棱长为，则易得，，所以在 中，，所以 ，故 错误.因为 平面，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故 正确.故选. 6. 已知二面角 的大小为 ，,为异面直线，且 , ,则,所成角的大小为 [解析] 在直线 上任取向量，在直线 上任取向量，因为 , ,故 , ,即向量,分别为 , 的法向量，由于二面角 的大小为 ，故,的夹角为 或 ,因为,为异面直线，异面直线所成角的范围为,，故,所成角的大小为 . 7. 在三棱柱中，侧棱 底面，，, ，若直线与直线所成角的余弦值是，则棱的长度是 [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，设，则,，，，所以,, 所以, , 解得（负值已舍去），所以棱的长度是1. 8. 如图，在正三棱锥中，是棱上的点，且.设，与平面所成的角分别为 , ，则 [解析]设点 到平面 的距离为，因为 与平面 所成的角为 ,所以. 因为 与平面 所成的角为 ，所以，又,所以. 9. 如图，在四棱锥中， 平面，底面是菱形，， . （1） 求证： 平面; 解：证明：因为四边形 是菱形，所以. 因为 平面, 平面，所以. 又因为,, 平面,所以 平面. （2） 若，求与所成角的余弦值. [答案] 设. 因为 ,, 所以,. 以 为坐标原点，,所在直线分别为 轴、轴，过点 平行于 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,. 所以,. 设 与 所成的角为 ，则，即与所成角的余弦值为. B 综合运用 10. 如图，在四棱锥中， 平面，，，，为的中点，且   .从;平面这两个条件中选一个，补充在横线上，并完成解答. （1） 求证：四边形是直角梯形； 解：证明：选择①：因为 平面，所以，. 因为，所以，因为,，所以,所以. 又因为，, 平面,所以 平面，又因为 平面,所以. 又因为,所以. 所以四边形 是直角梯形. 选择②：因为 平面，所以，. 因为，所以. 因为，，所以，所以. 因为,, 平面,所以 平面，又因为 平面,所以. 因为 平面， 平面，平面 平面, 所以，则四边形 是直角梯形. （2） 求直线与平面所成角的正弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. [答案] 过点 作 的垂线交 于点.因为 平面，所以，. 如图，建立空间直角坐标系， 则,, ,,.因为 为 的中点，所以,,. 所以,,,,. 设平面 的法向量为, 则 即 令,则,,得 为平面 的一个法向量. 设直线 与平面 所成的角为 , 则,. 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 11. 如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，， . （1） 记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求; 解：由题设得,, ,. 于是,.所以 . （2） 设点在线段上，，,求二面角的余弦值. [答案] 以 为坐标原点，,的方向分别为 轴、轴正方向，过点 平行于 的直线为 轴，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 由（1）和题设得，所以,,. 设平面 的法向量为，则 即 可取. 设平面 的法向量为,则 即 可取. 所以,. 由图知二面角 为锐二面角， 因此二面角 的余弦值为. C 素养提升 12. [2024·广东广州调研]如图，已知四棱锥的底面为菱形，平面 平面, ，为的中点，点在上，. （1） 证明：平面; 解：证明：如图，设 交 于点，连接. 因为，且， 所以，所以. 又,所以. 所以. 又 平面, 平面， 所以 平面. （2） 若，且与平面所成的角为 ，求平面与平面夹角的余弦值. [答案] 因为 ，所以 , 又，所以 为正三角形. 又,, 所以,所以. 取 的中点，连接,，则,. 又平面 平面,平面 平面,所以 平面. 所以 与平面 所成的角为，则 ， 设，则. 如图所示，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系, 则,,,, 从而由，得， 所以,,. 设平面 的法向量为, 则 即 取，则，故. 设平面 的法向量为， 则 即 取,则,故. 设平面 与平面 的夹角为 ,则,. 所以平面 与平面 夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 第2课时 空间向量的应用（二） 核心考点⇄师生共研 考点一 异面直线所成的角 例1 如图，在三棱锥中， 平面，是边长为2的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 解题技法 用向量法求异面直线所成角的步骤 对点训练 1. 如图，已知圆锥的截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且,则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱，，两两夹角都为 ，且，，，,分别为,的中点，则与所成角的余弦值为 考点二 直线与平面所成的角 例2 [2022·全国甲卷]在四棱锥中， 底面,,,,. （1） 证明：； （2） 求与平面所成的角的正弦值. 解题技法 利用空间向量求线面角的解题步骤 ［注意］线面角的正弦值对应向量夹角的余弦值的绝对值. 对点训练 [2024·重庆市调研]如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点， 平面，,为的中点. （1） 求证：平面; （2） 若,，求直线与平面所成角的正弦值. 考点三 平面与平面的夹角（二面角）（链接高考） 例3 [2023· 新课标Ⅰ卷]如图，在正四棱柱中，，.点，，，分别在棱，，，上，，，. （1） 证明：; （2） 点在棱上，当二面角为 时，求. 【考题变式】 （综合变式）已知是正方体的棱的中点，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 解题技法 利用空间向量求二面角的两种常用方法 对点训练 [2024·河南襄城模拟]如图，矩形与半圆柱相接，半圆柱的轴截面 平面，线段的中点为，是上一点，，，与底面所成的角为. （1） 在线段上有一点满足，证明：平面； （2） 若，求平面与平面的夹角的余弦值. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 若平面 的一个法向量为，直线的方向向量为，则直线与平面 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 2. （人教A版选择性必修第一册P38 T1改编）如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 3. 在四棱锥中， 平面，四边形是矩形，且，，，则平面与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. （多选）在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 5. [2022·新高考Ⅰ卷]（多选）已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 6. 已知二面角 的大小为 ，,为异面直线，且 , ,则,所成角的大小为 7. 在三棱柱中，侧棱 底面，，, ，若直线与直线所成角的余弦值是，则棱的长度是 8. 如图，在正三棱锥中，是棱上的点，且.设，与平面所成的角分别为 , ，则 9. 如图，在四棱锥中， 平面，底面是菱形，， . （1） 求证： 平面; （2） 若，求与所成角的余弦值. B 综合运用 10. 如图，在四棱锥中， 平面，，，，为的中点，且   .从;平面这两个条件中选一个，补充在横线上，并完成解答. （1） 求证：四边形是直角梯形； （2） 求直线与平面所成角的正弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 11. 如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，， . （1） 记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求; （2） 设点在线段上，，,求二面角的余弦值. C 素养提升 12. [2024·广东广州调研]如图，已知四棱锥的底面为菱形，平面 平面, ，为的中点，点在上，. （1） 证明：平面; （2） 若，且与平面所成的角为 ，求平面与平面夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$