专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 15 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2023·四川乐山·二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（     ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：过点E作，过点B作，连接． ∵在菱形中，，∴， ∵，∴，，即．∴．∴．    ∵∴当时，即F与重合时，有最小值 ∴的最小值．故选B． 例2．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，，，则对角线 ，点是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 4 3 【详解】解：过点作，过点作于点，交于点， ∵在矩形中，，，，则，， ，，∵，， ∵，，，∴， ，∴当点三点共线时，， 此时最小，∴的最小值是3．故答案为：4；3． 例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 例4．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 例5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ ． 即的最小值为6．故选B． 例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 、【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点， ∵菱形中，，∴，为等边三角形， ∴，，∴在中，，∴， ∴此时得到最小值，， ∵，，∴，又∵，∴,故选：B. 2．（2024·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则，∴， ∴， ． 即的最小值为6．故选B． 3．（2024.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 故答案为： 4．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 【答案】 2 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴，故答案为：． （2）过点P作于点E，过点M作于点F，    在中，由（1）知：，∴，∴， 在矩形中，，∵，∴， 在中，，∴，∴的最小值为2，故答案为：2． 5．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，，∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴， ∵平行四边形中，，，，， ∴，，∴，∴，∴， ∴，∴当三点共线且时，最小，为， ∵，∴，由勾股定理得，， ∴最小值为，故答案为：． 7．（2024上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在长方形中，对角线， ∴，∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴，∴， 过点作于点，连接，过点作于点，则：，， ∵，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短，∴当时， 最小，即点与点重合， ∵，∴，∴， ∴，即：的最小值为．故答案为：． 8．（2024·广东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 【答案】3 答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°， ∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2， 在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H． ∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE， ∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC•sin6°＝23， ∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值为3，故答案为3． 9．（2024上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：连接，取中点，连接，   ， 为的中点，，即，， 当三点共线时，上式取等号，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 10．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴，当、、三点共线时，的值最小，此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 11．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 12．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 13．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E， ∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为，故答案为． 14．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 【答案】①是，理由见解析；② 【详解】解：①如图3，连接， 由（2）的结论可知，， 四边形是正方形，是正方形的对角线，，， ，，，， 由折叠可知，，，，， ，，，， ，四边形是菱形，，菱形是正方形； ②如图4，作交的延长线于点，作于点， ，由上知四边形是正方形， ，，，， ，，，； ，，是等腰直角三角形，， ，，，； 如图4，作关于的对称点，则，过点作交延长线于点， 则是等腰直角三角形，，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．，， ，，，， ，即的最小值为．故答案为：． 15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图： 即，∴在中，，∴的最小值为． 16．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)(2)不改变，见解析(3) 【详解】（1）∵四边形是菱形，边长为6，∴，， ∴，是等边三角形，∴， ∵点E是边的中点，∴，， ∵，∴∴点F是边的中点， ∴，∴； （2）的度数不改变，证明如下： 由（1）得到，是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴； （3）如图，过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点， ∵，∴在中， ∴  ∴当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H， ∵四边形是菱形，∴，∴的最小值即为的长， ∵，是等边三角形，∴，∴的最小值为． 8 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 15 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2023·四川乐山·二模）如图，菱形中，，，是对角线上的任意一点，则的最小值为（     ）．    A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，，，则对角线 ，点是上的动点，连接，则的最小值是 ． 例3．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 例4．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 例5．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 例6．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例7．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 1．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2024·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 3．（2024.成都市九年级期中）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 4．（2023·河北保定·统考一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °；（2）的最小值为 ． 5．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 7．（2024上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 8．（2024·广东·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___． 9．（2024上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为 ．    10．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    11．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 12．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 13．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 14．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．①四边形是正方形吗？请说明理由；②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　． 15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    16．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，．(1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数；(2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$