第02讲 8.2 一元线性回归模型及其应用（回归模型、最小二乘法估计 知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第02讲 8.2 一元线性回归模型及其应用（8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘法估计） 课程标准 学习目标 ①了解一元线性回归模型的含义，理解两 个变量之间随机关系的一元线性回归模型的作用与意义。 ②了解残差在线性回归与非线性回归问 题的作用及意义。 ③了解一元线性回归模型参数与最小二 乘估计的推导过程，理解最小二乘估计的原理。 ④会结合题意求一元线性回归方程。 ⑤会用相关指数进行分析模型拟合的效 果情况.。 通过本节课的学习，要求会求一元线性回归方程，会进行残差分析，能判断回归模型的拟合效果，能利用样本数据建立统计模型并能进行预测 知识点1：一元线性回归模型 （1）一元线性回归模型 我们称 为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差. （2）随机误差 在线性回归模型中，和为模型的未知参数，是与之间的误差,通常为随机变量，称为随机误差.它的均值，方程. 线性回归模型的完整表达式为 , 在此模型中，随机误差的方差越小，用预报真实值的精度越高. 知识点2：一元线性回归模型参数的最小二乘法 （1）经验回归方程的求解法：最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 【即学即练1】（2024高三·全国·专题练习）从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表，根据上表可得回归直线方程为，则（    ） 165 160 175 155 170 58 52 62 43 60 A． B．96.8 C． D．104.4 （2）求经验回归方程的步骤 ①作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程； ②列表求出,的值； ③利用公式先计算,再根据经验回归直线过样本点的中心计算； ④写出经验回归方程. 求经验回归方程，关键在于正确求出系数,,由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有意义. （3）经验回归方程的性质 ①经验回归直线一定过点,点通常称为样本点的中心； ②一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是；函数递减的充要条件是.这说明：与正相关的充要条件是；与负相关的充要条件是. ③在经验回归方程中，是经验回归直线的斜率，是截距.一般地，当回归系数时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，平均增大个单位；当时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，平均减小个单位. 知识点3：残差 （1）残差 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. （2）残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. （3）残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差化残差图在残差图中分析残差特性. 【即学即练2】（23-24高三上·天津·期末）中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间和茶水温度的一组数据，经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是．则拟合效果最好的模型是（    ） A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④ 知识点4：决定系数 （1）残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. （2）决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. 【即学即练3】（23-24高二下·山西·阶段练习）在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下表，则其中拟合效果最好的模型是（   ） 模型 1 2 3 4 0.67 0.85 0.49 0.23 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 （3）决定系数与相关系数的联系与区别 ①相关系数反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数反映回归模型的拟合效果. ②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为. ③当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好. 题型01 由散点图判断是否线性相关 【典例1】（23-24高二下·江苏·课后作业）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（　　） A．   B．   C．   D．   【典例2】23-24高二下·江苏宿迁·期末）下列图中，能反映出相应两个变量之间具有线性相关关系的是（    ） A．  B．   C．  D．   【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期末）下列四个图各反映两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．①②④ 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）某农产品公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某新品种棉花进行施肥量X（单位：kg）对产量Y（单位：kg）影响的试验，得到如下表所示的数据． 15 20 25 30 35 40 45 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出散点图； (2)判断施肥量X与产量Y是否有近似的线性关系． 题型02 求回归直线方程 【典例1】（24-25高三上·上海·开学考试）下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为 .（回归系数精确到0.01） 广告费用（万元） 30 26 21 17 11 18 13 16 17 23 25 29 销售额（万元） 843 725 621 587 485 608 523 554 600 703 728 792 【典例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）小李和小张关注到习近平总书记今年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业．他们投入5万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 销售额y（万元） 1.4 1.6 2.2 2.4 3 3.9 5.1 (1)求样本的相关系数（精确到0.01）； (2)用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）． 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 【典例3】（2024·陕西西安·二模）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量y（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量． 参考公式，，． 参考数值：，． 【变式1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）2024年2月初某地骤降大雪，给开车回家过年的人们带来很大麻烦，地面积雪会影响汽车的行驶安全，车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与轮胎凹槽深度成负相关，且相关性较强的数据如下： 行驶里程x/万km 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15 轮胎凹槽深度y/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82 2.57 6.20 115.10 29.46 25.09 附：经验回归方程中：，. (1)求轮胎凹槽深度y与行驶里程x的经验回归方程（、计算结果精确到0.01）； (2)若轮胎凹槽的深度小于2.5mm时，需要换轮胎，则预测汽车行驶多少里程就需要换轮胎（计算结果精确到0.01）？ 【变式2】（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温差和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数. 【变式3】（23-24高二下·河北·阶段练习）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2019年至2023年的年销售额如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 年销售额/万元 30 35 45 60 80 (1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2024年该店的年销售额. (2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表： 返现金额 50 100 概率 已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望. 附：经验回归方程中，. 题型03 求样本中心(根据样本中心求参数） 【典例1】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知，之间的一组数据：若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 . x y 【典例2】（23-24高二下·贵州安顺·期末）经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表： 15 16 18 19 22 102 98 115 120 若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数 . 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知、的对应值表为： 0 1 3 4 5 6 且、线性相关，由于表格污损，的对应值看不到了，若，且线性回归直线方程为，则时，的预报值为 . 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）已知关于x的一组数据： x 1 m 3 4 5 y 0.5 0.6 n 1.3 1.4 根据表中数据得到的线性回归直线方程为，则的值 ． 【变式2】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）王伯伯家的果园最近4年的支出（单位：万元）和收入（单位：万元）之间的数据如下： 2020年 2021年 2022年 2023年 1.8 2.1 2.3 3.0 2.0 2.8 3.2 4.0 若果园最近4年的收入与支出满足线性相关关系，则的值为 ，若计划2024年该果园的收入达到6万元，预计2024年的支出为 万元. 【变式3】（24-25高二下·全国·单元测试）已知变量x与y的对应数据如表所示．根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为．现有一对测量数据，则该数据的随机误差为 ． x 3 4 5 6 y 2 3 4 4.8 题型04 根据回归直线方程估计数据 【典例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用/万元 4 2 3 5 销售额/万元 49 26 39 54 根据上表可得线性回归方程 中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（    ） A．9.1万元 B．9.2万元 C．67.7万元 D．65.5万元 【典例2】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位:小时）与工资（单位:元）之间的关系如表: 2 4 5 6 8 30 40 50 60 70 若与的线性回归方程为，预测当工作时间为10小时时，工资大约为 （   ） A．82.5元 B．83.5元 C．84.5元 D．88.5元 【典例3】（24-25高三上·江苏常州·期中）某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表： 2 3 4 5 6 4 7 12 13 14 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)请估计时，对应的y值. 附：在经验回归方程中，，其中为样本平均值. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）某科学兴趣小组的同学认为生物都由蛋白质构成，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某病毒的成活率与温度的关系，病毒数量个与温度的部分数据如下表，由表中数据算得经验回归方程中的，预测当温度为时，病毒数量为（    ） 温度 4 8 10 18 病毒数量个 30 22 18 14 A．10 B．9 C．8 D．7 【变式2】（23-24高二下·广东·期末）近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人数（十万人）的数据如下表： 1 2 3 4 5 12 15 19 24 30 由此得到关于的回归直线方程为，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（　　）十万人 A．36.5 B．37 C．35.2 D．35.6 【变式3】（23-24高二下·河北保定·期末）为了研究某产品的年研发费用 (单位: 万元) 对年利润 (单位: 万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 . 已知 . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元， 则预测年利润为（      ） A．55 万元 B．57 万元 C．60 万元 D．62 万元 题型05 残差计算 【典例1】（24-25高三上·湖北·期中）已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·河北衡水）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系： 已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额（万元） 19 19.3 19.6 20 21.2 22.4 23.8 24.6 25 25.4 由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.02，销售额的方差约为2.59. (1)根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差； (2)计算相关系数，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）； 参考公式：相关系数.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.相关数据. 【变式1】（23-24高二下·广西玉林·期末）已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2.9 【变式2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则 ． 【变式3】（23-24高二下·山东济南）为调查某企业年利润（单位：万元）和它的年研究费用（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据，如下表所示： 1 2 3 4 5 50 60 70 80 100 由上表中数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差（残差观测值预测值）为 ． 题型06 相关系数的计算 【典例1】（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）某学校对高三（1）班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，，其中（，且）分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中，； ②样本相关系数；③； ④若，则. 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）假设关于某种设备的使用年限（单位：年）与所支出的维修费用（单位：万元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知，，，. (1)求、； (2)对、进行线性相关性检验.（保留2位小数） 【典例3】（2024·江西吉安·模拟预测）2023年10月国家发改委､工信部等部门联合印发了《加快“以竹代塑”发展三年行动计划》，该计划将推动“以竹代塑”高质量发展，助力减少塑料污染，并将带动竹产业新一轮的增长.下表为2019年—2023年中国竹产业产值规模（单位：千亿元），其中2019年—2023年的年份代码依次为. 1 2 3 4 5 2.89 3.22 3.82 4.34 5.41 (1)记第年与年中国竹产业产值规模差值的2倍的整数部分分别为，从中任取2个数相乘，记乘积为，求的分布列与期望； (2)根据以上数据及相关系数，判断能否用线性回归模型拟合中国竹产业产值规模与年份之间的关系. 参考数据：，，， 相关系数若，则认为与有较强的相关性. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知变量和变量的4对随机观测数据为，，计算成对样本数据的样本相关系数，并推断它们的相关程度（保留3位小数）． 附：． 【变式2】（23-24高二下·吉林长春·期末）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量，得到数组．已知，． (1)求样本的样本相关系数； (2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．用含k的式子表示，并求的值． 附：样本相关系数；当k足够大时，． 【变式3】（2024·四川绵阳·模拟预测）当大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定限度时会影响人的身体健康．为了了解汽车的流量与空气中的浓度之间的关系，某科研小组在某城市的一个交通点建立监测站，连续记录了十天的汽车流量（单位：千辆）和相应每天该地空气中的平均浓度（单位：），得到如下数据表： 汽车流量 1.36 1.63 1.26 1.86 0.95 1.18 1.50 1.05 1.46 1.75 浓度 96 110 72 135 35 43 115 34 110 120 (1)求与的相关系数，并判断与之间的相关程度（精确到0.01）； (2)求关于的经验回归方程，并预测当汽车流量为2千辆时，该地空气中的平均浓度． 参考公式：，． 参考数据：． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·四川德阳·一模）生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（   ） 温度（） 病毒数量（万个） A． B． C． D．m的值暂时无法确定 2．（2024·浙江台州·一模）已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则（   ） A．6.6 B．5 C．1 D．14 3．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）已知变量和的统计数据如下表： 6 8 10 12 2 3 5 6 根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（    ） A．7.8 B．6.5 C．9.6 D．8.2 4．（23-24高二下·天津北辰·期中）如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津河东·期中）第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（   ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知，变量与负相关 B．当时，残差为0.2 C．可以预测当时销量约为2.1万只 D．线性回归方程中 6．（24-25高三上·云南普洱·阶段练习）近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程．相关科研团队利用数学建模的方法构建理离子电池充放电循环次数单位：百次与锂离子电池性能指数的回归模型，通过实验得到部分数据如下表： 充放电循环次数x 3 4 5 6 电池性能指数y 91 88 82 79 由上表中的数据求得回归方程为，则计算可得（    ）（参考公式及数据：，） A． B． C． D． 7．（2024·四川绵阳·一模）某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（   ） A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元 8．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，下列统计量中不能刻画数据与直线的“整体接近程度”的是（    ） A．B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（    ） 参考公式：， A．当时， B．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C．，时，成对样本数据的相关系数满足 D．，时，成对样本数据的线性回归方程满足 10．（23-24高一下·湖南）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（   ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间呈现负相关关系 B． C．可以预测，当时，y约为2.6 D．由表格数据知，该回归直线必过点 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）某科研团队研究发现向日葵花盘中所含的二萜化合物对灰葡萄孢菌具有良好的抗菌活性，能通过破坏细胞膜完整性等方式来抑制病原菌生长，增加果蔬的保鲜时长．通过实验得到不同浓度的二萜化合物对灰葡萄孢菌的抑制率如下表： 二萜化合物浓度 20 40 60 80 100 抑制率 10 15 18 21 25 若呈线性相关，且满足经验回归方程为，则当时，抑制率的值为 ． 12．（24-25高二下·全国·课后作业）某蔬菜的保鲜时间（小时）与存放温度样本数据如下表所示： 存放温度 21 15 10 6 3 保鲜时间小时 6 14 26 33 41 建立关于的一元线性回归模型，预测存放温度为时，这种蔬菜的保鲜时间约为 小时（，及结果保留到整数）；该模型的决定系数 （保留2位小数）.附：. 四、解答题 13．（24-25高三上·广东·阶段练习）仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据： 样本编号 1 2 3 4 根茎长度 10 12 14 16 植株高度 62 86 112 132 参考数据：． (1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）； (2)求关于的线性回归方程. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 15．（24-25高二下·全国·课后作业）铁观音性寒、味甘、酸、归肺、脾经，具有清热降火、健脾消脂、提神醒脑、生津利尿的功效，是中国十大名茶之一．为促使各生产厂家健康科学发展，某调研机构随机抽取家铁观音生产厂家，整理得到生产铁观音的单位成本（元/盒）与铁观音的产量（千盒）之间的关系数据如下： 铁观音的产量千盒 生产铁观音的单位成本（元/盒） (1)根据所给数据，求生产铁观音的单位成本关于铁观音产量的一元线性回归方程，并估计单位成本为元/盒时产量为多少（计算过程保留两位小数）； (2)根据（1）中的回归模型，计算各组残差，并计算残差的平方和． B能力提升 16．（2025高三·全国·专题练习）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表. 月份 1 2 3 4 5 销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：. (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）； (2)已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 17．（24-25高三上·重庆·期中）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为2019年-2023年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2019年-2023年对应的代码依次为1-5． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 参考数据：，其中． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． (1)由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计2027年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到0.01）； (2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为，现从我国在线直播购物用户中随机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 8.2 一元线性回归模型及其应用（8.2.1一元线性回归模型+8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘法估计） 课程标准 学习目标 ①了解一元线性回归模型的含义，理解两 个变量之间随机关系的一元线性回归模型的作用与意义。 ②了解残差在线性回归与非线性回归问 题的作用及意义。 ③了解一元线性回归模型参数与最小二 乘估计的推导过程，理解最小二乘估计的原理。 ④会结合题意求一元线性回归方程。 ⑤会用相关指数进行分析模型拟合的效 果情况.。 通过本节课的学习，要求会求一元线性回归方程，会进行残差分析，能判断回归模型的拟合效果，能利用样本数据建立统计模型并能进行预测 知识点1：一元线性回归模型 （1）一元线性回归模型 我们称 为关于的一元线性回归模型，其中称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差. （2）随机误差 在线性回归模型中，和为模型的未知参数，是与之间的误差,通常为随机变量，称为随机误差.它的均值，方程. 线性回归模型的完整表达式为 , 在此模型中，随机误差的方差越小，用预报真实值的精度越高. 知识点2：一元线性回归模型参数的最小二乘法 （1）经验回归方程的求解法：最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征； 我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计,其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距. 其中 【即学即练1】（2024高三·全国·专题练习）从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表，根据上表可得回归直线方程为，则（    ） 165 160 175 155 170 58 52 62 43 60 A． B．96.8 C． D．104.4 【答案】A 【知识点】根据样本中心点求参数 【分析】利用样本中心点列方程来求得. 【详解】由表中数据可得， 因为一定在回归直线方程上， 所以，解得. 故选：A （2）求经验回归方程的步骤 ①作出散点图，判断两变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，则可求其经验回归方程； ②列表求出,的值； ③利用公式先计算,再根据经验回归直线过样本点的中心计算； ④写出经验回归方程. 求经验回归方程，关键在于正确求出系数,,由于计算量较大，所以计算时要仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生错误要特别注意，只有两个变量呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有意义. （3）经验回归方程的性质 ①经验回归直线一定过点,点通常称为样本点的中心； ②一次函数的单调性由的符号决定，函数递增的充要条件是；函数递减的充要条件是.这说明：与正相关的充要条件是；与负相关的充要条件是. ③在经验回归方程中，是经验回归直线的斜率，是截距.一般地，当回归系数时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，平均增大个单位；当时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，平均减小个单位. 知识点3：残差 （1）残差 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差. （2）残差图 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. （3）残差分析 残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.其步骤为：计算残差化残差图在残差图中分析残差特性. 【即学即练2】（23-24高三上·天津·期末）中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间和茶水温度的一组数据，经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是．则拟合效果最好的模型是（    ） A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④ 【答案】B 【知识点】残差的计算 【分析】根据残差平方和与模型拟合效果的关系可得出结论. 【详解】对于回归模型，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好，故拟合效果最好的模型是模型②. 故选：B. 知识点4：决定系数 （1）残差平方和 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. （2）决定系数 决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力. ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. 【即学即练3】（23-24高二下·山西·阶段练习）在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下表，则其中拟合效果最好的模型是（   ） 模型 1 2 3 4 0.67 0.85 0.49 0.23 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 【答案】B 【知识点】相关指数的计算及分析 【分析】利用决定系数的大小与拟合效果的关系判断即得. 【详解】在线性回归分析中，越大拟合效果越好，越小拟合效果越差， 而，所以模型2的拟合效果最好． 故选：B （3）决定系数与相关系数的联系与区别 ①相关系数反映两个变量的相关关系的强弱及正相关或负相关，决定系数反映回归模型的拟合效果. ②在含有一个解释变量的线性模型中，决定系数的数值是相关系数的平方，其变化范围为，而相关系数的变化范围为. ③当相关系数接近于1时，说明两变量的相关性较强，当接近于0时，说明两变量的相关性较弱；而当接近于1时，说明经验回归方程的拟合效果较好. 题型01 由散点图判断是否线性相关 【典例1】（23-24高二下·江苏·课后作业）在下列所示的四个图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】根据散点图判断是否线性相关 【分析】根据变量间的散点图，结合散点图的分布情况，逐项判定即可求解. 【详解】A中，两个变量与之间具有函数关系，不是相关关系，不符合题意； B中，两个变量与构成的点在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间是线性相关关系，符合题意； C中，两个变量与构成的点不在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意； D中，两个变量与构成的点不在一条直线附近带状分布，所以两个变量之间不是线性相关关系，不符合题意. 故选：B 【典例2】23-24高二下·江苏宿迁·期末）下列图中，能反映出相应两个变量之间具有线性相关关系的是（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】B 【知识点】根据散点图判断是否线性相关 【分析】对于A ，两个变量是确定的函数关系，不正确；对于B，散点呈带状分布，正确；对于CD，散点不呈带状分布，不正确. 【详解】对于A ，由图象可知，两个变量是确定的函数关系，不是相关关系，故A 不正确； 对于B，由散点图可知，散点呈带状分布，所以两个变量具有线性相关关系，故B正确； 对于CD，由散点图可知，散点不呈带状分布，所以两个变量不具有线性相关关系，故CD不正确； 故选：B 【变式1】（23-24高二下·陕西西安·期末）下列四个图各反映两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【知识点】根据散点图判断是否线性相关 【分析】观察四个图象，逐一分析两个变量间的关系，可得答案． 【详解】对于①，散点落在某条直线附近，这两个变量具有线性相关关系； 对于②，散点落在某条曲线附近，这两个变量具有非线性相关关系； 对于③，散点落在某条直线上，这两个变量具有函数关系； 对于④，散点落在某条直线附近，这两个变量具有线性相关关系； 故选：B 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）某农产品公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某新品种棉花进行施肥量X（单位：kg）对产量Y（单位：kg）影响的试验，得到如下表所示的数据． 15 20 25 30 35 40 45 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出散点图； (2)判断施肥量X与产量Y是否有近似的线性关系． 【答案】(1)作图见解析. (2)施肥量X与产量Y有近似的线性关系. 【知识点】绘制散点图、根据散点图判断是否线性相关 【分析】（1）根据表格中的数据画出散点图即可. （2）根据散点图判断即可. 【详解】（1）散点图如图所示： （2）由散点图，知各组数据对应的点大致在一条直线附近，所以施肥量X与产量Y有近似的线性关系． 题型02 求回归直线方程 【典例1】（24-25高三上·上海·开学考试）下表中是某公司一年中每月的广告投入费用与销售额的情况，设广告投入费用为x（单位：万元），销售额为y（单位：万元），则y关于x的回归方程为 .（回归系数精确到0.01） 广告费用（万元） 30 26 21 17 11 18 13 16 17 23 25 29 销售额（万元） 843 725 621 587 485 608 523 554 600 703 728 792 【答案】 【知识点】求回归直线方程 【分析】分别求出，再带入线性回归方程求解即可. 【详解】， ， ， ， 所以 所以 所以, 故答案为：. 【典例2】（24-25高三上·重庆·阶段练习）小李和小张关注到习近平总书记今年4月在重庆考察时强调：“奋力打造新时代西部大开发重要战略支点、内陆开放综合枢纽”，于是决定大学毕业后回家乡重庆创业．他们投入5万元（包括购买设备、房租、生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 销售额y（万元） 1.4 1.6 2.2 2.4 3 3.9 5.1 (1)求样本的相关系数（精确到0.01）； (2)用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0.01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0.01）． 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，； ③，，． 【答案】(1)0.96 (2)，万元 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）由题意，求出，，代入公式计算即可得到求样本的相关系数； （2）由题意，求出所以，，进而求得，得到回归方程，再代入计算即可. 【详解】（1）由题意，得， ， 所以， 所以样本的相关系数约为0.96． （2）因为，， 所以， 又，， 所以， 所以回归方程为， 当时，， 所以预测第8天的销售额为万元． 【典例3】（2024·陕西西安·二模）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买数量y（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量． 参考公式，，． 参考数值：，． 【答案】(1) (2)万辆 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）利用所提供数据求，代入参考公式求即可； （2）结合公式求，由此可得回归方程，再利用回归方程进行预测. 【详解】（1）， ， 所以； （2）由（1）知，， ， 所以关于的线性回归方程是， 当时，（万辆）， 该地区年新能源汽车购买数量约为万辆. 【变式1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）2024年2月初某地骤降大雪，给开车回家过年的人们带来很大麻烦，地面积雪会影响汽车的行驶安全，车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与轮胎凹槽深度成负相关，且相关性较强的数据如下： 行驶里程x/万km 0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15 轮胎凹槽深度y/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82 2.57 6.20 115.10 29.46 25.09 附：经验回归方程中：，. (1)求轮胎凹槽深度y与行驶里程x的经验回归方程（、计算结果精确到0.01）； (2)若轮胎凹槽的深度小于2.5mm时，需要换轮胎，则预测汽车行驶多少里程就需要换轮胎（计算结果精确到0.01）？ 【答案】(1) (2)5.84万km 【知识点】求回归直线方程、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）结合题目的数据，利用最小二乘法公式求解即可. （2）由题意列不等式直接求解即可. 【详解】（1）由题意得，， ， 所以经验回归方程为. （2）由题意，，解得， 所以当汽车行驶5.84万km时，需要更换轮胎. 【变式2】（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表： 温度 21 23 24 27 29 32 产卵数个 6 11 20 27 57 77 经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温差和产卵数，. (1)若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）； (2)若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522. （i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好. （ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）. 附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；相关指数. 【答案】(1) (2)（i）非线性回归模型拟合效果更好；（ii）； 【知识点】求回归直线方程、非线性回归、相关指数的计算及分析 【分析】（1）求出、后代入公式直接计算得、，即可得解； （2）（i）求出线性回归模型的相关指数，与比较即可得解； （ii）直接把代入，计算即可得解. 【详解】（1）由题意，则，， ，， y关于x的线性回归方程为. （2）（i）对于线性回归模型，，， 相关指数为， 因为，所以用非线性回归模型拟合效果更好. （ii）当，时（个） 所以温度为时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 【变式3】（23-24高二下·河北·阶段练习）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2019年至2023年的年销售额如下表： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 年销售额/万元 30 35 45 60 80 (1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2024年该店的年销售额. (2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满500元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表： 返现金额 50 100 概率 已知一位消费者一次性消费满500元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望. 附：经验回归方程中，. 【答案】(1)，87.5万元. (2)分布列见解析， 【知识点】求回归直线方程、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）分别求出，再根据经验回归方程计算，并代入，即可求解； （2）分别求出概率，并列出分布列，即可求解. 【详解】解：（1）因为， ， 所以， 所以与的经验回归方程为. 当时，，所以预测2024年该店的年销售额为87.5万元. （2）可以取. ， 所以的分布列为 50 100 150 200 所以. 题型03 求样本中心(根据样本中心求参数） 【典例1】（24-25高三上·广东江门·阶段练习）已知，之间的一组数据：若与满足经验回归方程，则此曲线必过点 . x y 【答案】 【知识点】非线性回归、计算样本的中心点 【分析】设，则，根据回归方程性质可得回归直线所过定点. 【详解】由已知， 设，则， 由回归直线性质可得在直线上， 又，， 所以点在直线上，故点在曲线上. 故答案为：. 【典例2】（23-24高二下·贵州安顺·期末）经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表： 15 16 18 19 22 102 98 115 120 若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数 . 【答案】115 【知识点】根据样本中心点求参数、计算样本的中心点 【分析】根据已知条件，利用回归直线必过样本的中心点，列式求解. 【详解】依题意，，， 而线性回归方程为，则， 所以. 故答案为：115 【典例3】（24-25高三·上海·课堂例题）已知、的对应值表为： 0 1 3 4 5 6 且、线性相关，由于表格污损，的对应值看不到了，若，且线性回归直线方程为，则时，的预报值为 . 【答案】6.1 【知识点】计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】求出，由线性回归方程必经过点即得，代入求解即可. 【详解】由表格知，由，得， 代入得，解得，则回归方程为， 当时，. 故答案为：6.1 【变式1】（2024·四川成都·模拟预测）已知关于x的一组数据： x 1 m 3 4 5 y 0.5 0.6 n 1.3 1.4 根据表中数据得到的线性回归直线方程为，则的值 ． 【答案】0.64 【知识点】根据样本中心点求参数、计算样本的中心点 【分析】先计算出，代入回归直线方程，得到. 【详解】，， 又题意得在上， 故，故. 故答案为：0.64 【变式2】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）王伯伯家的果园最近4年的支出（单位：万元）和收入（单位：万元）之间的数据如下： 2020年 2021年 2022年 2023年 1.8 2.1 2.3 3.0 2.0 2.8 3.2 4.0 若果园最近4年的收入与支出满足线性相关关系，则的值为 ，若计划2024年该果园的收入达到6万元，预计2024年的支出为 万元. 【答案】 4.175 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计、计算样本的中心点、用回归直线方程对总体进行估计 【分析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程求解；然后在线性回归方程中取求得值即可．． 【详解】由图表可知，，， 则样本点的中心为， 代入，得． 收入与支出满足线性回归方程为． 取，可得，则． 预计2024年的支出为4.175万元． 故答案为：；4.175． 【变式3】（24-25高二下·全国·单元测试）已知变量x与y的对应数据如表所示．根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为．现有一对测量数据，则该数据的随机误差为 ． x 3 4 5 6 y 2 3 4 4.8 【答案】/ 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计、计算样本的中心点 【分析】由表格先计算样本中心，从而求出回归方程，利用误差的定义计算即可. 【详解】因为， 即样本点的中心为，所以，所以， 可得，令，可得， 所以数据的随机误差为． 故答案为： 题型04 根据回归直线方程估计数据 【典例1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表： 广告费用/万元 4 2 3 5 销售额/万元 49 26 39 54 根据上表可得线性回归方程 中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（    ） A．9.1万元 B．9.2万元 C．67.7万元 D．65.5万元 【答案】D 【知识点】根据回归方程进行数据估计 【分析】线性回归方程一定过样本中心，得到线性回归方程，然后带值求结果. 【详解】，， ∵线性归回方程经过样本中心， ∴，∴， ∴，当时，， 故选：D. 【典例2】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某种兼职工作虽然以计件的方式计算工资，但是对于同一个人的工资与其工作时间还是存在一定的相关关系，已知小孙的工作时间（单位:小时）与工资（单位:元）之间的关系如表: 2 4 5 6 8 30 40 50 60 70 若与的线性回归方程为，预测当工作时间为10小时时，工资大约为 （   ） A．82.5元 B．83.5元 C．84.5元 D．88.5元 【答案】A 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】由样本中心点可求得，将代入回归直线即可求得结果. 【详解】由表格数据知：，， ， 线性回归方程为， 当时， 即当工作时间为小时时，工资大约为元. 故选：A. 【典例3】（24-25高三上·江苏常州·期中）某研究性学习小组为研究两个变量x和y之间的关系，测量了对应的五组数据如下表： 2 3 4 5 6 4 7 12 13 14 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)请估计时，对应的y值. 附：在经验回归方程中，，其中为样本平均值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据回归方程进行数据估计、求回归直线方程 【分析】（1）根据回归方程的求法求得正确答案. （2）利用回归方程求得预测值. 【详解】（1）， ， ，所以回归方程为. （2）时，. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）某科学兴趣小组的同学认为生物都由蛋白质构成，高温可以使蛋白质变性失活，于是想初步探究某病毒的成活率与温度的关系，病毒数量个与温度的部分数据如下表，由表中数据算得经验回归方程中的，预测当温度为时，病毒数量为（    ） 温度 4 8 10 18 病毒数量个 30 22 18 14 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】求出样本点中心，代入回归方程得到，得回归方程，即可进行求解. 【详解】由表格数据可得，，， 因为点在直线上，，所以， 所以，故当时，， 即预测当温度为22℃时，病毒数量为9个，故B正确. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·广东·期末）近年来，潮州以其品种繁多的美味小吃、独特的文化魅力和民俗风情吸引八方游客.据统计，潮州古城区2019年至2023年（用表示年份）接待的游客人数（十万人）的数据如下表： 1 2 3 4 5 12 15 19 24 30 由此得到关于的回归直线方程为，则可以预测潮州古城区2024年接待的游客人数约为（　　）十万人 A．36.5 B．37 C．35.2 D．35.6 【答案】D 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】先求出，然后代入回归方程可求出，再将代入回归方程可求得答案. 【详解】由题意得，，代入，得，解得， 所以关于的回归直线方程为， 当时，． 故选：D 【变式3】（23-24高二下·河北保定·期末）为了研究某产品的年研发费用 (单位: 万元) 对年利润 (单位: 万元) 的关系，该公司统计了最近 8 年每年投入该产品的年研发费用与年利润的数据，根据统计数据的散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 . 已知 . 若该公司对该产品预投入的年研发费用为 25 万元， 则预测年利润为（      ） A．55 万元 B．57 万元 C．60 万元 D．62 万元 【答案】A 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】根据所给数据求出，然后由求得可得回归方程,再令求出答案. 【详解】， . 关于的经验回归方程为. 故当时，. 故选:A. 题型05 残差计算 【典例1】（24-25高三上·湖北·期中）已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求回归直线方程、残差的计算、根据样本中心点求参数 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵，∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 【典例2】（23-24高二下·河北衡水）某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系： 已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】残差的计算 【分析】将代入回归直线方程，利用残差的定义可得结果. 【详解】当时，，此时，残差为. 故选：C. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）今年五一节期间，聊城百货大楼有限公司搞促销活动，下表是该公司5月1号至10号（日期简记为1，2，3，……，10）连续10天的销售情况： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售额（万元） 19 19.3 19.6 20 21.2 22.4 23.8 24.6 25 25.4 由上述数据，用最小二乘法得到销售额和日期的线性回归方程为，日期的方差约为3.02，销售额的方差约为2.59. (1)根据线性回归方程，分析销售额随日期变化趋势的特征，并计算第4天的残差； (2)计算相关系数，并分析销售额和日期的相关程度（精确到0.001）； 参考公式：相关系数.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.相关数据. 【答案】(1)日期每增加一天，销售额约增加万元，第4天的残差为 (2)，销售额和日期的相关程度较强 【知识点】残差的计算、相关系数的计算 【分析】（1）根据线性回归方程特点分析，再将代入回归方程计算，利用残差定义求解即可； （2）由相关系数的公式结合题中的数据计算，然后根据相关系数与1比较即可判断； 【详解】（1）根据线性回归方程，日期每增加一天，销售额约增加万元， 把代入回归直线方程，得， 因为，所以第4天的残差为； （2）由，得 ， 比较接近于1，故销售额和日期的相关程度较强. 【变式1】（23-24高二下·广西玉林·期末）已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（    ） A． B．3 C． D．2.9 【答案】B 【知识点】残差的计算 【分析】根据线性回归方程估计，再根据残差定义列方程可得答案. 【详解】由线性回归方程，取，得， 又相应于点的残差为，， 解得. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则 ． 【答案】 【知识点】残差的计算 【分析】根据残差计算公式计算即可. 【详解】根据题意得，解得. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·山东济南）为调查某企业年利润（单位：万元）和它的年研究费用（单位：万元）的相关性，收集了5组成对数据，如下表所示： 1 2 3 4 5 50 60 70 80 100 由上表中数据求得关于的经验回归方程为，据此计算出样本点处的残差（残差观测值预测值）为 ． 【答案】 【知识点】根据样本中心点求参数、残差的计算 【分析】先计算样本中心点，进而得回归方程为，再计算残差即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以关于的经验回归方程为 所以当时， 所以样本点处的残差为 故答案为： 题型06 相关系数的计算 【典例1】（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）某学校对高三（1）班50名学生的第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，，其中（，且）分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值，试估计该校共1600名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中，； ②样本相关系数；③； ④若，则. 【答案】(1) (2) 【知识点】相关系数的计算、正态分布的实际应用 【分析】（1）根据相关系数的求法求得正确答案. （2）先求得，然后根据正态分布的对称性求得正确答案. 【详解】（1）由关于的线性回归方程为知， 即， 又由，可得， 所以与的样本相关系数： . （2）由，解得，所以， 又由， 及可得： ， 于是估计该校1600名高三学生中， 数学成绩位于区间的人数约为人. 【典例2】（24-25高三·上海·课堂例题）假设关于某种设备的使用年限（单位：年）与所支出的维修费用（单位：万元）有如下统计资料： 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知，，，. (1)求、； (2)对、进行线性相关性检验.（保留2位小数） 【答案】(1)4，5； (2)，与之间具有线性相关关系. 【知识点】计算几个数的平均数、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算 【分析】（1）根据表格数据直接求解即可. （2）根据题意，结合参考数据和相关系数的计算公式，求出，即可判断与之间是否具有线性相关关系. 【详解】（1）依题意，，. （2）又， ，， 所以. 所以有把握认为与之间具有很强的正线性相关关系. 【典例3】（2024·江西吉安·模拟预测）2023年10月国家发改委､工信部等部门联合印发了《加快“以竹代塑”发展三年行动计划》，该计划将推动“以竹代塑”高质量发展，助力减少塑料污染，并将带动竹产业新一轮的增长.下表为2019年—2023年中国竹产业产值规模（单位：千亿元），其中2019年—2023年的年份代码依次为. 1 2 3 4 5 2.89 3.22 3.82 4.34 5.41 (1)记第年与年中国竹产业产值规模差值的2倍的整数部分分别为，从中任取2个数相乘，记乘积为，求的分布列与期望； (2)根据以上数据及相关系数，判断能否用线性回归模型拟合中国竹产业产值规模与年份之间的关系. 参考数据：，，， 相关系数若，则认为与有较强的相关性. 【答案】(1)分布列见解析， (2)可以用线性回归模型拟合与的关系. 【知识点】相关系数的计算、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据已知条件，确定，，，的值，由此确定的取值，求出分布列及期望即可； （2）根据已知条件，利用公式求出相关系数即可. 【详解】（1）第年和第年中国竹产业产值规模差值的2倍为， 整数部分为，所以； 第年和第年中国竹产业产值规模差值的2倍为， 整数部分为，所以； 第年和第年中国竹产业产值规模差值的2倍为， 整数部分为，所以； 第年和第年中国竹产业产值规模差值的2倍为， 整数部分为，所以； 所以，， 所以的取值依次为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. （2）由题意得，， ， ， ，， 所以， . 因为与的相关系数大于0.75，说明与的线性相关程度高， 可以用线性回归模型拟合与的关系. 【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知变量和变量的4对随机观测数据为，，计算成对样本数据的样本相关系数，并推断它们的相关程度（保留3位小数）． 附：． 【答案】0.999，具有很强的相关性． 【知识点】相关系数的意义及辨析、相关系数的计算 【分析】根据给定条件，求出相关数据，再代入公式计算即可得答案. 【详解】依题意，， ， ， ， 因此， 所以这组成对的样本数据相关系数为0.999，具有很强的相关性. 【变式2】（23-24高二下·吉林长春·期末）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到的每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量，得到数组．已知，． (1)求样本的样本相关系数； (2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数），研究人员统计大量数据后发现，对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均为0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．用含k的式子表示，并求的值． 附：样本相关系数；当k足够大时，． 【答案】(1)0.8 (2)，， 【知识点】写出等比数列的通项公式、相关系数的计算、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）利用相关系公式计算即可； （2）由题意可得，进而可得，可得，最后再代入即可. 【详解】（1）由，，. 得样本相关系数. （2）依题意，， 又， 则， 当时，把换成， 则， 两式相减得， 即， 又， 所以对任意都成立， 从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列， 所以，. 【变式3】（2024·四川绵阳·模拟预测）当大气污染物（大气中直径小于或等于的颗粒物）的浓度超过一定限度时会影响人的身体健康．为了了解汽车的流量与空气中的浓度之间的关系，某科研小组在某城市的一个交通点建立监测站，连续记录了十天的汽车流量（单位：千辆）和相应每天该地空气中的平均浓度（单位：），得到如下数据表： 汽车流量 1.36 1.63 1.26 1.86 0.95 1.18 1.50 1.05 1.46 1.75 浓度 96 110 72 135 35 43 115 34 110 120 (1)求与的相关系数，并判断与之间的相关程度（精确到0.01）； (2)求关于的经验回归方程，并预测当汽车流量为2千辆时，该地空气中的平均浓度． 参考公式：，． 参考数据：． 【答案】(1)，与线性相关程度很强 (2)，约为 【知识点】求回归直线方程、相关系数的计算、根据回归方程进行数据估计 【分析】（1）首先求出，，再根据所给公式及数据求出相关系数，即可判断；； （2）求出，，即可得到回归直线方程，再代入求出预测值. 【详解】（1）依题意，， 所以 ， 因为且接近，所以与线性相关程度很强. （2）因为， 所以， 所以关于的经验回归方程为， 当时， 即当汽车流量为2千辆时，该地空气中的平均浓度约为. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·四川德阳·一模）生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（   ） 温度（） 病毒数量（万个） A． B． C． D．m的值暂时无法确定 【答案】B 【知识点】根据样本中心点求参数 【分析】根据回归直线过样本中心点可得解. 【详解】由已知，， 即样本中心为， 又回归方程为， 即， 解得， 故选：B. 2．（2024·浙江台州·一模）已知变量与的成对样本数据具有线性相关关系，由一元线性回归模型根据最小二乘法，计算得经验回归方程为，若，，则（   ） A．6.6 B．5 C．1 D．14 【答案】C 【知识点】根据样本中心点求参数 【分析】根据样本中心在回归直线上求解. 【详解】因为经验回归方程为，且，， 所以， 故选：C 3．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）已知变量和的统计数据如下表： 6 8 10 12 2 3 5 6 根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（    ） A．7.8 B．6.5 C．9.6 D．8.2 【答案】D 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计 【分析】利用回归直线过样本中心点求解，代入即可. 【详解】根据表格中的数据， 当时， 故选：D 4．（23-24高二下·天津北辰·期中）如果记录了x，y的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算样本的中心点 【分析】利用y关于x的经验回归直线必过中心点,计算即得. 【详解】由，，，，可得， ，， 则y关于x的经验回归直线必过点. 故选：A. 5．（24-25高三上·天津河东·期中）第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如下表所示：（   ） 时间 1 2 3 4 5 销售量/万只 5 4.5 4 3.5 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知，变量与负相关 B．当时，残差为0.2 C．可以预测当时销量约为2.1万只 D．线性回归方程中 【答案】B 【知识点】根据样本中心点求参数、根据回归方程进行数据估计、计算样本的中心点、判断正、负相关 【分析】对于选项A，利用表中数据变化情况或看回归方程的正负均可求解；对于选项B，利用样本中心点求出线性回归方程，再利用回归方程即可求出预测值，进而可求出残差；对于选项C，利用回归方程即可求出预测值；对于选项D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【详解】对于选项A，从数据看，随的增大而减小，所以变量与负相关， 故正确，A不符合题意； 对于选项B，由表中数据知，， 所以样本中心点为，将样本中心点代入中得， 所以线性回归方程为， 所以，残差，故错误，B符合题意； 对于选项C，当时销量约为（万只），故正确，C不符合题意； 对于选项D，由B选项可知，故正确，D不符合题意. 故选：B. 6．（24-25高三上·云南普洱·阶段练习）近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程．相关科研团队利用数学建模的方法构建理离子电池充放电循环次数单位：百次与锂离子电池性能指数的回归模型，通过实验得到部分数据如下表： 充放电循环次数x 3 4 5 6 电池性能指数y 91 88 82 79 由上表中的数据求得回归方程为，则计算可得（    ）（参考公式及数据：，） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求回归直线方程 【分析】由是意，结合公式，利用最小二乘法，可得答案. 【详解】由，， 且，， 故 故选：D. 7．（2024·四川绵阳·一模）某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下： 广告支出x/万元 2 5 8 11 15 19 利润y/万元 33 45 50 53 58 64 根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（   ） A．30万元 B．32万元 C．36万元 D．40万元 【答案】D 【知识点】根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】先得求数据的中心点，代入得，再由求得即得. 【详解】，， 因过点，故，得， 故当时，，得， 故选：D 8．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，下列统计量中不能刻画数据与直线的“整体接近程度”的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】相关指数的计算及分析、残差的计算 【分析】根据统计量的几何意义，为避免在代数上出现正负相抵的情况，需要有绝对值或平方，题干中要求选“不能刻画”的，从而选出符合题意的选项. 【详解】统计量和可以刻画数据点与直线的竖直距离， 进而可以刻画数据与直线的“整体接近程度”，AC选项不符合题意． 统计量可以刻画数据点与直线的距离， 也可以刻画数据与直线的“整体接近程度”，B选项不符合题意． 统计量的计算会出现直线两侧的数据点在代数上正负抵消的情况， 因此不能刻画数据与直线的“整体接近程度”，D选项符合题意． 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，线性回归方程为，则（    ） 参考公式：， A．当时， B．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强 C．，时，成对样本数据的相关系数满足 D．，时，成对样本数据的线性回归方程满足 【答案】ACD 【知识点】最小二乘法的概念及辨析、相关系数的意义及辨析、相关系数的计算 【分析】根据相关系数的正负、绝对值大小与变量相关性之间关系可知AB正误；根据，，代入相关系数和最小二乘法公式中，可知CD正误. 【详解】对于A，当时，变量和变量正相关，则，A正确； 对于B，当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强； 当，时，对应的样本数据的线性相关程度更强，B错误； 对于C，当，时，不变且， ，C正确； 对于D，当，时，不变且， ，D正确. 故选：ACD. 10．（23-24高一下·湖南·期中）已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（   ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．变量x，y之间呈现负相关关系 B． C．可以预测，当时，y约为2.6 D．由表格数据知，该回归直线必过点 【答案】ACD 【知识点】计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将代入回归直线知C正确. 【详解】对于A，由，得，故呈负相关关系，故A正确； 对于B，，， ，解得，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，由得，回归直线必过点，即必过点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）某科研团队研究发现向日葵花盘中所含的二萜化合物对灰葡萄孢菌具有良好的抗菌活性，能通过破坏细胞膜完整性等方式来抑制病原菌生长，增加果蔬的保鲜时长．通过实验得到不同浓度的二萜化合物对灰葡萄孢菌的抑制率如下表： 二萜化合物浓度 20 40 60 80 100 抑制率 10 15 18 21 25 若呈线性相关，且满足经验回归方程为，则当时，抑制率的值为 ． 【答案】 【知识点】根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】根据样本中心点坐标在回归方程上，可得，代入计算可得结果. 【详解】由题得，， 所以，解得， 可得， 当时，． 故答案为： 12．（24-25高二下·全国·课后作业）某蔬菜的保鲜时间（小时）与存放温度样本数据如下表所示： 存放温度 21 15 10 6 3 保鲜时间小时 6 14 26 33 41 建立关于的一元线性回归模型，预测存放温度为时，这种蔬菜的保鲜时间约为 小时（，及结果保留到整数）；该模型的决定系数 （保留2位小数）.附：. 【答案】 42 0.99 【知识点】根据回归方程进行数据估计、相关指数的计算及分析、求回归直线方程 【分析】利用最小二乘法求解线性回归方程，进行估算判断第一空，利用给定公式求解第二空即可. 【详解】计算得， 所以， 故线性回归方程为，当时，， 所以可估计其保鲜时间约为42小时； 因为，，所以． 故答案为：42；0.99 四、解答题 13．（24-25高三上·广东·阶段练习）仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据： 样本编号 1 2 3 4 根茎长度 10 12 14 16 植株高度 62 86 112 132 参考数据：． (1)由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）； (2)求关于的线性回归方程. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为． 【答案】(1)，可用 (2) 【知识点】相关系数的计算、求回归直线方程 【分析】（1）利用相关系数公式结合条件即得； （2）根据最小二乘法可得线性回归直线方程. 【详解】（1）易得， ， 故． 则，故可用线性回归模型模拟． （2）， ， 故线性回归方程为． 14．（24-25高二下·全国·课后作业）鲫鱼产卵后，鱼卵的孵化时间（单位：天）会受到水温（单位：℃）的影响，下面是某生物研究小组进行8次观察实验收集到的数据： 水温x/℃ 15 16 18 20 21 23 26 29 孵化时间y/天 8 7 6 5 5 4 3 2 (1)画出上述成对数据的散点图； (2)已知水温对鱼卵的孵化时间可表示为一元线性回归模型，请在散点图中近似地作出表示孵化时间y和水温x之间关系的直线，并说明该一元线性回归模型的自变量与因变量． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，水温x为自变量，孵化时间y为因变量 【知识点】由散点图画求近似回归直线、绘制散点图、相关关系与函数关系的概念及辨析 【分析】（1）根据表格中的数据，以x轴表示水温，y轴表示孵化时间，画出散点图； （2）由一元线性回归模型定义，近似作出直线，并分析回归模型中自变量和因变量． 【详解】（1）以x轴表示水温，y轴表示孵化时间，可作散点图如下： （2）直线如图所示，由（1）中散点图及一元线性回归模型定义可得，其中水温x为自变量，孵化时间y为因变量． 15．（24-25高二下·全国·课后作业）铁观音性寒、味甘、酸、归肺、脾经，具有清热降火、健脾消脂、提神醒脑、生津利尿的功效，是中国十大名茶之一．为促使各生产厂家健康科学发展，某调研机构随机抽取家铁观音生产厂家，整理得到生产铁观音的单位成本（元/盒）与铁观音的产量（千盒）之间的关系数据如下： 铁观音的产量千盒 生产铁观音的单位成本（元/盒） (1)根据所给数据，求生产铁观音的单位成本关于铁观音产量的一元线性回归方程，并估计单位成本为元/盒时产量为多少（计算过程保留两位小数）； (2)根据（1）中的回归模型，计算各组残差，并计算残差的平方和． 【答案】(1)，盒． (2)答案见解析 【知识点】根据回归方程进行数据估计、残差的计算、求回归直线方程 【分析】（1）根据最小二乘法可求得回归直线方程，代入即可求得结果； （2）分别计算每组残差，平方后作和可得. 【详解】（1）由表格数据知：，，，， ， ， 生产铁观音的单位成本关于铁观音的产量的一元线性回归方程为， 令，则，解得：， 当单位成本为元/盒时，预估产量约为盒． （2）各组残差分别为： ， ， ， ， ， ， 残差的平方和． B能力提升 16．（2025高三·全国·专题练习）人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表. 月份 1 2 3 4 5 销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：. (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）； (2)已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 【答案】(1) (2)第9个月的月利润预报值最大. 【知识点】非线性回归、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）将非线性回归方程问题转化线性回归方程问题，根据最小二乘法求解即可. （2）先求得的表达式，然后利用导数来求得最值问题. 【详解】（1）令，则， ， ，， 所以关于的回归方程为. （2）由（1）知， ， 令（）， （）， 令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 令，得， 所以（）在处取得极大值，也是最大值， 所以， 所以第9个月的月利润预报值最大. 17．（24-25高三上·重庆·期中）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为2019年-2023年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中2019年-2023年对应的代码依次为1-5． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 3.98 4.56 5.04 5.86 6.36 参考数据：，其中． 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． (1)由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计2027年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到0.01）； (2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率为，现从我国在线直播购物用户中随机抽取5人，记这5人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差． 【答案】(1)7.77亿人 (2)， 【知识点】根据回归方程进行数据估计、二项分布的方差、二项分布的均值、求回归直线方程 【分析】（1）设，则，由最小二乘法求出参数得到回归直线方程，再将代入回归直线方程可得结果； （2）先由求出，根据二项分布的期望和方差公式计算即可. 【详解】（1）设，则，因为， 所以. 把代入，得. 所以关于的回归方程为， 由题意知2027年对应的代码为9，所以2027年我国在线直播生活购物用户的规模 亿人. （2）由题意知，， ， 由，得， ，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$