拔尖专题训练：平行四边形最值问题一2024-2025学年人教版数学八年级下册

武汉市七一中学数学拔尖专题：平行四边形最值问题一 1. 如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，，，为的中点，连接，为上一动点，为的中点，连接，则长的最小值是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，在上，且满足，则四边形的周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在菱形中，，是边的中点，是上的一个动点．若的最小值是，则的值为    ． A. B. C. D. 6.如图，矩形中，，，动点分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，正方形的边长为，为与点不重合的动点，以为一边作正方形设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： 四边形是菱形；平分；线段的取值范围为；当点与点重合时，．其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 10.正方形，如图放置，，，相交于点，为边上一点，且，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 武汉市七一中学数学拔尖专题：平行四边形最值问题一解析 1.如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点，且，连接、，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段． 连接，利用≌转化线段得到，则通过作点关于对称点，连接交于点，利用勾股定理求出长即可． 【解答】 解：连接，如图， 四边形是正方形， ，． 又， ≌． ． 所以最小值等于最小值． 作点关于的对称点点，如图， 连接，则、、三点共线， 连接，与的交点即为所求的点． 根据对称性可知， 所以． 在中，， 最小值为． 故选：． 2.如图，在中，，，，是的中点，直线经过点，，，垂足分别为，，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 过点作于点，过点作于点，求出，，证明≌，推出，延长，过点作于点，可得，当直线时，取最大值． 【解答】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中， ，， ，， 在中，， ， 点为中点， ， 在与中， ， ≌， ， 延长，过点作于点， 四边形为矩形， 可得， 在中，， 当直线时，最大值为， 综上所述，的最大值为． 故选：． 3.如图，在矩形中，，，为的中点，连接，为上一动点，为的中点，连接，则长的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 4.如图，在矩形中，，，，分别是，的中点，点，在上，且满足，则四边形的周长的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 5.如图，在菱形中，，是边的中点，是上的一个动点．若的最小值是，则的值为    ． A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 6.如图，矩形中，，，动点分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【解答】 解：连接，交于点，取中点，连接， 如图所示： 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， 在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． 的最大值为的长，即． 故选 D． 7.如图，正方形的边长为，为与点不重合的动点，以为一边作正方形设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 连接，那么≌，得出，所以就是，所以恒大于，故当，，，四点共线时有最小值，最后求解，即可求出答案． 【解答】 解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ≌， ， ， 点，，，在同一条线上时，最小，即最小， 连接， 最小值为， 在中，， 最小值， 故选：． 8.如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： 四边形是菱形；平分；线段的取值范围为；当点与点重合时，． 其中正确的结论是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出正确；由菱形的性质可得，由点落在上的一点处，不一定等于，可判断；当点与点重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若与重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值，可判断；如图，过点作于，由勾股定理可求的长，可判断；即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故正确； 四边形是菱形， ， 若平分， ， ， 点落在上的一点处， 不一定等于 不一定平分，故错误； 当点与点重合时，有最小值， 设，则， 在中，， 即， 解得， ， 若落在上时，有最大值， 四边形是正方形， ， 最大值为， ，故正确； 如图，过点作于， 四边形是矩形， ，， 四边形是菱形， ， ， ，故正确， 故选：． 9.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点为轴上的一个动点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】以为边在右侧作等边，连接并延长交轴于点，过点作于点，利用全等三角形的性质证明，所以，推出点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动，求出的长即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边在右侧作等边， ， 连接并延长交轴于点，过点作于点， 在矩形中， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在过定点且与垂直的直线上运动，即点在直线上运动， 是等边三角形， ， ， ， ， 当点与不重合时，， 当点与重合时，， 综上所述：， 的最小值为， 故选：．    本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 10.正方形，如图放置，，，相交于点，为边上一点，且，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，连接，取的中点，连接，延长至，使，连接，， 四边形，是正方形，， ，，， ． ， ，， ， ，即是的中点． 又点是的中点， ． ， ， ． 在和中， ， ． ， ， ． 点是的中点， ． 在中，， 的最大值为， 故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $$