4.4.1对数函数的概念导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1　对数函数的概念 学案 学习目标 1.理解对数函数的概念. 2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.　　 情境导入 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…… 细胞分裂示意图 如果我们已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？这就要应用我们本课时学习的对数函数. 新知探究 知识点一　对数函数的概念 问题引导 　将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ 提示：x＝log2y，任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的x对应，x是关于y的函数. 知识点总结 1.对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.特殊的对数函数 常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg x 自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln x 在对数函数的定义表达式y＝logax(a＞0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x就是真数，否则就不是对数函数. 典例探究 例1(1)(2024·河北唐山高一月考)下列函数是对数函数的是(　　) A.y＝loga(2x) B.y＝lg 10x C.y＝loga(x2＋x) D.y＝ln x 解析：D　由对数函数的定义，知D正确. (2)若函数y＝logax＋a2－3a＋2为对数函数，则a＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　由题可知，函数y＝logax＋a2－3a＋2为对数函数，所以a2－3a＋2＝0⇒a＝1或a＝2，又a＞0且a≠1，所以a＝2. 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. 变式训练 1.(1)下列函数是对数函数的是　　　　(填序号). ①y＝loga(5＋x)(a＞0，且a≠1)；②y＝log(－1)x；③y＝log3(－x)；④y＝logx(x＞0且x≠1). 解析：①和③中自变量不是x，所以不是对数函数，④中底数是x，不是常数；②符合对数函数的特征，所以是对数函数. 答案：② (2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f()＝　　　　. 解析：设对数函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)， ∵f(x)的图象过点P(8，3)， ∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2. ∴f(x)＝log2x， ∴f()＝log2＝log22－5＝－5. 答案：－5 知识点二　求对数函数的定义域 典例探究 例2　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log(x－1)(3－x)； (4)y＝lg. 解：(1)要使函数式有意义，需 解得x>1，且x≠2. 所以函数y＝的定义域是{x|x>1，且x≠2}. (2)要使函数式有意义，需16－4x>0， 解得x<2. 所以函数y＝log2(16－4x)的定义域是{x|x<2}. (3)要使函数式有意义，需 解得1<x<3，且x≠2. 所以函数y＝log(x－1)(3－x)的定义域是{x|1<x<3，且x≠2}. (4)要使函数式有意义，需使＞0， 即(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1， 所以函数y＝lg的定义域为{x|－1＜x＜1}. 求对数函数定义域的注意点 (1)真数大于0. (2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于0且不等于1. 变式训练 2.(1)(2023·山东德州高一期末)函数y＝log2(2x－4)的定义域是(　　) A.[2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，2] D.(－∞，2) 解析：B　由2x－4＞0得x＞2，故选B. (2)函数y＝logx＋1(8－2x)的定义域是(　　) A.(－1，3) B.(0，30) C.(－3，1) D.(－1，0)∪(0，3) 解析：D　由得x∈(－1，0)∪(0，3).  思维提升 　对数函数模型的应用 例3　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的解析式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解：(1)由题意知 y＝ (2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5， 即log5(x－9)＝2， ∴x－9＝52，解得x＝34. ∴老江的销售利润是34万元. 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算. 变式训练 3.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝10lg.生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为200 dB，而人类说话时，声音约为60 dB，则抹香鲸的声音强度与人类说话时的声音强度之比为(　　) A.10－14 B. C.1014 D.108 解析：C　当声音约为200 dB时，则200＝10lg，解得x＝108，当声音约为60 dB时，则60＝10lg，解得x＝10－6，所以抹香鲸的声音强度与人类说话时的声音强度之比为＝1014. 课堂小结 1.知识网络 2.特别提醒 (1)求对数函数的解析式应用了待定系数法. (2)已知对数函数求其定义域时不要忽视底数大于0且不等于1. 课堂练习 1.下列函数是对数函数的是(　　) A.y＝log2x B.y＝ln(x＋1) C.y＝logxe D.y＝logxx 解析：A　由对数函数的特征可得只有A选项符合. 2.函数f(x)＝log(2x－3)的定义域是(　　) A.(，＋∞) B.[，＋∞) C.(－∞，－) D.(－∞，－] 解析：A　由2x－3＞0，得x＞. 3.某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析：A　由题意，知100＝alog2(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300. 4.若函数f(x)＝(a2－5a＋5)log(a－2)x是对数函数，则a＝　　　　. 解析：由 得a＝4. 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4.1　对数函数的概念 学案 学习目标 1.理解对数函数的概念. 2.会求与对数函数有关的定义域问题.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.　　 情境导入 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…… 细胞分裂示意图 如果我们已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？这就要应用我们本课时学习的对数函数. 新知探究 知识点一　对数函数的概念 问题引导 　将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作是关于y的函数？ 知识点总结 1.对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 2.特殊的对数函数 常用对数函数 以10为底的对数函数y＝lg x 自然对数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln x 在对数函数的定义表达式y＝logax(a＞0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x就是真数，否则就不是对数函数. 典例探究 例1(1)(2024·河北唐山高一月考)下列函数是对数函数的是(　　) A.y＝loga(2x) B.y＝lg 10x C.y＝loga(x2＋x) D.y＝ln x (2)若函数y＝logax＋a2－3a＋2为对数函数，则a＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. 变式训练 1.(1)下列函数是对数函数的是　　　　(填序号). ①y＝loga(5＋x)(a＞0，且a≠1)；②y＝log(－1)x；③y＝log3(－x)；④y＝logx(x＞0且x≠1). (2)已知对数函数f(x)的图象过点P(8，3)，则f()＝　　　　. 知识点二　求对数函数的定义域 典例探究 例2　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝log2(16－4x)； (3)y＝log(x－1)(3－x)； (4)y＝lg. 求对数函数定义域的注意点 (1)真数大于0. (2)对数出现在分母上时，真数不能为1. (3)底数上含有自变量时，大于0且不等于1. 变式训练 2.(1)(2023·山东德州高一期末)函数y＝log2(2x－4)的定义域是(　　) A.[2，＋∞) B.(2，＋∞) C.(－∞，2] D.(－∞，2) (2)函数y＝logx＋1(8－2x)的定义域是(　　) A.(－1，3) B.(0，30) C.(－3，1) D.(－1，0)∪(0，3) 思维提升 　对数函数模型的应用 例3　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的解析式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算. 变式训练 3.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB，则有f(x)＝10lg.生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为200 dB，而人类说话时，声音约为60 dB，则抹香鲸的声音强度与人类说话时的声音强度之比为(　　) A.10－14 B. C.1014 D.108 课堂小结 1.知识网络 2.特别提醒 (1)求对数函数的解析式应用了待定系数法. (2)已知对数函数求其定义域时不要忽视底数大于0且不等于1. 课堂练习 1.下列函数是对数函数的是(　　) A.y＝log2x B.y＝ln(x＋1) C.y＝logxe D.y＝logxx 2.函数f(x)＝log(2x－3)的定义域是(　　) A.(，＋∞) B.[，＋∞) C.(－∞，－) D.(－∞，－] 3.某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 4.若函数f(x)＝(a2－5a＋5)log(a－2)x是对数函数，则a＝　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$