重难点05 选填压轴题最值问题综合训练（8大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

重难点05 选填压轴题最值问题综合训练 中考数学中《选填压轴最值问题综合训练》部分主要考向分为八类： 一、将军饮马问题（单动点问题） 二、将军饮马+垂线段最短（双动点问题） 三、周长最小问题 四、线段差值最大问题 五、隐圆问题 六、阿氏圆问题 七、胡不归问题 八、函数中最值问题 最值问题常常出现在四川中考数学试卷的选填压轴题中，难度偏上，很多考生遇到此类问题都无从下手，本小节内容主要总结了中考中常考的几种最值问题进行具体分析，帮助广大考生解决此类问题。 考向一：“将军饮马”问题（单动点问题） “将军饮马”模型（单动点问题）：在直线m上找一点P，使PA+PB的值最小 （1）当点A、B在直线m的两侧时，如图1所示 作法：如图2所示，直接连接A、B两点，与直线m的交点即为点P; （2）当点A、B在直线m的同侧时，如图3所示 作法：如图4所示 ①作点A关于直线m的对称点点C； ②连接BC与直线m相交于点P，P即为所求，此时PA+PB=PC+PB=BC； 1．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 4．如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ． 5．如图，△ABC中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是 ． 6．如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．    7．如图，在四边形中，，，，，若为边上一动点，且，连接，当最小时，的长是 ． 8．在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，为轴上一动点，值最小时，点的坐标为 ． 9．如图，在△ABC中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于△ABC面积的一半，则当最小时，的度数为 ． 10．如图，△ABC是等边三角形， 是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当 的和最小时， ． 考向二：将军饮马+垂线段最短（双动点问题） 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB的值最小 （1）两点在直线两侧时，如图1所示 作法：过点A作直线n的垂线，分别与直线m、直线n交于点P、B; （2）两点在直线同侧时，如图3所示 作法：如图4所示 ①先做点A关于直线m的对称点C； ②过点C作直线n的垂线，垂直为点B，与直线m交于点P; ③此时点P、B即为所求； 1．如图，点N在等边△ABC的边上，，射线，垂足为B，P是射线上一动点，M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 2．如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ． 3．如图，等边△ABC的边长为5，点E在上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，的长为 ． 4．如图，点在等边△ABC的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 5．如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知△ABC的面积为，，求的最小值为 ． 6．如图，在中，，点D是边上的定点，，点E、点P分别是边上的动点，当的值最小时，，则 ． 7．如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 8．如图，在等腰△ABC中，顶角，点为边上一点，，分别为边和上两动点，当的值最小时，的大小是 ． 考向三：对称问题中周长最短问题 （1）周长最短问题之三角形 在线m、n上分别求点M、N，使得△PMN的周长最小，如图1所示 作法：如图2所示 ①过点P，分别作直线n、直线m的对称点B、A； ②连接AB，分别与直线m、直线n交于点M、点N； ③此时PM+MN+NP=BM+MN+NA=AB。 （2）周长最短问题之四边形 在线m、n上分别求点M、N，使得四边形PQMN的周长最小，如图3所示 作法：如图4所示 ①过点P，Q分别作直线n、直线m的对称点B、A； ②连接AB，分别与直线m、直线n交于点M、点N； ③此时PM+MN+QN+QP=BM+MN+NA+PQ=AB+PQ。 1．如图，点P在内，，的垂线相交于点P，E、F分别是上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为 ． 2．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点是x轴上一点，点E、F分别为直线，y轴上的两个动点，当周长最小时，点E的坐标为 ． 3．如图，在四边形中，，，M，N分别是边， 上的动点，当的周长最小时，的大小是 ° 4．如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 5．如图，，M为内部一定点且，E、F分别为、边上的动点，当周长最小时，的度数为 ． 6．如图，在五边形中，∠BAE=140°，，在边上分别找一点M，N，连接，则当的周长最小时，求的值是 ． 7．如图，已知正方形边长为4，点为边上一点，，点为对角线上一点，当△APE周长最短时，则的长 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，，为边上一动点，为边上一动点，点的坐标为．当的周长最小时，点到直线的距离为，则的周长的最小值为 ． 考向四：线段差值最大问题 求两点段差值最大问题（核心点：三角形的任意两边之差小于第三边） 在一条直线上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线的同侧 作法：延长AB交直线m与点P，根据三角形两边之差小于第三边，PA-PB≤AB，所以PA-PB的最大值为AB。 （2）点A、B在直线m的异侧 作法：如图4所示，作点B关于直线m的对称点B1，连接AB1并延长与直线m的交点为P1,此时B1P1=P1B，PA-PB的最大值为AB1 1．如图，已知点，点P在直线上，当最大时，点P坐标为 ；此时 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，得到等腰直角△ABC，且为直角，连接，请写出当最大时点的坐标为 ． 4．如图，△ABC为等腰直角三角形，在△ABC的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是 ． 考向五：隐圆问题 （1）题型分析：当题目出现共端点、等线段时，可以构建辅助圆进行求解。如图所示OA=OB=OC，则A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上。 （2）题型分析：在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹为以AB为直径的圆上（A、B除外）。通过构造辅助圆，把动态问题转换为圆的性质问题。 （3）四点公圆模型（详情请参考本专辑重难点03 辅助圆中常见的几何模型综合训练） 1．如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作以为直角的，使得，连接，当最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，、，，点P是△ABC内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 4．如图，在等边△ABC中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ． 5．如图，五边形，已知，，，，，，求出最小时四边形面积的最大值为 ． 6．如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 7．如图，在矩形中，，，点F在边上运动，以线段为斜边作，其中点M与点A位于两侧，．连接，当最小时， ．    8．如图，△ABC中，，，D是上一动点，于点E，连接．当的长度最短时，的值是 ． 9．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．达到最小值时，求 ． 10．如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 11．如图，在△ABC中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 考向六：阿氏圆问题 点P在直线上运动和点在圆上运动，其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题（本小节会详细阐述）；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点4、B，则所有满足PA=K•PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” 【模型建立】 如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定? 【模型解读】最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k“，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段 OB上截取 OC使 OC=k・r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当4、P、C三点共线时，PA+PC”值最小如图3 1．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，，，、分别是边上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 3．如图，等边三角形边长为，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接、，则的最小值为 ． 4．如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，点为以为半径的圆上一动点，则的最小值为 ． 6．如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ． 7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 考向七：“胡不归”模型求最值 从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭，邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?..”(“胡”同“何”) 而如果先沿着驿道C先走一段，再走砂石地会不会更早些到家？ 【模型建立】如图2所以，一动点P在直线 MN外的运动速度为v1，在直线MN上运动的速度为v2且 v1<v2，A、B为定点，点C在直线MN上,确定点C的位置使的值最小. ,记，即求BC+k•AC的最小值。 【解决问题】构造射线AD使得sin∠DAN=k，即=k，CH=kAC 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小. 1．如图所示，在△ABC中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，的大小等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 3．如图，在△ABC中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 4．在矩形中，，，M是上的动点，当最小时，的值是    5．在平面直角坐标系中，已知坐标轴上的两点，，试在轴上找一点，使值最小，此时点 的坐标是 ． 6．如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 7．如图，在矩形中，，，则对角线 ，点是上的动点，连接，则的最小值是 ． 8．如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 考向八 函数中最值问题 二次函数中最值问题常结合几何图形进行考查 通用解题技巧 1.函数性质法：分析二次函数开口方向、顶点坐标，结合自变量取值范围确定最值。 2.数形结合法：对几何问题，先画图分析，再通过代数计算验证；对代数问题，结合函数图像判断极值点。 3.转化与化归：将复杂问题转化为基本模型，如将军饮马、阿氏圆等，或通过相似、对称简化变量关系。 4.分类讨论：当自变量有约束条件时(如区间限制)，需分段讨论函数在不同区间的极值。 1．已知点，，，，二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式，当的值最小时，所对应的二次函数图象所经过的点为（   ） A．点，点和点 B．点，点和点 C．点，点和点 D．点，点和点 2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ． 6．在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是 ． 7．如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且． 将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线第一象限上的一点，连接，交于点E，D是上一点且．当的值最小时，P点的坐标为 ． 9． 与x轴最多有一个交点，则的最小值为 ． 10．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为，则的值为 ． 11．已知函数，设实数，，满足，，当取，，时，对应的函数值分别为，，．当的值最小时，则 ． 12．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，在上方作Rt△DCE，使，，点为的中点，连接，当最小时，的长为 .    （建议用时：60分钟） 1．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．如图，等边△ABC中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，点分别是射线上的定点，为射线上的一动点，为射线上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，，．点P为△ABC内一点，且满足．当的长度最小时，的周长是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B、A两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交y轴于点H，且．当的值最小时，则H点的坐标为      8．如图，中，动点P，Q分别从点A，C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿向终点D，B运动，过点P，Q作直线l，过点B作直线l的垂线，垂足为E，当最小时，则的值为 ． 9．如图，△ABC中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则 °；当的周长最小时， °． 10．如图，△ABC是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点05 选填压轴题最值问题综合训练 中考数学中《选填压轴最值问题综合训练》部分主要考向分为八类： 一、将军饮马问题（单动点问题） 二、将军饮马+垂线段最短（双动点问题） 三、周长最小问题 四、线段差值最大问题 五、隐圆问题 六、阿氏圆问题 七、胡不归问题 八、函数中最值问题 最值问题常常出现在四川中考数学试卷的选填压轴题中，难度偏上，很多考生遇到此类问题都无从下手，本小节内容主要总结了中考中常考的几种最值问题进行具体分析，帮助广大考生解决此类问题。 考向一：“将军饮马”问题（单动点问题） “将军饮马”模型（单动点问题）：在直线m上找一点P，使PA+PB的值最小 （1）当点A、B在直线m的两侧时，如图1所示 作法：如图2所示，直接连接A、B两点，与直线m的交点即为点P; （2）当点A、B在直线m的同侧时，如图3所示 作法：如图4所示 ①作点A关于直线m的对称点点C； ②连接BC与直线m相交于点P，P即为所求，此时PA+PB=PC+PB=BC； 1．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F， ∵A与关于BC对称， ∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点O为对角线的交点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 2．如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 4．如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ． 【答案】6 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度； ∵AC是矩形的对角线， ∴AB=CD=4，∠ABC=90°， 在直角△ABC中，，， ∴， ∴， 由对称的性质，得，， ∴， ∴ ∵，， ∴△BEF是等边三角形， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为6； 5．如图，△ABC中，，点分别是的中点，在上找一点，连接，当最小时，这个最小值是 ． 【答案】 【详解】解：已知， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵点是中点， ∴， ∴点关于的对称点为点， 如图，连接，当点三点共线时，就是的最小值， ∵在中，，点分别是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 6．如图，在正方形中，，是上的一点，且，是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为 ．    【答案】 【详解】解：过点作于，则四边形是矩形，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，    设直线的解析式为， ∵，， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴时，的值最小， ∵定值， ∴当时，的值最小． 故答案为：． 7．如图，在四边形中，，，，，若为边上一动点，且，连接，当最小时，的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， 设，则 ∴ ∴ 设，则 如图所示，过点作交于点， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的长为轴上一点到的最小值， 如图所示， 在坐标系中取点，，作关于轴的对称点，连接，交轴于点，则 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 ∴当时，取得最小值， 即 故答案为：． 8．在平面直角坐标系内，在函数上，在函数上，为轴上一动点，值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵在函数上， ∴， ∴点； ∵在函数上， ∴， ∴点， ∴点关于x轴的对称点坐标为，连接交x轴于点P，此时的交点P就是值最小时的位置， 设直线的解析式，根据题意，得 ， 解得， 故解析式为， 当得， 解得． 故点， 9．如图，在△ABC中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于△ABC面积的一半，则当最小时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：的面积等于△ABC面积的一半， 在的垂直平分线上， 如图，作关于的垂直平分线的对称点，连接，，则， 由对称的性质可知，， ∴，此时最小， ，， ∴， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，△ABC是等边三角形， 是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当 的和最小时， ． 【答案】/度 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 考向二：将军饮马+垂线段最短（双动点问题） 点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB的值最小 （1）两点在直线两侧时，如图1所示 作法：过点A作直线n的垂线，分别与直线m、直线n交于点P、B; （2）两点在直线同侧时，如图3所示 作法：如图4所示 ①先做点A关于直线m的对称点C； ②过点C作直线n的垂线，垂直为点B，与直线m交于点P; ③此时点P、B即为所求； 1．如图，点N在等边△ABC的边上，，射线，垂足为B，P是射线上一动点，M是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】10 【详解】解：作点N关于的对称点E，过E作于，交于，连接， ， ， ， 则当E、P、M三点共线，且和M重合时，的值最小， 在等边△ABC中，有，， ， 设， 则：， 解得：， ， 故答案为： 2．如图，在正方形中，，点是边的中点，是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．当的值最小时，的面积是 ． 【答案】1 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵点是边的中点， 是的中位线， ． 在正方形中，， ， ， ∴ ∴四边形是平行四边形， ， ． 连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小． 将此时的点记为点，由正方形的对称性可知． ∴． 又， 则的面积为． 故答案为：1． 3．如图，等边△ABC的边长为5，点E在上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：作E点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵等边△ABC的边长为5， ∴ ∵点E在上，，E点关于的对称点， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，点在等边△ABC的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ， 则，， ∴， ∴的值最小为的值，且， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知，，平分与交于点，分别在线段、上的动点，连接，当最小时，画出的位置．已知△ABC的面积为，，求的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图： 作于点， 连接， 作于点，交于点，则点、就是所求作的点. ∵平分与交于点， ， ∴由作图可知： ， ∴与关于直线对称， 即点与点关于直线对称， ∵作于点， 交于点， ∴是点到的最短距离， ∴， 作于点， 则， 在与中， ， ， ∴，即. ∴点、、三点共线， ， ∵的面积为 ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 6．如图，在中，，点D是边上的定点，，点E、点P分别是边上的动点，当的值最小时，，则 ． 【答案】8 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 则：， ∴， ∴三点共线时，的值最小，为的长， ∵点E是边上的动点， ∴当时，最小， ∵的值最小时，，， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 7．如图，在中，，，点D在上，，点P、E分别是、上动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】9 【详解】解：作点D关于直线的对称点F，过F作于E，交于P， 则此时的值最小， ，， ， ， 点D关于直线的对称点F， ， ， ， ， 故答案为：9． 8．如图，在等腰△ABC中，顶角，点为边上一点，，分别为边和上两动点，当的值最小时，的大小是 ． 【答案】/138度 【详解】解：过点B作并延长，交过点A作于点Q，如图所示： ∵是等腰三角形，且顶角， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 作点E关于的对称点M，则点M在上，连接，要使的值最小，则需满足点M、D、F三点共线，且，此时点M与点H，点F与点N重合，则点E与点G重合，如图所示， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 考向三：对称问题中周长最短问题 （1）周长最短问题之三角形 在线m、n上分别求点M、N，使得△PMN的周长最小，如图1所示 作法：如图2所示 ①过点P，分别作直线n、直线m的对称点B、A； ②连接AB，分别与直线m、直线n交于点M、点N； ③此时PM+MN+NP=BM+MN+NA=AB。 （2）周长最短问题之四边形 在线m、n上分别求点M、N，使得四边形PQMN的周长最小，如图3所示 作法：如图4所示 ①过点P，Q分别作直线n、直线m的对称点B、A； ②连接AB，分别与直线m、直线n交于点M、点N； ③此时PM+MN+QN+QP=BM+MN+NA+PQ=AB+PQ。 1．如图，点P在内，，的垂线相交于点P，E、F分别是上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】120 【详解】解：如图，作点O关于的对称点，连接，作点O关于的对称点，连接，    则，， 的周长， 即点E和点F在线段上时，的周长最小，如图： ，， ，， ， ∴ 故答案为：． 2．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点是x轴上一点，点E、F分别为直线，y轴上的两个动点，当周长最小时，点E的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作轴，且，连接，交于点，作点关于轴的对称点，连接，，则：，，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长， ∴当四点共线时，的周长最小为的长， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴， 故答案为：． 3．如图，在四边形中，，，M，N分别是边， 上的动点，当的周长最小时，的大小是 ° 【答案】 【详解】解：作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接； ∵点C和点关于的对称，点C和点关于的对称， ∴， 的周长= ∴点，点，点M，点N四点共线时，的周长最小， ∵在四边形中， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 4．如图，在四边形中，，，点M，N分别是，上两个动点，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，则：． ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最短， 连接与的交点即为所求的点、，如图： ∵， ∴三点共线，三点共线， ， 由轴对称的性质得： 故答案为：． 5．如图，，M为内部一定点且，E、F分别为、边上的动点，当周长最小时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、， ， 由对称的性质可得：，，，，， 由两点之间线段最短可得，此时周长最小，为， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 6．如图，在五边形中，∠BAE=140°，，在边上分别找一点M，N，连接，则当的周长最小时，求的值是 ． 【答案】/80度 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，， ，， ， 当的周长最小时，不等式取等号，即周长为， ， 、、共线，、、共线， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，已知正方形边长为4，点为边上一点，，点为对角线上一点，当△APE周长最短时，则的长 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接、，连接交于， ， ∵四边形为正方形， ∴垂直平分，，，， ∴，， ∴， ∴△APE的周长， 当、、在同一直线上时，的值最小，为，此时交于， 作于，则为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当周长最短时，则的长为， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，，为边上一动点，为边上一动点，点的坐标为．当的周长最小时，点到直线的距离为，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解： ∵点的坐标为， ∴，， 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴，此时的周长，为最小值， 作于， ∵当的周长最小时，点到直线的距离为， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 考向四：线段差值最大问题 求两点段差值最大问题（核心点：三角形的任意两边之差小于第三边） 在一条直线上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线的同侧 作法：延长AB交直线m与点P，根据三角形两边之差小于第三边，PA-PB≤AB，所以PA-PB的最大值为AB。 （2）点A、B在直线m的异侧 作法：如图4所示，作点B关于直线m的对称点B1，连接AB1并延长与直线m的交点为P1,此时B1P1=P1B，PA-PB的最大值为AB1 1．如图，已知点，点P在直线上，当最大时，点P坐标为 ；此时 【答案】 【详解】解：作A关于直线对称点C， ∴，， ∵， ∴C的坐标为； 连接并延长，交直线于P点，此时，取得最大值， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的方程为， 联立， 解得：； ∴P点的坐标为； 这个最小值， 故答案为：；． 2．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B（点B在点A的右侧）两点，顶点为C，点P是y轴上一点，且使得最大，则P点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可知：A、B、的坐标分别为、， ∴对称轴直线为： ∴顶点C的坐标为， 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：， ∴当P、C、B在同一条直线上，，即此时有最大值． 设的解析式为， 则， 解得： ∴的解析式为：， 当时，则， 则点P的坐标为 故答案为． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点为轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，得到等腰直角△ABC，且为直角，连接，请写出当最大时点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过轴于点，过作轴于点，作点关于对称点，连接交于点， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴， 则点在上运动， ∴的纵坐标为， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最大值，即有最大值， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．如图，△ABC为等腰直角三角形，在△ABC的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是 ． 【答案】/117度 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接， 为等腰直角三角形， ，， ∵ ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考向五：隐圆问题 （1）题型分析：当题目出现共端点、等线段时，可以构建辅助圆进行求解。如图所示OA=OB=OC，则A、B、C在以O为圆心，OA为半径的圆上。 （2）题型分析：在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹为以AB为直径的圆上（A、B除外）。通过构造辅助圆，把动态问题转换为圆的性质问题。 （3）四点公圆模型（详情请参考本专辑重难点03 辅助圆中常见的几何模型综合训练） 1．如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作以为直角的，使得，连接，当最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴点在直线上运动， 当时，最小，此时， ∵， 设，则， ∴， 过作交于点， 则， ∴， 设，则，， ∵， ， ∴（舍）或， ， 故选：B． 2．如图，正方形的边长为4，E是边的中点，F是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当的长最小时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴ ， ∴点G在以B为圆心，4为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，最小， 连接，设， ∵ ∴ 解得， 故选：D． 3．如图，在中，、，，点P是△ABC内部的一个动点，连接，且满足，过点P作交于点D． （1） ； （2）当线段最短时，的面积为 ． 【答案】 /90度 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短， 由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：，． 4．如图，在等边△ABC中，点为边上一动点，点为上一点，且满足，连接，，当线段的长度最小时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵ △ABC为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 作的垂直平分线，作，与垂直平分线交于点O， 则点F的运动轨迹是以O为圆心，以为半径的圆的三角形内部的一段弧， 连接与弧交于点H， 当F与点H重合时，最小， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线，设二线的交点为Q， 则， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，五边形，已知，，，，，，求出最小时四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：过点F作的垂线，垂足为P， 令， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， 则． 在中， ． 在中， ， ∴当时，取得最小值9，即的最小值为3． 则，， ∴，． 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． 在中，， ∴， 同理可得，． ∴． ∵，， ∴以为斜边构造等腰直角三角形， 如图所示，点N在以点O为圆心的圆上， ∵， ∴． 在中，． 当点N在点处时，的面积取得最大值， 此时． ∴四边形面积的最大值为：． 故答案为：． 6．如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴点F在以B为圆心，8为半径的圆上运动， ∴当点G、F、A三点共线时，最小，如图，连接     ∵点G是边的中点， ∴， 由勾股定理得， ， ∵ ∴ ∴ 解得． 故答案为：． 7．如图，在矩形中，，，点F在边上运动，以线段为斜边作，其中点M与点A位于两侧，．连接，当最小时， ．    【答案】 【详解】解：连接，设，则，    ∵， ∴， ∵矩形和， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴， 当时，最小，此时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，△ABC中，，，D是上一动点，于点E，连接．当的长度最短时，的值是 ． 【答案】 【详解】解：设的中点为O，以点O为圆心，以为直径作圆，连接交于M，连接，作直线交于F，过点O作于H，过点B作于N，如图所示： 则， ∵D是上一动点，于点E， ∴， ∴当点D在上运动时，点E在上运动， 根据点与圆的位置关系可知：当点E与点M重合时，为最短， 此时， 设的半径为a，则， 设， ∵， ∴， 又∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， 在中，， 由勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由，得：， ∴， ∵， ∴由，得：， 整理得：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连接．达到最小值时，求 ． 【答案】/ 【详解】解：将沿折叠得到， ， 点为的中点，， ， 当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 连接,在中， ， 共线时，的值最小，如图， 最小为； ， 设， ，， 在直角三角形中， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即， 故答案为：． 10．如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接， ， ∵点为坐标平面内一点，， ∴， ∴在为直径的圆上运动， ∴当点与点重合时，最长，即为， ∵，，为的中点，点为线段的中点， ∴当最大时，即最大，而、、三点共线时，当在的延长线上时，最大值即为的值， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点重合时，最大，最大值为， 故答案为：． 11．如图，在△ABC中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 3 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，则为最小，为最长， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴的最小值为2，最大值为3； 故答案为：2，3 考向六：阿氏圆问题 点P在直线上运动和点在圆上运动，其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题（本小节会详细阐述）；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点4、B，则所有满足PA=K•PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” 【模型建立】 如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定? 【模型解读】最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k“，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段 OB上截取 OC使 OC=k・r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当4、P、C三点共线时，PA+PC”值最小如图3 1．如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 2．如图，在中，，，，、分别是边上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， 过B作，作于H， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴当G、F、H共线时，最小， ∴过O作于M， 在中，， ∴， ∴， 作于K，得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴最小值为， ∴最小值为． 故选：A． 3．如图，等边三角形边长为，圆O是△ABC的内切圆，P是圆O上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，记与的切点为，连接，则，作，连接，过作于， ∵等边三角形边长为，圆O是的内切圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，，此时最小， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值为：； 故答案为： 4．如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 连接，连接， 则，，共线，， ， ， 点是的中点， ， ， ， 由折叠成， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ， 两点间线段最短， ， 即 ， ， 则的最小值为． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，，，，点为以为半径的圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵，， ∴，， ∴，即有， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上， 如图，连接， 由勾股定理得，， 如图，在上取点使，则，连接，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为， 如图，作于， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， 故答案为：2． 7．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【答案】 【详解】解：令，即， 解得：，， 即，， 当时，， ∴； 如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 考向七：“胡不归”模型求最值 从前有个少年外出求学,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭，邻居告诉小伙子说老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?..”(“胡”同“何”) 而如果先沿着驿道C先走一段，再走砂石地会不会更早些到家？ 【模型建立】如图2所以，一动点P在直线 MN外的运动速度为v1，在直线MN上运动的速度为v2且 v1<v2，A、B为定点，点C在直线MN上,确定点C的位置使的值最小. ,记，即求BC+k•AC的最小值。 【解决问题】构造射线AD使得sin∠DAN=k，即=k，CH=kAC 将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小. 1．如图所示，在△ABC中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，的大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，构造胡不归模型： 过点A作，过点P作，交于于点， ∵，， ∴， ∴， 仅当点M，P，N三点共线，且时，的值最小，即为线段， 的值最小时为线段， 此时，， ∴． 故选：A． 2．如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ ， ． 即的最小值为6． 故选B． 3．如图，在△ABC中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图，以为斜边向△ABC外作等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴当在同一直线上时， 取得最小值. 在中，∠D=90°，，， ∴ ∴. 故选：B 4．在矩形中，，，M是上的动点，当最小时，的值是    【答案】 【详解】解：以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则 设， 则 当时，最小，此时．    故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，已知坐标轴上的两点，，试在轴上找一点，使值最小，此时点 的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作，过点作于点，交轴于点，则， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短，可得此时的值最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 6．如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点P作，连接， ∵在菱形中，对角线相交于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴当三点共线，且时，最小，最小值为的长， ∴此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．如图，在矩形中，，，则对角线 ，点是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 4 3 【详解】解：过点作，过点作于点，交于点， ∵在矩形中，，，， 则，， ， ， ∵， ， ∵，， ， ∴， ， ∴当点三点共线时，， 此时最小， ∴的最小值是3． 故答案为：4；3． 8．如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形， ∴， ∵平行四边形中，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴最小值为， 故答案为：． 考向八 函数中最值问题 二次函数中最值问题常结合几何图形进行考查 通用解题技巧 1.函数性质法：分析二次函数开口方向、顶点坐标，结合自变量取值范围确定最值。 2.数形结合法：对几何问题，先画图分析，再通过代数计算验证；对代数问题，结合函数图像判断极值点。 3.转化与化归：将复杂问题转化为基本模型，如将军饮马、阿氏圆等，或通过相似、对称简化变量关系。 4.分类讨论：当自变量有约束条件时(如区间限制)，需分段讨论函数在不同区间的极值。 1．已知点，，，，二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式，当的值最小时，所对应的二次函数图象所经过的点为（   ） A．点，点和点 B．点，点和点 C．点，点和点 D．点，点和点 【答案】D 【详解】解：四个点在直角坐标系中大致位置如图：    ∵，，在一条直线上， ∴必选，，，中选择2个点，故排除选项A， 根据坐标位置可发现，过，，三点时开口向上，此时，故排除选项B， 过，，和，，三点时开口向下，此时， ∵当时，开口小的那个a更小， 由图可知，过，，三点的二次函数的开口更小， ∴过，，三点的二次函数的a最小， 故选：D． 2．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 3．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，， 由题意得：， 而，则， 抛物线的对称轴平行于轴， 且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， ∵四边形的周长，且都是定长， ∴的值最小时，即四边形的周长最小， 则在抛物线中，令，则， ， 令，则， 解得：或， ，， 由平移的性质可得： 点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， ∵点在点下方，且． ∴ 故选：B． 4．如图，抛物线过点，与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，连接AC，BC，点D是第四象限内抛物线上的一点，连接AD，CD，AD交BC于点P．当的值最小时，点D的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线过点，代入抛物线得： ∴，解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 当时，；当时，解得或6， ∴； 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 如图：过点A作x轴的平行线交的延长线于点E，过点D作交的延长线于点F，即， ∵和等高， ∴， ∵轴， ∴，代入直线的函数表达式得： ，解得：， ∴， ∴为定值． ∴要使的值最小，则的长最大． 设直线的函数表达式为，，则， ∴直线的函数表达式为， 令，则， ∴， ∴当时，的长最大，的值最小，此时点D的坐标为． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，中，，，则点的坐标为 ；若点，分别是的边，上的动点，且，当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：作轴于点D，则， ∵点，中，，， ∴ ∴ ∵， ∴，解得， ∴， ∴点D的坐标是， ∴点B的坐标是， 将线段绕点A逆时针旋转得到线段，作轴于点H，则， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 连接交于点P，连接， 设直线的函数解析式为， 则，解得， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到，解得， ∴点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴当点E与点P重合时，取得最小值， ∴当的值最小时，点的坐标为， 故答案为：， 6．在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点， 则，，， ∴， 过点作的平行线，由图可知线段在直线上方， 故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值， 设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且． 将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线， 将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， 的值最小就是最小值， 显然点在直线上运动， 作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， 点关于直线对称的对称的点是点，， ， ， 设直线的解析式是：， 由，的坐标得，直线的解析式是：， 令，解得：， ， 平移的距离是， 又， 平移前的抛物线的顶点坐标是， 新抛物线的顶点坐标为， 故答案为：，． 8．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线第一象限上的一点，连接，交于点E，D是上一点且．当的值最小时，P点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴，，， ∴，， 过点作轴，使， 则：，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，此时与抛物线的交点即为点， 设直线的解析式为：，则：， 解得：， ∴， 联立，解得：或（舍去） ∴； 故答案为：． 9． 与x轴最多有一个交点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解： 抛物线与轴最多有一个交点，且抛物线开口向上， 抛物线的顶点坐标在轴上方或在轴上， 当时，， ， ， 即 ， ， 的最小值为3， 故答案为：3． 10．已知二次函数的图象与轴最多有一个公共点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的图象与轴最多有一个公共点， ∴， 解得：， 由， 当时，则时，取最小值， ∴，解得； 当时，则时，取最小值， ∴，解得，舍去； 当时，则时，取最小值， ∴， 无实数根； 故答案为：． 11．已知函数，设实数，，满足，，当取，，时，对应的函数值分别为，，．当的值最小时，则 ． 【答案】3 【详解】设实数，，满足，， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取得最小值， 故答案为：3． 12．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，在上方作Rt△DCE，使，，点为的中点，连接，当最小时，的长为 .    【答案】3 【详解】解：连接，过点作于点，   ，点为的中点， ， ， ，，， ， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ，， ， ，， ， 设，则，，， 由勾股定理得：． 当时，有最小值为， 当最小时，的长为3， 故答案为：3． （建议用时：60分钟） 1．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，等边△ABC中，点D，E分别是边的中点，点是AD上的一个动点，当最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：等边△ABC中，点，分别是、的中点，如图，连接，与交于点， ，，， ， ， 即长就是的最小值， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为：D． 3．如图，已知，点分别是射线上的定点，为射线上的一动点，为射线上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、， ∴，此时的值最小， 由对称性可知，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，在△ABC中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上截取，连接，如图所示：   平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 当点、、在同一直线上，且时，， ， ， ， ， 故选：． 5．如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90° ∵O是EF的中点， ∴OB=OE=OF ∵∠EGF=90°，O是EF的中点， ∴OG=OE=OF ∴OB=OG=OE=OF ∴B，E，G，在以O为圆心的圆上， ∴∠EBG=∠EFG, ∵∠EGF=90°， EG=FG， ∴∠GEF=∠GFE=45° ∴∠EBG=45° ∴BG平分∠ABC， ∴点G在∠ABC的平分线上， 当CG⊥BG时，CG最小， 此时，如图2， ∵BG平分∠ABC， ∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°， ∵CG⊥BG ∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90° ∴BG=CG ∵∠EGF=∠BGC=90° ∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF, ∴∠EGB=∠FGC, 在△EGB和△FGC中， ∴△EGB≌△FGC(SAS)， ∴BE=CF ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC 设AB=m ∵BE∶AB=1∶3 ∴CF=BE=m， 在Rt△ABC中，∠BAC=60°， ∴∠ACB =30° ∴AC =2AB= 2m   ∴BC= ， ∴AD=m， ∴ 故选∶A． 6．如图，中，，，．点P为△ABC内一点，且满足．当的长度最小时，的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：取的中点为圆心，以长为半径画圆，当、、三点共线时，的长度最小，如图所示： 点P为内一点，且满足． ， ，， ， ， ， ， 为的中点， ， ， 的周长是， 故选：A． 7．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B、A两点，，D、E分别为线段和线段上一动点，交y轴于点H，且．当的值最小时，则H点的坐标为      【答案】 【详解】解：令，则， ∴， 令，则， 解得：， ∴， ∵， ∴， 取点连接． ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为线段的长， ∴当B，E，F共线时，的值最小， 设直线的解析式为：， 把，代入，得， 解得：， ∴， 当，则， ∴， ∴当的值最小时，则H点的坐标为． 8．如图，中，动点P，Q分别从点A，C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿向终点D，B运动，过点P，Q作直线l，过点B作直线l的垂线，垂足为E，当最小时，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，交于点O． 根据题意可得，又因， 根据平行线分线段成比例可得，交于点O． ∵为定长． ∴以为直径作，交于点H，则点E的轨迹为优弧． ∵为定角． ∴当最大时，最小． ∴与相切时，最大，最小．如图，点为切点． ∴． 又∵． ∴． 设，则． 在中，作，I为垂足，则， ∵， ∴ ∴在中， ∴在中，， ∵在中， ，． ∴． 故答案为：． 9．如图，△ABC中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则 °；当的周长最小时， °． 【答案】 40 【详解】解：∵三个内角，，的度数之比为， ∴， 故答案为：40； 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、， 、关于对称，、关于对称， ，， 当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小， 的周长最小， △ABC中，，，的度数之比为， ， 、关于对称，、关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 10．如图，△ABC是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，连接， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值为， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 在中，根据勾股定理，得 ． 当最小时，则． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$