精品解析：四川省南充市南部中学2024--2025学年八年级下学期第一学月月考数学试卷

南部中学初2023级第四学期第一次学月检测 数学试题 （满分150分；考试时间：90分钟） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 2. 在，，，，中，最简二次根式的个数为(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，一根垂直于地面旗杆在离地面面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（ ） A B. C. D. 4. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或者直角三角形 D. 等腰直角三角形 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（ ）米 A. B. C. D. 8. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为、，且后分别到达，点如图所示，若，两点的直线距离为，甲探险者是沿着北偏东的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（ ） A. 南偏西 B. 北偏西 C. 南偏东 D. 南偏西 9. 如图，在中，，点是平分线的交点，且，则点到边的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知，则化简的结果为______． 12. 已知最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 13. 已知，则的值为________． 14. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是______． 15. 在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_____． 16. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为_______（杯壁厚度不计）． 三、解答题（本题共7小题，第17题8分，第18-22题每题10分，第23题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 19. 为进一步落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出该空地的面积； （2）该校计划在此空地上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 20. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 21. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 22. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点． （1）判定的形状，并说明理由； （2）求的长． 23. 我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为 （1）在中，若，，求值． （2）如图2，在中，，，求，的值． （3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南部中学初2023级第四学期第一次学月检测 数学试题 （满分150分；考试时间：90分钟） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，5，6 D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理逆定理，解题关键在于理解勾股定理逆定理的内容．如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角； 【详解】A．，故该三角形不是直角三角形； B．，故该三角形是直角三角形； C．，故该三角形不是直角三角形： D．，故该三角形不是直角三角形． 故选：B． 2. 在，，，，中，最简二次根式的个数为(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】，则该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式； 的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式； 、符合最简二次根式的定义，所以它是最简二次根式； 则该二次根式被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式； 综上所述，上述二次根式中是最简二次根式的个数是2个， 故选B. 【点睛】考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键. 3. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 处， 旗杆折断之前的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再由旗杆折断之前的高度是求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 米， 旗杆折断之前的高度是18米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意并能灵活运用知识是解题的关键． 4. 如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心，AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，可得AB=AC=，推出OC=－1即可解决问题． 【详解】解：在Rt△AOB中，AB=， ∴AB=AC=， ∴OC=AC－OA=－1， ∴点C表示的数为1－． 故选C． 【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是由勾股定理求出的线段长再算出数轴上点表示的数． 5. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则的形状为（　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或者直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明，即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：中，由勾股定理得：， 中，由勾股定理得：， 同理可得，中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：D． 6. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：， 故选：A． 7. 如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于，则米，由勾股定理得出（米），则（米），即可得出答案，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则米，如图所示： 在中，米米， 由勾股定理得： （米） ∴（米）， ∴米， 故选：D． 8. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，两人从同一地点同时出发，甲、乙两位探险者的速度分别为、，且后分别到达，点如图所示，若，两点的直线距离为，甲探险者是沿着北偏东的方向行走，则乙探险者的行走方向可能是（ ） A. 南偏西 B. 北偏西 C. 南偏东 D. 南偏西 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理找出是解题的关键．根据路程速度时间可求出、，根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出，结合的度数即可求出的度数，此题得解． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴ ∴乙探险者的行走方向为南偏东， 故选：C． 9. 如图，在中，，点是平分线的交点，且，则点到边的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点O作，垂足分别为D，E，F，得到，利用勾股定理，直角三角形的面积公式，图形的面积和解答即可． 本题考查了角平分线性质，勾股定理，直角三角形的面积性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：过点O作，垂足分别为D，E，F， ∵点是平分线的交点， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知，则化简的结果为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的性质，首先根据的范围确定与的符号，然后根据，以及绝对值的性质即可化简求值，正确理解是关键． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：1． 12. 已知最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由同类二次根式和最简二次根式的定义即可列出方程进行求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，和最简二次根式定义，根据定义准确列出方程是解题的关键． 13. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得、的值． 【详解】解： 和有意义， ， ，． ． 故答案为：． 14. 已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况：当两直角边的长分别为6和8时，当斜边长为，一条直角边长为时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为6和8， ∴当两直角边的长分别为6和8时，第三边的长是， 当斜边长为，一条直角边长为时，第三边的长是， 综上所述，一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是或， 故答案为：或． 15. 在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质及勾股定理的应用，运用勾股定理可知，得每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，即，同理可得即可得出答案． 详解】解：如图所示，根据题意可得：， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中，， ， ， 同理可得：， ， 故答案为4 16. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为_______（杯壁厚度不计）． 【答案】 【解析】 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【详解】解：由题意得，如图为圆柱体展开图， 则作关于的对称点，则蚂蚁爬行最短路程为的长度， ， 过作于点， 在中由勾股定理得：， ，， ，即蚂蚁爬行最短距离为． 【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 三、解答题（本题共7小题，第17题8分，第18-22题每题10分，第23题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据二次根式的混合运算的法则来计算． （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 已知，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是解题的关键． （1）先对和进行化简，利用完全平方公式把所求的式子写成的形式，然后代入求解即可； （2）先对所求的式子进行化简，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴ ； 【小问2详解】 解： ， ∵，， ∴原式． 19. 为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出该空地的面积； （2）该校计划在此空地上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】（1）该空地的面积为； （2）此块空地全部种植花卉共需花费元． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，过点作于点，先求出的长，设，则，再根据勾股定理求出的长，即可求解； （2）每种植花卉需要花费200元，即可求解． 小问1详解】 解：连接，过点作于点，如图： ∵，，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得：， ∴， 该空地的面积， 答：该空地的面积． 【小问2详解】 解：（元）， 答：此块空地全部种植花卉共需花费元． 20. 如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入． （1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？ （2）在进行爆破时， A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长． 【答案】（1） （2）需要， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ，，， 如图，过作， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 解得：， 答：山地C距离公路的垂直距离为； 【小问2详解】 解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下： 如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，， 则， ， ， 由（1）可知，， ， 有危险需要暂时封锁， 在中， ， ， 即需要封锁的公路长为． 21. 与危险相伴，与烈火为伍，致敬和平年代的英雄，最美的逆行者——中国消防员．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为24米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方6米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米? 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， 米，米， 米 （米）． 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 在中， 米，（米）， 米 （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 22. 如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点． （1）判定的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）△ABC是直角三角形．理由见解析． （2）的长是． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可求解； （2）连接，根据垂直平分线的性质得出，设，则．根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 是直角三角形． 理由：∵中，， 又∵，即， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 连接， 根据是直角三角形，可知，是直角三角形， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，有：， ∴， 解得， 即AE的长是． 【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 23. 我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在中，是边上的中线，与的“广益值”就等于的值，可记为 （1）在中，若，，求的值． （2）如图2，在中，，，求，的值． （3）如图3，在中，是边上的中线，，，，求和的长． 【答案】(1)AC=9；(2)ABAC=-72,BABC=216；(3)BC=2,AB=10. 【解析】 【分析】(1)在Rt中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2; (2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论; (3)作BD⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD是直角三角形,根据中线性质得出OA的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB. 【详解】解：(1)已知如图:AO为BC上的中线, 在Rt中, AO2-OC2=AC2 因为 所以AO2-OC2=81 所以AC2=81 所以AC=9. (2)①如图2,取BC的中点D,连接AO, ∵AB=AC, ∴AO⊥BC, 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°, ∴∠ABC=30°, 在Rt△AOB中,AB=12,∠ABC=30°, ∴AO=6,OB==, ∴ABAC=AO2﹣BO2=36﹣108=﹣72, ②取AC的中点D,连接BD, ∴AD=CD=AC=6,过点B作BE⊥AC交CA延长线于E, 在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°, ∴∠ABE=30°, ∵AB=12, ∴AE=6,BE=, ∴DE=AD+AE=12, 在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD= ∴BABC=BD2﹣CD2=216; (3)作BD⊥CD, 因为,, 所以BD=2, 因为,是边上的中线, 所以AO2-OC2=-64, 所以OC2-AO2=64, 因为AC2=82=64, 所以OC2-AO2= AC2 所以∠OAC=90° 所以OA= 所以OC= 所以BC=2OC=2, 在Rt△BCD中, CD= 所以AD=CD-AC=16-8=8 所以AB= 【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$