第六讲·函数的单调，奇偶，对称与周期性讲义-2026届高考数学一轮复习

第六讲·函数的单调，奇偶，周期与对称性 【知识导学】 1.单调性： ①单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论. ②复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. ③单调性的定义表示：（或者）是定义域内单调增函数； （或者）是定义域内单调减函数； ④函数单调性与导函数的关系：是定义域内单调增函数在定义域内恒成立，反之不成立。在定义域内存在单调增区间在定义域内有解。减函数类比。 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3.奇偶性： ①奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数的定义域为I，如果∀x∈I，都有，且，那么函数是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数的定义域为I，如果∀x∈I，都有，且，那么函数是奇函数 关于原点对称 ②奇偶性的判定：1，判定定义域是否关于原点对称；2，判定或是否成立 ③奇偶性的性质应用：1，若是偶函数，则. 2，若是奇函数，0在其定义域内，则. 3，奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. 4.对称性 ①轴对称：关于直线对称或者，推论，则函数关于对称； ②点对称：关于点对称或者，推论，则函数关于点对称； 5.周期性： 定义： 在定义域对都有 在没有特别说明的情况下，周期都是指最小正周期 ①若对，或恒成立，则是周期为的周期函数. ②若是偶函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数. ③若是奇函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数. ④若，则是周期为的周期函数. 【题型聚焦】 【题型一·利用奇偶性求参数的值与求函数解析式】 【例题1】★（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、求含sinx的函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据偶函数和单调性逐项分析即可. 【详解】对于A， 在上单调递减，不符合题意，故A错误； 对于B，由对勾函数性质可知在上不单调，不符合题意，故B错误； 对于C，，不为偶函数，故C错误； 对于D，，且的定义域为， 即为偶函数，由在上单调递增， 在定义域内单调递增，故在上单调递增，符合题意，故D正确. 故选：D. 【例题2】★（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求指数（型)函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】根据题意可知，结合指数运算求解即可. 【详解】令，可得，即函数的定义域为， 若函数为奇函数，则， 可得， 所以.故选：B. 【例题3】★（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数为偶函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数 【分析】由奇偶性的定义列式分析判断即可 【详解】由题意可知函数的定义域为，因为是偶函数， 所以， 整理得，故，得. 故选：C. 【例题4】★★（2024·四川德阳·模拟预测）若函数是奇函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、由奇偶性求参数、对数的运算 【分析】根据条件，利用奇函数的性质得到，再利用二次函数的性质，即可求解 【详解】因为，且为奇函数， 则， 得到，所以， 又图象的对称轴为，且开口向下， 所以当时，取到最大值为， 故选：A. 【例题5】★★★（24-25高一上·广东江门·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求及； (2)求函数在上的解析式； (3)若，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)，(2)(3) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由奇函数的性质即可求解； （2）由奇函数构造方程求解即可； （3）通过函数奇偶性、单调性去求解； 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即， 由题意知，解得 所以当时，， ，所以 （2）当，则，所以， 又为奇函数，所以，故当时， 综上： （3）由，得 因为是奇函数，所以 当时，，所以函数在上单调递增， 由是奇函数，所以函数在上单调递增， 所以对恒成立即对恒成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以．所以实数m的取值范围为 【例题6】★★★（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由已知结合奇函数性质先求a，然后结合奇函数定义即可求解函数解析式； （2）先判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数最值． 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，且当时，， 则，解得，即时，； 当时，，， 故； （2）作出函数的大致图象如图所示： 当时，函数在上单调递增，则； 当，，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，则， 则； 当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减， ，， 则， 则，所以； 当时，即当时，函数在上单调递增， 此时， 综上所述，． 【题型二·构造奇偶函数求值】 【例题7】★★（24-25高三上·江西赣州开学考试）函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、求已知指数型函数的最值 【分析】由函数的基本性质可得，若，则，进一步即可得解. 【详解】设，，首先定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数， 不妨设，则， 所以.故选：C. 【例题8】★★★（23-24长沙市周南中学高三阶段检测）已知函数（且），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】计算得出，再由可求得的值. 【详解】因为， 所以，所以．故选：D． 【点睛】本题考查利用函数解析式求函数值，考查计算能力，属于中等题. 【例题9】★★★（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，，若的最大值为，最小值为，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算 【分析】先对变形得，再构造函数，判断为奇函数，从而由奇函数的性质可得答案 【详解】由题意可得， 令，则， 因为 所以为奇函数， 所以在最大值与最小值之和为0，所以.故答案为：8 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，解决本题的关键是将函数变形，得到后，判断函数为奇函数，考查计算能力，属于中档题 【例题10】★★★（23-24长沙市明德中学·高三阶段练习）已知函数，其导函数记为，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值、基本初等函数的导数公式、导数的乘除法 【分析】利用为偶函数，有，为奇函数， 有，即可求值. 【详解】函数，定义域为R， 则， ， 所以为偶函数，有， 令，， 为奇函数，有， 所以. 故答案为：2. 【例题11】★★★★（多选）（2024·雅礼中学·模拟预测）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则 B．曲线与直线相切 C．若为增函数，则的取值范围为 D．在上最多有个零点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、求曲线切线的斜率（倾斜角）、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况. 【详解】因为对于任意，都有， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确. 又，令，得(*)， 因为，，所以方程(*)无实数解， 即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误. 若为增函数，则大于等于0， 即，， 当且仅当时等号成立，所以，故C正确. 令，得或().设， 则，令， 则.当时，， 当时，，当时，， 所以函数为增函数，且，所以当时，， 从而，单调递增.又因为对于任意，都有， 所以为偶函数，其图象关于轴对称. 综上，在上单调递减，在上单调递增， 则直线与最多有2个交点，所以在上最多有3个零点，故D正确.故选ACD. 【题型三·构造法研究单调性】 【例题12】★★（24-25高三上·湖南师大附中阶段检测）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数. 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数. 【例题13】★★★（24-25高三上·青海·期末）已知为奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据不等式的结构构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以． 设，因为，所以， 则是增函数，且． 因为为奇函数，所以为奇函数，所以，． 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据不等式形式构造新函数进而判断新函数的单调性是解题的关键. 【例题14】★★★★（2025高三上·长郡中学·专题练习）已知函数的定义域与值域均为，且满足，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】利用数列求通项的解法，先判断临界情况，令，所以得，求出的通项公式，即可判断出与得出正确答案. 【详解】先判断临界情况， 令，则， 令 ， 故是首项为，公差为2的等差数列， 故， 即， 则；. 故选：B 【点睛】关键点点睛：令，根据，利用是首项为，公差为2的等差数列求解. 【题型四·函数性质综合应用】 【例题15】★★（2024高三下·雅礼中学·专题练习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据奇偶性推出是以为周期的周期函数，根据周期性计算可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，又为偶函数， 所以，，且， 则， 即， 所以， 即是以为周期的周期函数， 由，，， 所以， ， ， 所以．故选：B 【例题16】★★（2023春·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过函数的性质得到的对称性和单调性，再利用的性质去掉中的，然后解不等式即可. 【详解】函数是偶函数, 且在上单调递增， 即函数的对称轴为， 又函数向右平移1个单位可得， 函数的对称轴为，且在上单调递增， 由得解得或故选：B. 【例题17】★★（2024秋·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知函数对任意，都有成立，又函数的图象关于点对称，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据题意判断函数的对称性以及奇偶性，继而可推得函数的周期，根据函数的周期即可求得答案. 【详解】因为对任意，都有,所以函数的图象关于直线对称， 即，则， 又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 即函数为奇函数， 所以，所以， 所以8是函数的一个周期， 故，故选：A． 【例题18】★★（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据给定条件可得函数在R上单调递增，再结合分段函数及对数函数的单调性列式求解. 【详解】由对任意的，恒成立，得函数在R上单调递增， 则，解得，所以实数的取值范围为.故选：C 【例题18】★★★（2025高三下·全国·专题练习）已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】由可求得函数的周期为4，由函数为奇函数结合已知解析式求出时的解析式，再结合周期可求得结果. 【详解】由， 因此可以得到：，所以函数的周期为4， 当时，， 设，则，所以， 因为是定义在上奇函数， 所以，得， 当时，， 所以， 所以当时，函数的最小值为. 故选：B 【例题19】★★★（多选）（24-25高三下·广东广州·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图像关于点对称 D．函数有2个零点 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值、求函数零点或方程根的个数 【分析】A选项，根据对称性得到，再结合得到，即可得到的周期，然后利用周期求函数值即可；B选项，利用对称性求解析式，然后判断单调性；C选项，根据得到对称中心；D选项，将函数的零点个数转化为与图象的交点个数，然后结合图象求零点个数. 【详解】因为的图象关于对称，所以， 又，所以， 则，所以，所以， 所以的周期为8， 所以，故A正确； 当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以，所以在上单调递减，故B正确； 由得的图象关于点对称，故C错； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 由此可得与的图象有2个交点， 所以有2个零点，故D正确. 故选：ABD. 【例题20】★★★（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【答案】AB 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断证明抽象函数的周期性、判断或证明函数的对称性 【分析】令，推导出，结合函数的对称性可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断BC选项；利用特殊值法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，因为函数的图象关于点对称， 即函数的的图象关于点对称，则， 所以，令，可得， 可得，所以的图象关于点对称，则A正确． 对于B选项，由已知得， 设，则， 所以，所以是偶函数，则B正确； 对于C选项，若函数是奇函数，则，可得， 即函数的图象关于点对称， 但函数的图象关于点对称，题中条件无法推出函数的图象关于点对称，则C错误； 对于D选项，若函数的周期为，则， 事实上，在等式中，令，则，则，矛盾，故D错误. 故选：AB. 【点睛】结论点睛：本题考查函数的对称性的判断，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 【例题21】★★★（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解； 【详解】设， 由在上单调递增，可知，在上单调递增， 又奇函数， 所以由，可得， ∴，， ∴在上有解，设，， 易知时，，时，， ∴在单调递增，在单调递减，即， ∴， 故选：A 【例题22】★★★★（2025·广东佛山·模拟预测）设函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】由题意可得，进而得，又且，可求的取值范围. 【详解】因为，恒成立， 所以，即，所以． 因为且， 所以． 故选：C. 【例题23】★★★★（多选）（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数，数列满足，前项和为．则（   ） A．函数的对称中心为 B．函数为奇函数 C．不等式的解集为 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、倒序相加法求和、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性解不等式 【分析】A：计算的和是否为即可判断；B：设，计算的和是否为即可判断；C：根据函数的单调性和对称中心即可判断；D：利用数列求和得到，再根据基本不等式求最小值即可. 【详解】 . 所以函数关于对称，A正确； 令，则， 由A知，，所以. 所以不是奇函数，B错误； 因为，所以 因为在R上单调递增，所以，，C正确； 由A知，，且，， . 又因为，所以. 时，， 当且仅当即，，时等号成立； 时， ， 当且仅当即，，时等号成立； 所以若，，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 【例题24】★★★★（多选）（24-25高三上·湖南长沙·明德中学阶段考试）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】利用与得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用与得到为偶函数；利用得到，最后利用得到的值即可. 【详解】因为，所以． 又因为，所以． 又，则， 即，所以，故是周期为4的周期函数． 因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确； 因为，则，则， 所以，所以为偶函数，选项A正确； 因为，令，得，即， 令，得，即， 故，选项C正确； 由， 得 ， 所以，选项D错误． 故选：ABC． 【点睛】当有两个函数时，需要根据其函数关系消元，得到一个函数的关系，然后得出的性质；最后再利用与的关系求解相关的一些性质即可. 【题型五·抽象函数与函数新定义】 【例题25】★★★（2024高三下·湖南师大附中·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立． (1)判断在上的单调性； (2)解不等式； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) (3)或或 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）应用单调性定义判断单调性； （2）根据单调性列不等式计算求解； （3）根据不等式在给定范围恒成立，分和分别判断计算求解. 【详解】（1）任取，且， 则为奇函数， ， 由已知得， ，即． 在上单调递增． （2）在上单调递增， ． 所以不等式的解集为． （3）在上单调递增． 在上，． 问题转化为， 即，对恒成立． 设． ①若，则，对恒成立． ②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须有且， 或． 实数的取值范围是或或． 【例题26】★★★★（多选）（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 【例题27】★★★★（多选）（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】函数基本性质的综合应用、抽象函数的奇偶性 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲·函数的单调，奇偶，周期与对称性 【知识导学】 1.单调性： ①单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论. ②复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. ③单调性的定义表示：（或者）是定义域内单调增函数； （或者）是定义域内单调减函数； ④函数单调性与导函数的关系：是定义域内单调增函数在定义域内恒成立，反之不成立。在定义域内存在单调增区间在定义域内有解。减函数类比。 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3.奇偶性： ①奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数的定义域为I，如果∀x∈I，都有，且，那么函数是偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数的定义域为I，如果∀x∈I，都有，且，那么函数是奇函数 关于原点对称 ②奇偶性的判定：1，判定定义域是否关于原点对称；2，判定或是否成立 ③奇偶性的性质应用：1，若是偶函数，则. 2，若是奇函数，0在其定义域内，则. 3，奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性. 4.对称性 ①轴对称：关于直线对称或者，推论，则函数关于对称； ②点对称：关于点对称或者，推论，则函数关于点对称； 5.周期性： 定义： 在定义域对都有 在没有特别说明的情况下，周期都是指最小正周期 ①若对，或恒成立，则是周期为的周期函数. ②若是偶函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数. ③若是奇函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数. ④若，则是周期为的周期函数. 【题型聚焦】 【题型一·利用奇偶性求参数的值与求函数解析式】 【例题1】★（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】★（2025·湖南岳阳·一模）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】★（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数为偶函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．1 【例题4】★★（2024·四川德阳·模拟预测）若函数是奇函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例题5】★★★（24-25高一上·广东江门·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求及； (2)求函数在上的解析式； (3)若，恒成立，求实数m的取值范围． 【例题6】★★★（23-24高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)当时，求的最小值． 【题型二·构造奇偶函数求值】 【例题7】★★（24-25高三上·江西赣州开学考试）函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【例题8】★★★（23-24长沙市周南中学高三阶段检测）已知函数（且），若，则（    ） A． B． C． D． 【例题9】★★★（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，，若的最大值为，最小值为，则 . 【例题10】★★★（23-24长沙市明德中学·高三阶段练习）已知函数，其导函数记为，则 . 【例题11】★★★★（多选）（2024·雅礼中学·模拟预测）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则 B．曲线与直线相切 C．若为增函数，则的取值范围为 D．在上最多有个零点 【题型三·构造法研究单调性】 【例题12】★★（24-25高三上·湖南师大附中阶段检测）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题13】★★★（24-25高三上·青海·期末）已知为奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为 ． 【例题14】★★★★（2025高三上·长郡中学·专题练习）已知函数的定义域与值域均为，且满足，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型四·函数性质综合应用】 【例题15】★★（2024高三下·雅礼中学·专题练习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（   ） A． B．4 C． D．6 【例题16】★★（2023春·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考开学考试）已知定义在上的函数是偶函数，且在上单调递增，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题17】★★（2024秋·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知函数对任意，都有成立，又函数的图象关于点对称，且，则（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【例题18】★★（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题18】★★★（2025高三下·全国·专题练习）已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（    ） A． B． C．1 D．0 【例题19】★★★（多选）（24-25高三下·广东广州·开学考试）已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递减 C．的图像关于点对称 D．函数有2个零点 【例题20】★★★（多选）（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数满足．若的图象关于点对称，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是偶函数 C．是奇函数 D．的周期 【例题21】★★★（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题22】★★★★（2025·广东佛山·模拟预测）设函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题23】★★★★（多选）（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知函数，数列满足，前项和为．则（   ） A．函数的对称中心为 B．函数为奇函数 C．不等式的解集为 D．若，，则的最小值为 【例题24】★★★★（多选）（24-25高三上·湖南长沙·明德中学阶段考试）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ） A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【题型五·抽象函数与函数新定义】 【例题25】★★★（2024高三下·湖南师大附中·专题练习）已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立． (1)判断在上的单调性； (2)解不等式； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围． 【例题26】★★★★（多选）（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【例题27】★★★★（多选）（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲·函数的单调、奇偶、周期与对称性 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共30分） 1．★（本题5分）（24-25高三下·江苏·开学考试）若是奇函数，则（    ） A．e B． C． D． 2．★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 3．★★（本题5分）（2019高三·全国·专题练习）已知满足对任意，都有成立，那么的取值范围是 A．(1，2) B． C． D． 4．★★★（本题5分）（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．★★★（本题5分）（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．★★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ） A．3 B． C． D．0 二、多选题（共36分） 7．★（本题6分）（2025·广东肇庆·二模）下列函数中是奇函数且是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 8．★★（本题6分）（2025高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 9．★★★（本题6分）（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C． D．时， 10．★★★（本题6分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，若当时，，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于点中心对称 B．8为的周期 C． D．方程在上共有1526个不同的实数解 11．★★★★★（本题6分）（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的图象关于原点对称 B．的值域为 C．当时，桓成立 D．若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个 12．★★★★★（本题6分）（24-25高一下·安徽·开学考试）设是定义域为的单调函数，若，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 三、填空题（共30分） 13．★★（本题5分）（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知，若函数是定义在上的奇函数，则 . 14．★★（本题5分）（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知函数为奇函数，则 . 15．★★（本题5分）（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 16．★★★（本题5分）（24-25高一下·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 17．★★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知，.求 . 18．★★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则 ． 四、解答题（共30分） 19．★★★（本题15分）（24-25高一上·四川眉山·期末）已知函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值. 20．★★★★（本题15分）（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且． (1)求证：为奇函数，并求的值； (2)判断在上的单调性，并说明理由； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六讲·函数的单调、奇偶、周期与对称性 学校:___________姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、单选题（共30分） 1．★（本题5分）（24-25高三下·江苏·开学考试）若是奇函数，则（    ） A．e B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求解. 【详解】解：因为函数是奇函数，所以满足 ， 即 ，化简为 ， 即，解得. 此时 ，函数的定义域为 ，满足题意.故选：B. 2．★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用偶函数性质结合大小关系可判断选项正误. 【详解】是偶函数，. ，，． 又，结合在上为增函数， ，即． 故选：A 3．★★（本题5分）（2019高三·全国·专题练习）已知满足对任意，都有成立，那么的取值范围是 A．(1，2) B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】由题意知函数为增函数，所以有，从而得解. 【详解】由已知条件得为增函数， 所以解得：，所以a的取值范围是，故选：C. 【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，忽视断点处的不等关系是本题的易错点，属于基础题. 4．★★★（本题5分）（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】构造函数，确定奇偶性并利用导数判断单调性，进而求解不等式. 【详解】令函数，其定义域为R， ，函数是奇函数， 求导得，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增， 不等式， 则，解得，所以所求取值范围是. 故选：A 5．★★★（本题5分）（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】利用偶函数与奇函数性质结合赋值法可得该函数周期，利用该函数周期及已知条件即可得解. 【详解】由为偶函数，则有， 由为奇函数，则有， 由可得， 则，即， 则，故， 故以为周期，则， 又，， 则，故，即. 故选：D. 6．★★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】由为奇函数可得，再结合为偶函数，可得，从而可得，得周期，然后利用周期化简计算即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，， 所以有， 由为偶函数可得， 故有，， 即，， 故，所以周期，且. 故 . 答案：D 二、多选题（共36分） 7．★（本题6分）（2025·广东肇庆·二模）下列函数中是奇函数且是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义和周期函数的定义即可判断. 【详解】若，定义域为， 则是奇函数， 是周期函数，故A正确； 若，则，故不是奇函数，故B错误； 若，定义域为， 则， 故不是奇函数，故C错误； 若，定义域为， 则是奇函数， 是周期函数，故D正确. 故选：AD. 8．★★（本题6分）（2025高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对ABC举反例即可判断，对D直接根据函数单调性定义即可判断. 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的， 设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确． 故选：ABC. 9．★★★（本题6分）（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C． D．时， 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的定义与判断、由函数的周期性求函数值 【分析】根据偶函数定义及周期定义判断A，B，计算函数值判断C，应用偶函数性质求解判断D. 【详解】由且定义域为，故是周期为4的偶函数，A错误，B正确； 由题设，有，C正确； 令，则，故，D错误， 故选:BC. 10．★★★（本题6分）（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，若当时，，则下列选项正确的是（    ） A．图象关于点中心对称 B．8为的周期 C． D．方程在上共有1526个不同的实数解 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】利用奇函数和中心对称性可得A正确；由可得B错误；由可得C正确；设，由周期性可得D错误. 【详解】对于A，因为，所以， 又是定义在上的奇函数，所以，即，所以图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，，所以， 所以， 又是定义在上的奇函数，所以，所以， 所以，所以8不为的周期，故B错误； 对于C，因为，所以， 又当时，，所以，所以，故C正确； 对于D，因为， 设，则 所以4为的周期， 又是定义在上的奇函数，所以， 所以方程等价于在上共有507个不同的实数解. 故选：AC. 11．★★★★★（本题6分）（24-25高三下·浙江杭州·阶段练习）已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的图象关于原点对称 B．的值域为 C．当时，桓成立 D．若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数零点或方程根的个数、函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，利用换元法结合正弦函数的性质可判断B的正误，利用导数考虑的单调性后可判断C的正误，对于D，先判断的周期性，再利用导数刻画函数的单调性得到函数图象，结合两根特征就小根的范围分类讨论后可得参数的范围，从而可判断D的正误. 【详解】对选项A：因为 所以A正确； 对选项B：设，则可表为， 因为， 故为上的奇函数，而时，均为增函数， 故为上的增函数，而为上的增函数， 故为上的增函数，故为上的增函数， 因为是增函数，所以， 所以的值域为，所以B不正确； 对选项C：设， 则（不恒为零）， 所以在上递减，所以即，所以C正确； 对选项D：因为， 所以关于对称，又的图象关于原点对称， 故是周期函数且周期，而， 所以在上递增，可作出草图，如下图 设，则，该方程两根满足， 显然均不为0且最多仅有一个属于， 不妨设, 若时，方程在区间[上有1013个实数根； 若时，方程在区间[上有2026个实数根； 若时，在区间上有2024个实数根； 若时，方程在区间上有1012个实数根； 代入方程可得：，唯一， 所以D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：嵌套方程的零点问题，一般可先考虑外方程的根的特征，再考虑内方程的根，本质上就是换元处理. 12．★★★★★（本题6分）（24-25高一下·安徽·开学考试）设是定义域为的单调函数，若，则（    ） A． B． C．是增函数 D．当时， 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数值、抽象函数的奇偶性、比较函数值的大小关系 【分析】赋值法可判断A和B，根据函数的大小关系可判断选项C，根据单调性可判断D. 【详解】对于A，令，得，所以，A正确； 对于B，令，得，所以， 因为函数的定义域为，令，得， 所以，B正确； 对于C，是奇函数，且为单调函数，又， 所以是上的减函数，C错误； 对于D，由C可知是上的减函数，当时，， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共30分） 13．★★（本题5分）（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知，若函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意得，，解得， 所以， 故答案为：1 14．★★（本题5分）（24-25高三上·辽宁丹东·期末）已知函数为奇函数，则 . 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的性质得到，然后解方程求解. 【详解】因为为奇函数，所以，解得或， 当时，，成立； 当时，，，，故不成立， 所以. 故答案为：2. 15．★★（本题5分）（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 【答案】120 【难度】0.85 【知识点】由函数对称性求函数值或参数 【分析】利用图像的对称性列方程组求解即可. 【详解】由题意得函数的图像关于直线对称， 则， ， 解得：，. 故答案为：120. 16．★★★（本题5分）（24-25高一下·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】构造函数，由其为奇函数即可求解； 【详解】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 17．★★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知，.求 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】构造函数，根据函数的奇偶性求出即可得解. 【详解】令，则的定义域为， 因为， 所以为奇函数， 从而，即， 因为，所以. 答案：. 18．★★★（本题5分）（2025高三下·全国·专题练习）已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则 ． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】先由函数的图像关于直线对称，得到函数是偶函数，则有；又令代入，求得函数的周期为8，利用函数周期化简即可求值. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数， 则有； 因为对任意，都有， 令，得， 所以对任意，都有， 即函数的周期为8，则． 故答案为：3. 四、解答题（共30分） 19．★★★（本题15分）（24-25高一上·四川眉山·期末）已知函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值. 【答案】(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】函数与方程的综合应用、由奇偶性求函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据偶函数性质计算可得，满足题意即可得解析式； （2）将问题转化为方程有且只有一个大于0的解，再由基本不等式可得结果. 【详解】（1）由为偶函数，有， 即， ，解得； 经检验，时，满足，符合题意； 因此函数的解析式为. （2）由题意知有且只有一个实数解, 有且只有一个实数解； 令，则关于的方程有且只有一个大于0的解， 即关于的方程有且只有一个大于0的解 则函数的图象与直线有且只有一个横坐标大于0的公共点 由函数的图象得，此公共点为， 可得. 20．★★★★（本题15分）（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）已知函数对任意实数、恒有，当时，，且． (1)求证：为奇函数，并求的值； (2)判断在上的单调性，并说明理由； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2)减函数，理由见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）令，可求出的值，再令，结合函数奇偶性的定义可证得结论成立，计算出的值，再由奇函数的定义可求得的值； （2）利用函数单调性的定义可得出结论； （3）将所求不等式变形为，结合函数的单调性得出对任意的恒成立，利用二次不等式恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】（1）取，则，解得． 取，则， 所以对任意恒成立，所以为奇函数． 因为，所以． （2）是R上的减函数． 理由：任取，则，则， 所以，故是R上的减函数． （3）因为为奇函数，所以等价于， 即． 因为是R上的减函数，所以，即恒成立． ①时，则，解得，不符合题意； ②当时，则，解得． 综上，实数的取值范围为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$