专题03 平行线证明题 -【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（重庆专用）

专题03 平行线证明题 题型概览 题型01补全证明过程 题型02基础证明题 题型03动点问题 补全证明过程题型01 1．(22-23七下·重庆沙坪坝区南渝中学校·期中)如图，已知，，垂足分别为，． (1)用尺规完成基本作图：延长至点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：．（在下面的括号中填上推理依据） 证明：∵，，（已知） ∴，（①______） ∴，（②______） ∴，（③______） ∵，（已知） ∴，（④______）． ∴，（⑤______） ∴．（⑥______） 【答案】(1)作图见解析； (2)垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【来源】重庆市沙坪坝区南渝中学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（）延长，以点为圆心，的长度为半径画弧，交的延长线于点，则； （）根据推论过程写上推理依据即可； 本题考查了作一条线段等于已知线段，平行线的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：∵，，（已知） ∴，（①垂直的定义） ∴，（②同位角相等，两直线平行） ∴，（③两直线平行，同旁内角互补） ∵，（已知） ∴，（④等量代换） ∴，（⑤内错角相等，两直线平行） ∴．（⑥两直线平行，同位角相等） 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 2．(22-23七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中)如图，，射线与交于点F，射线与交于点H．若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴____________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴____________（_______________） ∴___________（等量代换） ∵（已知） ∴__________（_____________） ∴（_____________） ∴（_____________） 【答案】；；角平分线的定义；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换 【来源】重庆市北碚区西南大学附属中学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】根据角平分线的定义、平行线的判定与性质等进行作答即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴ （两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义） ∴（等量代换） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） 故答案为：；；角平分线的定义；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．(重庆市江津区江津第五中学校2021-2022学年七年级下学期期中)补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：，（已知）， （垂直的定义）． （ ）． （ ）． （已知）， （等量代换）． （ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【分析】根据题意读懂推理过程中每一步的推理依据即可完成解答． 【详解】，（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义等知识，关键是读懂推理过程，明确每一步的根据． 4．(23-24七下·重庆沙坪坝区·期中)请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上） 已知：如图，，． 求证：． 证明：∵（已知）， 且，（ ① ） ∴．（等量代换） ∴.（ ② ） ∴ ③ ．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴.（等量代换） ∴．（ ④ ） ∴．（ ⑤ ） 【答案】①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③；④内错角相等，两直线平行；⑤两直线平行，同旁内角互补 【来源】重庆市沙坪坝区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题干所给思路作答即可． 【详解】∵（已知），且，（对顶角相等） ∴．（等量代换） ∴.（同位角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴.（等量代换） ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴．（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③；④内错角相等，两直线平行；⑤两直线平行，同旁内角互补． 5．(23-24七下·重庆开州区文峰教育集团·期中)如图，于点，于点， ，求证：． 证明：（已知）， ∴ （垂直的定义）， ① （ ） ∴ ③ （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， （ ） （内错角相等，两直线平行） （ ） 【答案】见解析 【来源】重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 按照步骤作答即可． 【详解】证明：（已知）， ∴ （垂直的定义）， （同位角相等两直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行同位角相等）． 6．(23-24七下·重庆开州区开州区东华初级中学·期中)完成下列填空． 已知：如图，，直线分别直线相交于点G、H，，求证：． 证明：∵（已知） （ ①________ ） ∴（等量代换） ∴ ②________（③________    ） ∴（④________    ） 又∵（已知） ∴（⑤________） ∴（等量代换） 【答案】① 对顶角相等；② ；③ 同位角相等，两直线平行； ④ 两直线平行，同位角相等 ；⑤ 两直线平行，内错角相等 【来源】重庆市开州区开州区东华初级中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的性质与判定方法是解本题的关键，根据题干提示逐步填写推理依据与过程即可． 【详解】证明：∵（已知） （ 对顶角相等 ） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） 7．(22-23七下·重庆永川区永川区兴龙湖中学校·期中)推理填空：如图，已知，． 求证：，． 证明：∵（已知）， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴ （ ）． ∴ （ ）． ∴ （ ）． ∵（已知）， 又∵（ ）， ∴（ ）． 【答案】；同位角相等两直线平行；，同位角相等两直线平行；，平行于同一条直线的两条直线平行；，两直线平行同旁内角互补；平角定义；等量代换 【来源】重庆市永川区永川区兴龙湖中学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理．根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（ 两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， 又∵（平角定义）， ∴（等量代换）， 8．(23-24七下·重庆巴川中学校·期中)推理填空： 如图，已知，．点E为射线上一点，点F为线段上一点，连接， 求证： 证明：过点F作直线 ∵ ∴ （ ） ∵ ∴ （ ） ∵（ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∵ ∴ （ ） ∴       ∴ 【答案】见解析 【来源】重庆市巴川中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、等量代换等，解题的关键分清楚同位角与内错角等基本概念． 根据“两直线平行，则同位角相等、内错角相等”、“内错角相等，则两直线平行”、“平行于同一条直线的两条直线平行”等判定定理及性质进行填空与注释依据即可． 【详解】证明：过点F作直线 ∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∵ ∴（平行于同一直线的两直线平行） ∴ ∴ 9．(23-24七下·重庆綦江区联盟校·期中)填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：平分，、，求证：平分． 证明：∵平分（已知）， ∴__________ （角平分线定义）． ∵（已知）， ∴__________________． ∴（_________________）， ∵（_________________） ∴_____________（_________________）， （_________________）， ∴__________________________（等量代换）． ∴平分（_________________）． 【答案】；；等量代换；已知；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线定义 【来源】重庆市綦江区联盟校2023-2024学年下学期七年级半期考试数学试题 【分析】本题主要考查平行线性质，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质得，从而得，由得，即有，从而得解． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换） ∴平分（角平分线的定义）． 故答案为：；；等量代换；已知；；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；；角平分线定义 基础证明题题型02 10．(23-24七下·重庆沙坪坝区·期中)如图，，，．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【来源】重庆市沙坪坝区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先根据同位角相等，两直线平行得到，再根据内错角相等，两直线平行得到，然后由平行公理的推论即可得出结论． （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得到，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴． 11．(23-24七下·重庆渝北区渝北区实验中学校·期中)如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：．    【答案】见解析 【来源】重庆市渝北区渝北区实验中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，由可证明，得由得从而证明得由可得从而可证明 【详解】证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 12．(23-24七下·重庆龙水湖育才中学校·期中)如图1，在三角形中，点E，点F分别为线段，上任意两点，交于点G，交的延长线于点H，．    (1)求证：． (2)如图2，若，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市龙水湖育才中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补，④，． （1）由条件可证明，根据平行线的判定可证明； （2）由条件可证，由，得，结合已知得，进而可知，得，即可证得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 13．(23-24七下·重庆长寿区长寿川维中学校·期中)如图，，. (1)求证：； (2)若，试探索：，，的数量关系. 【答案】(1)见详解 (2) 【来源】重庆市长寿区长寿川维中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）由，，得到，于是得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． （2）过作交于，由于，于是得到，等量代换得到，得到，根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到，等量代换即可得到结论； 本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 14．(23-24七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中)如图，在四边形中，点在上，平分，，． (1)求证：； (2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证； （2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， 如图，过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 15．(23-24七下·重庆渝中区重庆第二十九中学校·期中)如图，已知，平分，． (1)与相等吗？判断并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)相等，见解析 (2) 【来源】 重庆市渝中区重庆市第二十九中学校2023-2024学年七年级下学期4月期中数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可证，则，由平分，可得，进而可得； （2）由（1）知，，则，由，可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：与相等，理由如下； ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 16．(重庆市巴川中学校2023-2024学年七年级下学期期中)如图，三角形中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.    (1)求证：平分； (2)若，，求的度数. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理；解题的关键是能融会贯通综合运用这些性质和定理． （1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）∵， ，， ， ， 平分． （2），， ， ， ， ， ． 17．(重庆市綦江区联盟校2023-2024学年下学期七年级半期)如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定，可得，进而得出，再根据，可得； （）根据，由，，可得，再根据，即可得出，进而得到； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用和垂直的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．(22-23七下·重庆开州区文峰教育集团·期中)如图，于点F，于点G，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)度 【来源】重庆市开州区文峰教育集团2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）根据，得到，即可得到，结合得到即可得到证明； （2）根据得到，结合得到，结合得到即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是得到． 动点问题题型03 19．(22-23七下·重庆潼南区六校·期中)如图，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分，点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点落在第①部分时图，可得：，请说明理由． (2)当动点落在第②部分时图，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，并说明理由． (3)当动点在第③部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【来源】重庆市潼南区六校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （3）过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2），理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； （3）点在第③部分时，过点向右作，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． 20．(18-19七下·重庆西南大学附属中学校·期中)如图1，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，GH⊥EG交MN于H． （1）求证：PF∥GH． （2）如图2，连接PH，K为GH上一动点，∠PHK=∠HPK，PQ平分∠EPK交MN于Q，则∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）的大小不发生变化，一直是． 【来源】重庆市西南大学附属中学校2018-2019学年七年级下学期期中数学试题 【分析】（1）利用平行线的性质推知；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得，即，故结合已知条件，易证； （2）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得的大小不变，是定值． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ． 又与的角平分线交于点， ， ，即． ， ； （2）的大小不发生变化，理由如下： 如图2，， ． 又， ． ． 平分， ． ∴， ∴的大小不发生变化，一直是． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补，④，． 21．（2021-2022学年重庆市第十八中学七年级下学期期中）已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C，D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C，D两点重合）． （1）在点P的运动过程中是否始终具有∠1，∠2，∠3有什么数量关系？试说明理由； （2）如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由． 【答案】（1）∠3+∠1＝∠2，理由见解析  （2）∠3+∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3-∠1＝∠2，理由见解析 【来源】2021-2022学年重庆市第十八中学七年级下学期期中考试数学试卷 【分析】（1）∠3+∠1＝∠2．过点P作PE//l1，则有∠1=∠APE，又因为PE∥l2，又有∠3=∠BPE，因为∠BPE+∠APE=∠2，所以∠3+∠1=∠2； （2）上述结论不成立，过点P作PE//l1，则有∠1=∠APE；又因为PE//l2，又有∠3=∠BPE，困为此时∠BPE-∠APE=∠2，则有∠3-∠1=∠2． 【详解】解：（1）结论为∠3+∠1＝∠2，理由如下： 如图①，过点P作PE//l1， ∴∠1＝∠APE， ∵l1//l2，∴PE//l2， ∴∠3＝∠BPE， ∵∠BPE+∠APE＝∠2， ∴∠3+∠1＝∠2； （2）∠3+∠1＝∠2不成立，新的结论为∠3-∠1＝∠2，理由为： 如图②，过P作PE//l1， ∴∠1＝∠APE， ∵l1//l2，∴PE//l2， ∴∠3＝∠BPE， ∵∠BPE-∠APE＝∠2， ∴∠3-∠1＝∠2． 【点睛】本题主要考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，解题的关键在于作出正确的辅助线． 22．(重庆市綦江区未来学校联盟2021-2022学年七年级下学期期中)如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？ 【答案】（1）116°；58°；（2）不变，∠APB=2∠ADB，理由见解析；（3）29° 【分析】（1）由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出∠ABN；由角平分线的定义可以证明∠CBD＝∠ABN，即可求出结果； （2）证∠APB＝∠PBN，∠PBN＝2∠DBN，即可推出结论； （3）可先证明∠ABC＝∠DBN，由（1）∠ABN＝116°，可推出∠CBD＝58°，所以∠ABC+∠DBN＝58°，则可求出∠ABC的度数． 【详解】（1）∵AM//BN，∠A＝64°， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝116°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°； 故答案为：116°；58°； （2）不变，∠APB=2∠ADB， ∵AM//BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB=2∠ADB； （3）∵AM//BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时， 则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）∠ABN＝116°， ∴∠CBD＝58°， ∴∠ABC+∠DBN＝58°， ∴∠ABC＝29°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能灵活运用角平分线的定义等． 23．(重庆市乌江协作体2023-2024学年七年级下学期期中)已知：如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点． (1)若与都是锐角，如图1，请直接写出与之间的数量关系； (2)若小明把一块三角板（）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数． (3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段上，连接，且有，求的值是否变化？ 如果不变，求出比值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，2 【分析】（1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出； （2）根据（1）中的结论可得，，再根据对顶角相等即可得出结论； （3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：的值不变；理由如下： 设，则， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定，以及三角板中角度的计算，平行公理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解． 24．(21-22七下·重庆万盛经济技术开发区溱州中学·期中)如图，点分别在上，于点，，， 求证：．请填空． 证明：（已知） （______） 又（已知） ______（______） （______） （______） 又（平角的定义） （______） 又（已知） （______） ______（内错角相等，两直线平行） 【答案】垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；；同角的余角相等； 【来源】重庆市万盛经济技术开发区溱州中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可． 【详解】证明：（已知） （垂直的定义） 又（已知） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （等量代换） 又（平角的定义） （） 又（已知） （同角的余角相等） （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直的定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；；同角的余角相等；． 25．(重庆市江津区江津区双福育才中学校2022-2023学年七年级下学期期中)如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是解答本题的关键． （1）由已知条件结合对顶角相等可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）先证明，再结合可得，进而证得，由平行线的性质可得，即，再结合求解即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴①， 又∵②， ∴①②联立可得， ∴． 26．(18-19七下·重庆九龙坡区·期中)已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）； (3) 【来源】重庆市九龙坡区2018-2019学年七年级下学期期中数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质， （1）根据平行线的性质进行填空即可； （2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； （3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）① 证明：如下图，过D作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 当拖动点至的下方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或（写出一种即可）． （3） 过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行线证明题 题型概览 题型01补全证明过程 题型02基础证明题 题型03动点问题 补全证明过程题型01 1．(22-23七下·重庆沙坪坝区南渝中学校·期中)如图，已知，，垂足分别为，． (1)用尺规完成基本作图：延长至点，使；（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：．（在下面的括号中填上推理依据） 证明：∵，，（已知） ∴，（①______） ∴，（②______） ∴，（③______） ∵，（已知） ∴，（④______）． ∴，（⑤______） ∴．（⑥______） 2．(22-23七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中)如图，，射线与交于点F，射线与交于点H．若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴____________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴____________（_______________） ∴___________（等量代换） ∵（已知） ∴__________（_____________） ∴（_____________） ∴（_____________） 3．(重庆市江津区江津第五中学校2021-2022学年七年级下学期期中)补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：，（已知）， （垂直的定义）． （ ）． （ ）． （已知）， （等量代换）． （ ）． 4．(23-24七下·重庆沙坪坝区·期中)请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上） 已知：如图，，． 求证：． 证明：∵（已知）， 且，（ ① ） ∴．（等量代换） ∴.（ ② ） ∴ ③ ．（两直线平行，同位角相等） ∵，（已知） ∴.（等量代换） ∴．（ ④ ） ∴．（ ⑤ ） 5．(23-24七下·重庆开州区文峰教育集团·期中)如图，于点，于点， ，求证：． 证明：（已知）， ∴ （垂直的定义）， ① （ ） ∴ ③ （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， （ ） （内错角相等，两直线平行） （ ） 6．(23-24七下·重庆开州区开州区东华初级中学·期中)完成下列填空． 已知：如图，，直线分别直线相交于点G、H，，求证：． 证明：∵（已知） （ ①________ ） ∴（等量代换） ∴ ②________（③________    ） ∴（④________    ） 又∵（已知） ∴（⑤________） ∴（等量代换） 7．(22-23七下·重庆永川区永川区兴龙湖中学校·期中)推理填空：如图，已知，． 求证：，． 证明：∵（已知）， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴ （ ）． ∴ （ ）． ∴ （ ）． ∵（已知）， 又∵（ ）， ∴（ ）． 8．(23-24七下·重庆巴川中学校·期中)推理填空： 如图，已知，．点E为射线上一点，点F为线段上一点，连接， 求证： 证明：过点F作直线 ∵ ∴ （ ） ∵ ∴ （ ） ∵（ ） ∴ （ ） ∴（ ） ∵ ∴ （ ） ∴       ∴ 9．(23-24七下·重庆綦江区联盟校·期中)填空：（将下面的推理过程及依据补充完整） 如图，已知：平分，、，求证：平分． 证明：∵平分（已知）， ∴__________ （角平分线定义）． ∵（已知）， ∴__________________． ∴（_________________）， ∵（_________________） ∴_____________（_________________）， （_________________）， ∴__________________________（等量代换）． ∴平分（_________________）． 基础证明题题型02 10．(23-24七下·重庆沙坪坝区·期中)如图，，，．    (1)求证：； (2)若平分，求的度数． 11．(23-24七下·重庆渝北区渝北区实验中学校·期中)如图，已知，相交于点，，，分别在、、上，且，，，求证：．    12．(23-24七下·重庆龙水湖育才中学校·期中)如图1，在三角形中，点E，点F分别为线段，上任意两点，交于点G，交的延长线于点H，．    (1)求证：． (2)如图2，若，平分，求证：． 13．(23-24七下·重庆长寿区长寿川维中学校·期中)如图，，. (1)求证：； (2)若，试探索：，，的数量关系. 14．(23-24七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中)如图，在四边形中，点在上，平分，，． (1)求证：； (2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数． 15．(23-24七下·重庆渝中区重庆第二十九中学校·期中)如图，已知，平分，． (1)与相等吗？判断并说明理由； (2)若，求的度数． 16．(重庆市巴川中学校2023-2024学年七年级下学期期中)如图，三角形中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且.    (1)求证：平分； (2)若，，求的度数. 17．(重庆市綦江区联盟校2023-2024学年下学期七年级半期)如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 18．(22-23七下·重庆开州区文峰教育集团·期中)如图，于点F，于点G，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 动点问题题型03 19．(22-23七下·重庆潼南区六校·期中)如图，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分，点是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点落在第①部分时图，可得：，请说明理由． (2)当动点落在第②部分时图，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，并说明理由． (3)当动点在第③部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． 20．(18-19七下·重庆西南大学附属中学校·期中)如图1，AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，GH⊥EG交MN于H． （1）求证：PF∥GH． （2）如图2，连接PH，K为GH上一动点，∠PHK=∠HPK，PQ平分∠EPK交MN于Q，则∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由． 21．（2021-2022学年重庆市第十八中学七年级下学期期中）已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C，D两点，点P是直线l3上的一动点，如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C，D两点重合）． （1）在点P的运动过程中是否始终具有∠1，∠2，∠3有什么数量关系？试说明理由； （2）如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由． 22．(重庆市綦江区未来学校联盟2021-2022学年七年级下学期期中)如图，已知AM∥BN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）∠ABN的度数是_____，∠CBD的度数是_______； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？ 23．(重庆市乌江协作体2023-2024学年七年级下学期期中)已知：如图，直线，点C是之间（不在直线上）的一个动点． (1)若与都是锐角，如图1，请直接写出与之间的数量关系； (2)若小明把一块三角板（）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数． (3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段上，连接，且有，求的值是否变化？ 如果不变，求出比值；如果变化，请说明理由． 24．(21-22七下·重庆万盛经济技术开发区溱州中学·期中)如图，点分别在上，于点，，， 求证：．请填空． 证明：（已知） （______） 又（已知） ______（______） （______） （______） 又（平角的定义） （______） 又（已知） （______） ______（内错角相等，两直线平行） 25．(重庆市江津区江津区双福育才中学校2022-2023学年七年级下学期期中)如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段上的点，已知，． (1)求证：； (2)若，且，求的度数． 26．(18-19七下·重庆九龙坡区·期中)已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$