第七讲·指对幂函数讲义-2026届高考数学一轮复习

第七讲·指对幂函数 【知识导学】 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 5．指数函数常见结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大． 6．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. 7．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． 8．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 9.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 10.对数函数常见结论 1．logab·logba＝1，＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 11.幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． 12.常见的五种幂函数的图象 13.幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 【题型聚焦】 【题型一·指对幂运算】 【例题1】★（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数运算公式和换底公式计算. 【详解】因为，，所以，， 所以，，因此，．故选：B. 【例题2】★（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数对数互化，结合指数幂的运算求解. 【详解】由题意，， 于是，于是.故选：D 【例题3】★（2025·云南·模拟预测）定义.若函数，则关于的方程的根为（    ） A．1 B． C．2 D．11 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数新定义、对数的运算、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据新定义列出关于的等式，计算即可. 【详解】由题意可知，的定义域为由，得，即，解得：.故选：D. 【例题4】★（多选）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与分数指数幂的化简计算可得结果. 【详解】对于A，，即A正确； 对于B，，可得B错误； 对于C，，可得C正确； 对于D，，即D正确.故选：ACD 【例题5】★★（多选）（22-23高一上·云南·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值 【分析】利用分数指数幂的运算法则、对数的运算性质与换底公式化简计算即可逐一判断. 【详解】对于A中，原式，所以A正确； 对于B中，原式，所以B正确； 对于C中，原式，所以C错误； 对于D中，原式，所以D正确.故选：ABD. 【例题6】★★（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）计算 计算 ． 【答案】 5 3 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、根式的化简求值、运用换底公式化简计算 【分析】第一空，利用对数的运算性质以及换底公式化简求值，即得答案；第二空，利用根式的化简及指数幂的运算，即可求得答案. 【详解】 ； ；故答案为：5；3 【例题7】★★（24-25高三上·北京丰台·期末）溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）.室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：）.室温下，某溶液的pH值为1，若加水稀释后，该溶液的pH值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为（   ） A． B．2 C． D．10 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用pH的计算公式可求得溶液稀释前后的氢离子的浓度，再利用即可求得稀释前后的氢氧根离子的浓度，即可求得稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值. 【详解】设稀释前氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，，稀释后氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，， 因为稀释前溶液的pH为1，所以，所以， 又因为，所以； 因为稀释后溶液的pH为2，所以，所以， 又因为，所以， 所以稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为.故选：D. 【例题8】★★（多选）（24-25高三上·黑龙江哈尔滨）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】由知，利用完全平方公式求解A、B、D，利用求解C. 【详解】因为，所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：ABC. 【例题9】★★★（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知实数，满足，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、分数指数幂与根式的互化、由指数（型）的单调性求参数 【分析】将条件变形，然后构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，得，而化简得，即， 即，构造函数， 由于在都为增函数，所以在为单调递增函数， 又知，所以，解得，，所以.故答案为： 【例题10】★★★（24-25高三上·天津和平·期末）若曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数列求和的其他方法、对数的运算 【分析】利用导数求切线方程，然后求与轴的交点横坐标，再代入求值计算即可. 【详解】求导得：， 则曲线在点处的切线为， 令得：切线与轴的交点横坐标为， 故，故答案为：. 【题型二·指对幂函数图像】 【例题10】★（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 【例题11】★★（24-25高三上·湖南郴州）指数函数（，且）与（，且）的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】根据图象，利用指数函数的性质可得，再结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由图知，，且是增函数，为减函数， 所以，，    故选：B. 【例题12】★★（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状、根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解. 【详解】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 【例题13】★★（24-25高三上·江苏无锡）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】根据给定函数的性质，利用函数的奇偶性及函数取值情况判断即可. 【详解】函数中， ，，即函数定义域为， ， 函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除BD； 当时，，即，排除A. 故选：C 【例题14】★★（24-25高一上·天津·阶段练习）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断、对数函数图象的应用 【分析】根据函数奇偶性可排除A，利用定义域可排除C，根据时的函数值的正负可排除D，进而即得. 【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为， 对于A，，函数关于y轴对称，故A错误； 对于C，因为的定义域为，故C错误； 对于D，当，时，，不符合图象，故D错误； 对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确. 故选：B. 【例题15】★★（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数图象选择解析式、函数图像的识别、求指数型复合函数的值域 【分析】由定义域排除D，由函数在时函数值正负排除B，由函数的奇偶性排除C，即得正确选项． 【详解】有，而由函数的部分图象得出定义域内有0，不合题意排除D选项； 函数的部分图象关于y轴对称是偶函数，而,不合题意排除B选项； 当时，， ， 由图可知有正有负，不合题意 排除C选项；故选：A. 【题型三·指对幂函数性质应用】 【例题16】★（多选）（2025高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的定义域，定点，图象等分别判断各个选项即可. 【详解】函数不过原点，A选项错误； 而，所有幂函数的图像一定过点，B选项正确； 函数为奇函数，图像经过一、三象限，C选项正确； 当时，，的图像不可能在第四象限，D选项错误.故选：BC. 【例题17】★★（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】反函数的性质应用 【分析】证得与互为反函数，由反函数的图象关于直线对称可直接得答案. 【详解】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称，故选：A. 【例题18】★★（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】由幂函数的定义和奇偶性确定的值，求得，利用二次函数的单调性即可确定参数a的取值范围. 【详解】因幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，符合题意． 故，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得．故选:C. 【例题19】★★★（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、对数函数单调性的应用、求函数的零点、判断零点所在的区间 【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数都是增函数， 所以函数都是连续增函数， 因为，，即， 所以在在存在唯一零点，即， 因为，，即， 所以在在存在唯一零点，即， 令，即，即，解得，即， 综上：. 故选：B. 【例题20】★★★（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在定义域内有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、函数与方程的综合应用 【分析】由对数的运算性质得到有解，求得的值域，即可求解； 【详解】由题意可得， 即， 可转化为方程在定义域内有解， 由对数函数的定义域可知，又，所以， 所以， 令，则， 因为的图象开口向上，对称轴为，所以在上单调递增，所以当时，，所以，又， 所以.故选：B. 【例题21】★★★（2025高三下·湖南岳阳市第一中学·专题练习）已知在上是的减函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据对数函数的性质得到，然后根据复合函数单调性和对数函数的定义域列不等式求解. 【详解】是由，复合而成， 又， 在上是的减函数， 由复合函数关系知应为增函数，， 又由于在上时有意义，又是减函数， 时，取最小值是即可，， 综上可知，所求的取值范围是． 故答案为：. 【例题22】★★★（2025高三下·全国·专题练习）已知，，则，的大小关系为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】法一：利用作差法比较；法二：构造函数，利用其单调性判断. 【详解】法一：， ， ， ． 法二：令， 显然是上的减函数， ，即． 故答案为： 【例题23】★★★（24-25高三下·广东广州·开学考试）已知函数，，若，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】反函数的性质应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、求函数零点或方程根的个数 【分析】把问题转化为两个函数图象交点问题，根据反函数的性质、基本不等式、导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】由题可得，即， 在同一坐标系中分别绘出函数，，的图象，    由，可知，由，可得， 联立，解得， 因为函数与互为反函数，所以由反函数性质知、关于对称， 则，，且，， 对于A，，故A错误； 对于B，由，， 则，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 【例题24】★★★★（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数的运算性质的应用、反函数的性质应用、基本不等式求和的最小值 【分析】对于A，设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D，得到C，D两点的坐标，结合函数的对称性得到，结论；对于B，结合A中的结论即可判定；对于C，结合B中的结论，以及代入消元法，结合基本不等式即可求解判断；对于D，利用乘1法，换元，并结合函数的单调性进行判断. 【详解】对于选项A：设函数与和的图象在第一象限的交点分别为C，D， 则，， 又因为函数的图象关于直线对称，函数和的图象关于直线对称， 可知点，D两点关于对称，则，，所以，故A正确； 对于选项B：因为，且，则， 取倒数有，即，故B错误； 对于选项C：由得，当且仅当时取等号， 由图象可知，，等号不成立，所以，故C正确； 对于选项D：因为，则， 可得， 令，可知在区间上单调递减， 所以，故D正确；故选：ACD. 【例题25】★★★★★（24-25高三上·山西·阶段练习）若对任意，当时恒有，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先化简题设条件可得，用换元法将问题转化为在上没有零点，对参数分类讨论，并构造函数，利用导数求函数的最大值即可求解. 【详解】由得， 即， 设，则，所以问题转化为在上没有零点. 当0时，没有零点，满足题意； 当时，由得， 设，则， 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，所以. 综上，的取值范围是.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将题设化简整理，用换元法将问题转化为在上没有零点是解题关键，本题考查利用导数求函数的最大值，分类讨论思想，函数与方程思想，属于较难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲·指对幂函数 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共25分） 1．（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 5．（本题5分）（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共30分） 6．（本题6分）（2020高三·全国·专题练习）关于函数，下列描述正确的有（    ） A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称 C．若则 D．有且仅有两个零点 7．（本题6分）（2023·湖南·模拟预测）已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（    ） A． B．在定义域上单调递增 C．的导函数 D． 8．（本题6分）（24-25高三上·湖南株洲·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 9．（本题6分）（19-20高一上·山东聊城·期末）已知函数，下面说法正确的有（   ） A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．，且恒成立 10．（本题6分）（24-25高三上·湖南长沙·期中）点在曲线上，点是点关于轴的对称点，点是点关于轴的对称点，点是点关于直线的对称点.设为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A． B．点在曲线上 C．为定值 D．当且仅当点与点重合时，取最小值 三、填空题（共20分） 11．（本题5分）（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数，满足，且，则的最小值为 ． 12． （本题5分）（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 13．（本题5分）（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 14．（本题5分）（24-25高二上·山西·阶段练习）已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 四、解答题（共45分） 15．（本题15分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数a的值； (2)若函数的定义域为，值域为，求实数a的值； (3)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 16．（本题15分）（21-22高一·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数． (1)求的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 17．（本题15分）（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数且的定义域为． (1)当时，求； (2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； (3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲·指对幂函数 【知识导学】 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a. 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 5．指数函数常见结论 1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，. 2．如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大． 6．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. 7．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)． (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R)． (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． 8．对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 9.反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 10.对数函数常见结论 1．logab·logba＝1，＝logab. 2．如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，. 11.幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． 12.常见的五种幂函数的图象 13.幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 【题型聚焦】 【题型一·指对幂运算】 【例题1】★（2025高三下·全国·专题练习）若，，则（   ） A． B．1 C．3 D．4 【例题2】★（23-24高三下·四川攀枝花·阶段练习）已知，，则（   ） A．9 B．3 C． D． 【例题3】★（2025·云南·模拟预测）定义.若函数，则关于的方程的根为（    ） A．1 B． C．2 D．11 【例题4】★（多选）（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【例题5】★★（多选）（22-23高一上·云南·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题6】★★（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）计算 计算 ． 【例题7】★★（24-25高三上·北京丰台·期末）溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）.室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：）.室温下，某溶液的pH值为1，若加水稀释后，该溶液的pH值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为（   ） A． B．2 C． D．10 【例题8】★★（多选）（24-25高三上·黑龙江哈尔滨）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例题9】★★★（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知实数，满足，，则 . 【例题10】★★★（24-25高三上·天津和平·期末）若曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为，则 ． 【题型二·指对幂函数图像】 【例题10】★（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【例题11】★★（24-25高三上·湖南郴州）指数函数（，且）与（，且）的图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【例题12】★★（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如右图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【例题13】★★（24-25高三上·江苏无锡）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【例题14】★★（24-25高一上·天津·阶段练习）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【例题15】★★（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【题型三·指对幂函数性质应用】 【例题16】★（多选）（2025高三·全国·专题练习）以下关于幂函数图像的说法，正确的有（    ） A．的图像一定过原点 B．的图像一定过点 C．的图像可能经过第三象限 D．的图像可能经过第四象限 【例题17】★★（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【例题18】★★（2025高三·全国·专题练习）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题19】★★★（24-25高三下·广东广州·阶段练习）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【例题20】★★★（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于的方程在定义域内有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题21】★★★（2025高三下·湖南岳阳市第一中学·专题练习）已知在上是的减函数，则的取值范围是 ． 【例题22】★★★（2025高三下·全国·专题练习）已知，，则，的大小关系为 ． 【例题23】★★★（24-25高三下·广东广州·开学考试）已知函数，，若，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【例题24】★★★★（2024·江苏宿迁·模拟预测）已知a，b分别是函数与和的图象在第一象限的交点的横坐标，则（    ） A． B． C． D． 【例题25】★★★★★（24-25高三上·山西·阶段练习）若对任意，当时恒有，则的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七讲·指对幂函数 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共25分） 1．★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知，则指数函数①，②的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据指数函数的性质判断即可. 【详解】由，，在上单调递减，所以排除AB选项； 令，，此时图象①在②的下方因此C项正确． 故选：C. 2．★（本题5分）（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性可以判定的正负，根据指数函数与对数函数的单调性可以判定一个大于1，一个小于1. 【详解】是单调递增函数，所以, 是单调增函数， 所以,所以, 故选：A. 3．★★（本题5分）（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】求得交点的横坐标，比较大小可求. 【详解】当时，由，得；由，得；由，得. 因为，所以是关于的减函数. 又，所以，所以. 故选：A. 4．★★（本题5分）（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、基本不等式求和的最小值 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由， 故，故，由于，故， 故选；B 5．★★★（本题5分）（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性 【分析】分别求出和时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，单调递增，所以当时，有最小值， 当时，单调递减， 所以，无最小值， 因为在存在最小值，所以， 令，因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增， 又因为，所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D 二、多选题（共30分） 6．★★★（本题6分）（2020高三·全国·专题练习）关于函数，下列描述正确的有（    ） A．在区间上单调递增 B． 的图象关于直线对称 C．若则 D．有且仅有两个零点 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求函数零点或方程根的个数、函数图象的变换、对数型复合函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】作出函数的图象，由图象观察性质判断各选项． 【详解】根据图象变换作出函数的图象（，作出的图象， 再作出其关于轴对称的图象，然后向右平移2个单位， 最后把轴下方的部分关于轴翻折上去即可得），如图， 由图象知在是单调递增，A正确，函数图象关于直线对称，B正确； ，直线与函数图象相交可能是4个交点，如图， 如果最左边两个交点横坐标分别是，则不成立，C错误， 与轴仅有两个公共点，即函数仅有两个零点，D正确． 故选：ABD． 7．★★★（本题6分）（2023·湖南·模拟预测）已知函数和分别为奇函数和偶函数，且，则（    ） A． B．在定义域上单调递增 C．的导函数 D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、判断指数函数的单调性、简单复合函数的导数 【分析】根据函数的奇偶性可得，结合选项即可逐一求解, 【详解】由得，由于函数和分别为奇函数和偶函数，所以，因此， 对于A, ,故A错误， 对于B，由于函数在单调递增，在单调递减，所以在单调递增，故B正确， 对于C，当且仅当时取等号，而，所以C错误， 对于D，，当且仅当时取等号，所以D正确故选：BD 8．★★★（本题6分）（24-25高三上·湖南株洲·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究方程的根、指数幂的运算 【分析】将化为，构造函数，利用导数研究函数单调性可得函数在上单调递增，进而，代入C，D选项即可判断；根据函数单调性可知，故，即可判断选项A；构造函数，利用导数研究其单调性可知在上单调递增，故，代入即可判断选项D. 【详解】，. 设，则. ，在上单调递增，. ，，故选项C，D正确； 又，，，，，故选项A错误； 设，则.令得；令得，在上单调递增，在上单调递减， ，，即，，故选项B正确. 故选：BCD. 9．★★★★（本题6分）（19-20高一上·山东聊城·期末）已知函数，下面说法正确的有（   ） A．的图象关于轴对称 B．的图象关于原点对称 C．的值域为 D．，且恒成立 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数型复合函数的值域、定义法判断或证明函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】判断的奇偶性即可判断选项AB，求的值域可判断C，证明的单调性可判断选项D，即可得正确选项. 【详解】的定义域为，关于原点对称, ，所以是奇函数，图象关于原点对称， 故选项A不正确，选项B正确； ，因为，所以，所以， ，所以，可得的值域为，故选项C正确； 设任意的， 则， 因为，，，所以， 即，所以，故选项D不正确；故选：BC 10．★★★★（本题6分）（24-25高三上·湖南长沙·期中）点在曲线上，点是点关于轴的对称点，点是点关于轴的对称点，点是点关于直线的对称点.设为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A． B．点在曲线上 C．为定值 D．当且仅当点与点重合时，取最小值 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】相反向量、求指数函数解析式、垂直关系的向量表示、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设点，由题意得出点坐标.由对称性得到互为相反向量判断A选项；由点的横纵坐标的关系判断B选项；由向量数量积为0得到垂直，从而知道三角形为等腰三角形得出角的大小；列出的解析式，求导后得出函数单调区，从而求出最小值. 【详解】点在曲线上，可设， 根据题意，， ， 又点是点关于直线的对称点，故. 对于A选项，点和点关于坐标原点对称，项正确； 对于B选项，根据确定曲线方程，设，得，B选项错误； 对于C选项，因为，且，故 ， 所以是等腰直角三角形，故，C选项正确； 对于D选项，，，则， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当且仅当时，取最小值，即点与点重合，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题（共20分） 11．★★★（本题5分）（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知函数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据对数的性质可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【详解】不妨设，如图，作出的图象， 根据可得， 故，即可， 故，当且仅当，即时等号成立，故答案为：9 12．★★★（本题5分）（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由对数（型）的单调性求参数 【分析】由一元二次函数性质结合对数函数定义和性质列出关于a的不等式组即可计算求解. 【详解】由题可得在上恒成立，且在上单调递减， 所以，故实数的取值范围是.故答案为：. 13．★★★★（本题5分）（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、求二次函数的值域或最值、指数函数图像应用 【分析】画出函数图象，分析出，，故，，结合函数单调性得到值域，求出取值范围. 【详解】画出的图象， 当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且，令，解得，令，则，若，且，则，， 所以，， 当时，取得最小值，最小值为， 又时，，时，， 故.故答案为： 14．★★★★（本题5分）（24-25高二上·山西·阶段练习）已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、对数型复合函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】因为的定义域为， ， 所以为奇函数.因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为为R上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以不等式即为，则. 因为，所以，即. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式. 四、解答题（共45分） 15．★★★（本题15分）（2024高三·全国·专题练习）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数a的值； (2)若函数的定义域为，值域为，求实数a的值； (3)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围. 【答案】(1)2(2)1或(3) 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、求对数型复合函数的定义域、由对数（型）的单调性求参数、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】（1）根据对数型函数定义域的性质，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可； （2）根据对数型函数的值域的性质，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）根据复合函数单调性的性质，结合对数型函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）依题意知的解集为， 所以方程的解为，， 根据韦达定理，得，解得，即实数的值为2. （2）函数的值域为.. 又且函数的定义域为，的最小值. 而，，解得，即， 所以实数的值为1或. （3）在上为增函数，函数在上是减函数， 函数在上为减函数且， 解得即，故实数的取值范围为. 16．★★★★（本题15分）（21-22高一·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数． (1)求的值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据函数的图象关于原点对称，由求解； （2）由时，恒成立，转化为在上恒成立求解； （3）根据在上单调递增，在上单调递减，由求解. 【详解】（1）解：因为函数的图象关于原点对称， 所以，即， 所以恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 即恒成立，所以，解得， 又时，无意义，故． （2）因为时，恒成立， 所以恒成立，所以在上恒成立， 因为是减函数， 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围是． （3）因为在上单调递增，在上单调递减， 因为关于的方程在上有解， 所以即解得， 所以实数的取值范围是． 17．★★★★（本题15分）（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知函数且的定义域为． (1)当时，求； (2)将满足总有的函数称为“类线性函数”，若函数为“类线性函数”，求实数的值； (3)已知，试问是否存在实数，使得函数在上的值域为？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)答案见解析(2)(3)存在； 【难度】0.4 【知识点】函数新定义、对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、根据值域求参数的值或者范围 【分析】（1）当时，可得，分为，两种情况解不等式即可； （2）根据“类线性函数”的概念可得，利用对数和指数幂的运算性质求解； （3）根据题中条件及的单调性可得是方程的两个不同的实数根，设，则方程有两个不同的实数根，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，，即， 当时，，得，解得； 当时，，得，解得， 故当时，的定义域为； 当时，的定义域为． （2）由题可知函数的定义域为，则恒成立，故可得． 根据“类线性函数”的概念可知，，总有， 即， 则， 所以， 即， 所以对于恒成立， 又不恒为0，所以． （3）存在．易知当时，的定义域为， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以在其定义域上为增函数． 由题意可知，，即， 所以是方程的两个不同的实数根， 即是方程的两个不同的实数根． 设，则方程有两个不同的实数根． 设，其对称轴为， 则，解得，故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$