2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中检测模拟卷02（考试版A4+全解全析+参考答案）【考试范围：第16-18章】

2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中检测模拟卷02 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：第16-18章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B C D B A D D 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）． 12．（3分）或3． 13．（3分）． 14．（3分）17． 15．（3分）①②． 16．（3分）3；． 三．解答题（本大题有9小题，共72分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 17．（4分）解：原式 ． 18．（4分）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， 平行四边形是矩形． 19．（6分）解：（1）① ， ； ② ； （2）①，， ，， ① ， ； ② ． 20．（6分）解：（1）根据题意，，， ， ， 解得， 故的长度为3米． （2）距离旗杆底部5.5米处有被砸伤的风险；理由如下： 根据（1）得，， ， ， ， ，， 且， ， 故有危险． 21．（8分）解：（1）①以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ②以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点； 如图所示即为所求； （2）由尺规作的角平分线的过程可得： ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 22．（10分）（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 23．（10分）（1）证明：平分， ． ， ， ； （2）与之间的数量关系为：．理由： ， 设，则， 由（1）知：， ， ， ． ， ， ， ． ； （3）①当点在点的下方时，如图， ， 设，则， ． 由（1）知：， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 设，则， ． 由（1）知：， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ． 综上，的值为5或． 24．（12分）解：（1）在等边△中，， ， ， ， ， ， ， ； （2）△是等边三角形．理由如下： 由（1）可得， ， ， ， ， △ 是等边三角形． 25．（12分）解：（1），分别为，的中点， ，， ，， ， ， ，， ； 故答案为：，； （2），， 证明：延长到，使，连接，， 为的中点， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， 延长交于点， ， ， ， ， ， 即，； （3）延长到，使，连接，，取的中点，连接，， 同（2）可知为等腰直角三角形，， ， 由（2）可知，， ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，， ， 为等腰直角三角形， ． 故答案为：； 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中检测模拟卷02 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：第16-18章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（3分）要使二次根式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）如图，在中，是对角线上一点，过点作，与和分别交于点和点，连结，．已知，，，则阴影部分的面积和是　　 A． B． C．5 D．10 4．（3分）计算的值为　　 A．1 B． C． D． 5．（3分）若的三边长分别为，，，则下列条件中能判定是直角三角形的有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（3分）下列命题是真命题的是　　 A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形 7．（3分）已知，如图在中，、是两边的中点，若，则的长是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 8．（3分）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，若，，则矩形的周长为　　 A．24 B．16 C．12 D．8 9．（3分）如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．（3分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为　　 A．77个 B．80个 C．85个 D．109个 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）化简的结果为 　　． 12．（3分）在平面直角坐标系中，已知，，线段平行于轴，且，则　　． 13．（3分）如图，已知△的周长为，连接△的三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形的三边的中点构成第3个三角形，，依次类推，则第2023个三角形的周长为　　． 14．（3分）已知，则　　． 15．（3分）如图，正方形的边长为1，点是边上一动点（不与点，重合），过点作交正方形外角的平分线于点，交于点，连接．有下列结论：①；；③．其中正确的是 　　．（把正确结论的序号都填上） 16．（3分）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当　　时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 　　． 三．解答题（本大题有9小题，共72分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 17．（4分）计算：． 18．（4分）如图，四边形为平行四边形，是的中点，连接并延长交的延长线于点，且． 求证：四边形是矩形． 19．（6分）（1）计算 ①； ②． （2）已知：，，求下列各式的值． ①； ②． 20．（6分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一条明显的裂痕，将旗杆处修复后，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部5.5米处是否有被砸伤的风险？ 21．（8分）如图，在平行四边形中． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，若，求的长． 22．（10分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 23．（10分）如图1，在四边形中，，平分交于点． （1）求证：； （2）如图2，线段与的延长线相交于点，连接，过点作交于点，若，猜想与之间的数量关系并证明； （3）如图3所示，点是线段上一点，，若线段上有一点，满足，，在直线上取一点，使得，求的值． 24．（12分）如图，在△中，，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边△，且使点与点位于直线的同侧，． （1）求的度数； （2）点在上，连接，，请判断△是否是等边三角形，并说明理由． 25．（12分）在中，，． （1）如图1，点，分别在，上，，连接，，，分别为，的中点，请直接写出和的数量关系是 　　，位置关系是 　　； （2）如图2，是内一点，为等腰直角三角形，，连接，，点为的中点，连接，判断与的关系并证明； （3）如图3，是外一点，为等腰直角三角形，，点为的中点，连接，，已知，直接写出的值为 　　． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级下学期期中检测模拟卷02 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 考试范围：第16-18章 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（3分）要使二次根式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数，解不等式得到答案． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【考点评析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用二次根式的性质及分母有理化逐一判断即可求解． 【规范解答】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，不是最简二次根式，故不符合题意； 、，不是最简二次根式，故不符合题意； 、，不是最简二次根式，故不符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键． 3．（3分）如图，在中，是对角线上一点，过点作，与和分别交于点和点，连结，．已知，，，则阴影部分的面积和是　　 A． B． C．5 D．10 【思路点拨】过点作，交于，交于，过点作于，易证，，，得出四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形，则，，，，得出，，求出，，由即可得出结果． 【规范解答】解：过点作，交于，交于，过点作于，如图所示： 四边形是平行四边形，，， ，，， 四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，即， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、三角函数定义、三角形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 4．（3分）计算的值为　　 A．1 B． C． D． 【思路点拨】逆用积的乘方公式计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 故选：． 【考点评析】． 5．（3分）若的三边长分别为，，，则下列条件中能判定是直角三角形的有　　 ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据三角形内角和定理求出最大的内角，即可判断①②，根据勾股定理的逆定理判断③④即可． 【规范解答】解：①， ， ， ， ， 是直角三角形， ②，， 最大角， 不是直角三角形， ③， 整理得：， 所以是直角三角形， ④， 所以， 所以是直角三角形， 即能判断是直角三角形的有3个， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：①如果一个三角形的两边、平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形内角和等于． 6．（3分）下列命题是真命题的是　　 A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形 【思路点拨】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定定理判断即可． 【规范解答】解：选项有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以此项错误，不符合题意； 选项有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此项错误，不符合题意； 选项对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以此项错误，不符合题意； 选项对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此项正确，符合题意． 故选：． 【考点评析】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理是解决本题的关键． 7．（3分）已知，如图在中，、是两边的中点，若，则的长是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】根据三角形中位线定理计算即可． 【规范解答】解：、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：． 【考点评析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 8．（3分）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交、于点、，若，，则矩形的周长为　　 A．24 B．16 C．12 D．8 【思路点拨】连接，设交于点，由垂直平分，得，由矩形的性质得，则，可证明△△，得，所以，求得，，所以，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：连接，设交于点， 垂直平分， ， 四边形是矩形， ，， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， ，， ， ， 矩形的周长为24， 故选：． 【考点评析】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（3分）如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由正方形的性质得，，则，，所以，而，则，再证明，得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 10．（3分）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆按此规律排列，则第⑧个图形中小圆圈的个数为　　 A．77个 B．80个 C．85个 D．109个 【思路点拨】观察图形特点，从中找出规律，小圆圈的个数分别是，，，，，总结出其规律为，根据规律求解． 【规范解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第一个图形为：， 第二个图形为：， 第三个图形为：， 第四个图形为：， ， 所以第个图形为：， 当时，， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了学生分析问题、观察总结规律的能力．关键是通过观察分析得出规律． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）化简的结果为 　　． 【思路点拨】利用二次根式的性质，进行化简即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 12．（3分）在平面直角坐标系中，已知，，线段平行于轴，且，则　或3　． 【思路点拨】根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【规范解答】解：线段平行于轴，且， 点在点的左边或右边2个单位长度． 又点坐标为，点坐标为， 或， 即的值为或3． 故答案为：或3． 【考点评析】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 13．（3分）如图，已知△的周长为，连接△的三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形的三边的中点构成第3个三角形，，依次类推，则第2023个三角形的周长为　　． 【思路点拨】设、、分别是、、的中点，、、分别是、、的中点，则，，，则，，所以第个三角形的周长为，则第2023个三角形的周长为，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图，、、分别是、、的中点，△的周长为， ，，， ； 同理； 第个三角形的周长为， 第2023个三角形的周长为， 故答案为：． 【考点评析】此题重点考查三角形中位线定理、规律型图形的变化类问题的求解等知识与方法，通过探究，正确地找到第个三角形的周长与及的关系是解题的关键． 14．（3分）已知，则　17　． 【思路点拨】整理求值的代数式得到，利用整体代入的思想即可解决问题． 【规范解答】解：， 则 ． 故答案为：17． 【考点评析】本题考查了代数式求值，代数式求值题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 15．（3分）如图，正方形的边长为1，点是边上一动点（不与点，重合），过点作交正方形外角的平分线于点，交于点，连接．有下列结论：①；；③．其中正确的是 　①②　．（把正确结论的序号都填上） 【思路点拨】①在上截取，连接，则，△是等腰直角三角形，进而得，，再证明，由此可判定△和△全等，然后根据全等三角形的性质可对结论①进行判断； ②在△中，由勾股定理得：，再根据△和△全等得，由此可对结论②进行判断； ③假设，则，由，得△是等腰直角三角形，则，进而得，但根据已知条件无法判定，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：①在上截取，连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， 平分， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 即， ， ， ， 在△中，， ， 在△和△中， ， △△， ， 故结论①正确； ②在△中，， 由勾股定理得：， △△， ， ， 故结论②正确； ③假设， ， ， 在△中，，， △是等腰直角三角形， ， ， ， 根据已知条件无法判定， 故结论③不正确， 综上所述：正确的结论是①②． 故答案为：①②． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 16．（3分）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当　3　时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 　　． 【思路点拨】当与点 重合时，设，则，，在中，由勾股定理得：即可解决；根据图形取中点，通过分析可知只有当、、 三点共线时，长度最大，利用勾股定理解决即可． 【规范解答】解：当与点 合时， 如图： 由于对称：， 设，则，， 在中， 由勾股定理得：； ， 则； 如图：取中点， ， 由题意知，无论如何变动，经过点， 连接、、， 在△中， 四边形关于对称得到四边形， ，故只有当、、 三点共线时、长度最大， 此时， 过点作，，， 在 中，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：3；． 【考点评析】本题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用，属于综合题，理解题意是解决问题的关键． 三．解答题（本大题有9小题，共72分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 17．（4分）计算：． 【思路点拨】先算乘除，再化为最简二次根式，合并同类二次根式． 【规范解答】解：原式 ． 【考点评析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除法法则和化为最简二次根式，合并同类二次根式的方法． 18．（4分）如图，四边形为平行四边形，是的中点，连接并延长交的延长线于点，且． 求证：四边形是矩形． 【思路点拨】证，得，，再证四边形是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得，则，即可得出结论． 【规范解答】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， 平行四边形是矩形． 【考点评析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 19．（6分）（1）计算 ①； ②． （2）已知：，，求下列各式的值． ①； ②． 【思路点拨】（1）①根据二次根式混合运算的法则，先化简各二次根式，再进行二次根式乘法计算后合并即可，②先运用乘法公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式得加减法； （2）根据已知条件求得和，然后将所求多项式因式分解后代入数据即可求解． 【规范解答】解：（1）① ， ； ② ； （2）①，， ，， ① ， ； ② ． 【考点评析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及求代数的值，熟练掌握二次根式的运算法则以及公式法因式分解是解题的关键． 20．（6分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为． （1）求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一条明显的裂痕，将旗杆处修复后，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部5.5米处是否有被砸伤的风险？ 【思路点拨】（1）根据题意，，结合，代入计算即可； （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【规范解答】解：（1）根据题意，，， ， ， 解得， 故的长度为3米． （2）距离旗杆底部5.5米处有被砸伤的风险；理由如下： 根据（1）得，， ， ， ， ，， 且， ， 故有危险． 【考点评析】本题考查的是勾股定理的应用，从实际问题中构建直角三角形是解答本题的关键． 21．（8分）如图，在平行四边形中． （1）用直尺和圆规作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，若，求的长． 【思路点拨】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据角平分线的作法得出，，再由平行线的性质得出，确定，再由等角对等边即可得出结果． 【规范解答】解：（1）①以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ②以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点； 如图所示即为所求； （2）由尺规作的角平分线的过程可得： ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查角平分线的作法及平行四边形的性质，等角对等边等，理解题意，熟练掌握角平分线的作法是解题关键． 22．（10分）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【思路点拨】（1）根据矩形的性质得出，，，求出，再根据菱形的判定得出即可； （2）根据菱形的性质得出，，，求出长，再求出菱形的面积即可． 【规范解答】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， ， 四边形的面积． 【考点评析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，三角形的中位线等知识点，能熟记矩形的性质和菱形的判定是解此题的关键． 23．（10分）如图1，在四边形中，，平分交于点． （1）求证：； （2）如图2，线段与的延长线相交于点，连接，过点作交于点，若，猜想与之间的数量关系并证明； （3）如图3所示，点是线段上一点，，若线段上有一点，满足，，在直线上取一点，使得，求的值． 【思路点拨】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质解答即可； （2）设，则，利用（1）的结论和三角形的内角和定理求得，进而得到，代入中，结论可求； （3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当点在点的下方时，设，则，，利用等腰三角形的性质和平行线的性质得到，再利用已知条件求得，，结论可得；②当点在线段上时，利用①的方法解答即可． 【规范解答】（1）证明：平分， ． ， ， ； （2）与之间的数量关系为：．理由： ， 设，则， 由（1）知：， ， ， ． ， ， ， ． ； （3）①当点在点的下方时，如图， ， 设，则， ． 由（1）知：， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ； ②当点在线段上时，如图， ， 设，则， ． 由（1）知：， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ． 综上，的值为5或． 【考点评析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和定理，正确利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 24．（12分）如图，在△中，，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边△，且使点与点位于直线的同侧，． （1）求的度数； （2）点在上，连接，，请判断△是否是等边三角形，并说明理由． 【思路点拨】（1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可． 【规范解答】解：（1）在等边△中，， ， ， ， ， ， ， ； （2）△是等边三角形．理由如下： 由（1）可得， ， ， ， ， △ 是等边三角形． 【考点评析】此题考查了等边三角的判定与性质、三角形内角和定理，熟记等边三角的判定与性质、三角形内角和定理是解题的关键． 25．（12分）在中，，． （1）如图1，点，分别在，上，，连接，，，分别为，的中点，请直接写出和的数量关系是 　　，位置关系是 　　； （2）如图2，是内一点，为等腰直角三角形，，连接，，点为的中点，连接，判断与的关系并证明； （3）如图3，是外一点，为等腰直角三角形，，点为的中点，连接，，已知，直接写出的值为 　　． 【思路点拨】（1）由三角形中位线定理得出，，证出，则可得出结论； （2）延长到，使，连接，，证明，得出，，延长交于点，证出，则可得出结论； （3）延长到，使，连接，，取的中点，连接，，由（2）证出为等腰直角三角形，则可得出答案． 【规范解答】解：（1），分别为，的中点， ，， ，， ， ， ，， ； 故答案为：，； （2），， 证明：延长到，使，连接，， 为的中点， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， 延长交于点， ， ， ， ， ， 即，； （3）延长到，使，连接，，取的中点，连接，， 同（2）可知为等腰直角三角形，， ， 由（2）可知，， ，为，的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，， ， 为等腰直角三角形， ． 故答案为：； 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$