18.2.2菱形的性质（九大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

18.2.2菱形的性质（九大类型提分练） 类型一、菱形性质的理解 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）菱形具有而平行四边形没有的性质是（   ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形和平行四边形的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的性质是解题的关键．根据菱形和平行四边形的性质，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、对角相等，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直，菱形具有，平行四边形不具有，故此选项符合题意； C、对角线互相平分，菱形和平行四边形都具有，故此选项不符合题意； D、对角线相等，菱形和平行四边形都不具有，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）菱形和矩形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，利用矩形的性质和菱形的性质即可求解，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解决此题的关键． 【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分， ∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分， 故选：A． 3．（23-24八年级下·河南漯河·期中）下列性质中矩形具有而菱形不一定具有的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质与矩形的性质此题难度不大，注意熟练掌握菱形与矩形的性质定理．根据菱形的性质与矩形的性质，可求得答案． 【详解】两组对边分别相等：是矩形和菱形共同的性质； 两组对角分别相等：是矩形和菱形共同的性质； 两条对角线互相垂直：是菱形的性质，矩形不一定有； 两条对角线相等：是矩形的性质，菱形不一定有． 故选：D． 类型二、利用菱形的性质求角度 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，由菱形的性质可得，从而得出，再结合计算即可得解，熟练掌握菱形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余，直线三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，掌握菱形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据菱形的性质，，直角三角形两锐角互余的性质可求出，根据斜边中线等于斜边的一边可得是等腰三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则是直角三角形，且点是的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，即， 故答案为： ． 7．（21-22八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF，BF． (1)求证：； (2)若∠ADC=110°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠FDC=75°． 【分析】（1）连接BF，由线段垂直平分线的性质得AF=BF，再证△BCF≌△DCF（SAS），得BF=DF，即可得出结论； （2）由菱形的性质得∠DCA=∠DAC=35°，由AF=DF以及三角形的外角性质，得到∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°，据此求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接BF，如图所示： ∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF=BF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=DC，∠BCF=∠DCF， 在△BCF和△DCF中， ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴BF=DF， ∴AF=DF； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=110°， ∴AD=DC，∠DCA=∠DAC=(180°-∠ADC)=×70°=35°， ∵AF=DF， ∴∠FDA=∠DAC=35°， ∴∠DFC=∠FDA+∠DAC=70°， ∴∠FDC=180°-∠DFC-∠DCA=180°-70°-35°=75°． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明△BCF≌△DCF是解题的关键． 类型三、利用菱形的性质求线段的长 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 根据菱形对角线互相垂直平分得到，由此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点O，，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴菱形的边长为5， 故选：B． 9．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．16 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理的运用，关键是掌握：菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直平分．根据是的中位线，即可得到的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， 又点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长， 故答案选：B． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形为菱形，延长到，在内作射线，过点作于，若平分，，则对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，过点作于， 可证明，得到，再根据菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，四边形是菱形，对角线相交于点，且． (1)求菱形的周长； (2)若，求的长． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长； （2）利用勾股定理可求出的长，进而解答即可． 本题主要考查菱形的性质，能够利用勾股定理求出的长是解题关键． 【详解】（1）解： 四边形是菱形，， 则 菱形的周长为8； （2）解：四边形是菱形，， ，， ， ． 12．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，过点A作于E． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理等知识， （1）首先根据菱形的性质得到，，，然后利用菱形的面积求解即可； （2）首先得到，，然后根据勾股定理求出，然后利用代数求解即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴，，， 又， ∴， 解得：； （2）∵四边形是菱形， ∴，， 根据勾股定理可知：， 又， ∴， ∴． 类型四、利用菱形的性质求面积 13．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故选：D． 14．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可得，，，由垂线的性质可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据可得，于是得解． 【详解】解：四边形是菱形，，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 是菱形的高， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，垂线的性质，勾股定理，利用菱形的性质求面积，等式的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可求出的长，进而根据菱形面积计算公式求出的长，则由勾股定理可求出的长，再由平行线间距离处处相等得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由菱形的性质可得， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，从而得到，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 17．（22-23八年级下·广西贺州·期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点．    (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，继而可得菱形对角线长，再由菱形面积公式求出面积即可． 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ． 平行四边形是矩形； （2）∵四边形OBEC是矩形， ∴，， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键． 类型五、菱形与坐标 18．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平而直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形与坐标，菱形的性质，勾股定理及含的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．过点E作轴于点F，先证明是正三角形，得到，，再根据由直角三角形的性质求出，，进一步可得，即得答案． 【详解】过点E作轴于点F， 四边形为菱形， ，， ， 是正三角形， ，， ， 在中，， ， ，， 对角线交点的坐标为． 故选：D． 19．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、勾股定理、菱形的性质，由勾股定理可得，结合菱形的性质可得，，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点C的坐标为， 故选：C． 类型六、菱形与作图问题 20．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，设交于点O．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于点O． 由作图可知：，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 21．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G． 与相交于点H，连接，． 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，连接，，，，根据作图可得四边形为菱形，从而得到，过点作交于点，根据勾股定理求出，同理可得，得到，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，，，，如图： 由题意得：， ∴四边形为菱形， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 过点作交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 同理可得：， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中， ， 故答案为：． 22．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是的中点． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，与的延长线交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形．结合，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵． ∴四边形是矩形． 类型七、菱形与翻折问题 23．（24-25八年级上·山东东营·期末）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长．根据菱形及矩形的性质可得到的度数，从而根据直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 由折叠的性质可知，， 又， ， 在中，， 又，， ，， 中，， 故选：D． 24．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 【答案】或3 【分析】此题考查了菱形的性质、轴对称的性质、含角的直角三角形的性质等知识，分两种情况画出图象进行解答即可． 【详解】解：①若，如解图①，连接， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴，由折叠， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴， 过点E作，垂足为G， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②若，如解图②，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或3． 故答案为：或3 25．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）连接．可推出是等边三角形，根据是的中点，推出即可求证； （2）由题意得．推出；设，则．根据，即可求解； 【详解】（1）证明：如答图，连接． 四边形是菱形，， 是等边三角形． 是的中点， ，即， ， 即是直角三角形． （2）解：由（1）可知，是等边三角形，是的中点． ． 在中，由勾股定理可得 翻折至， ． 设，则． 在中，， 即， 解得， 即． 类型八、菱形的最值问题 26．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质与判定、最短路径问题，熟练掌握以上知识点，利用等边三角形的性质证出是解题的关键．连接、，连接交于点，由菱形的性质和可得出是等边三角形，进而得出垂直平分，得到，则有，再证出，利用全等三角形的性质求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，连接、，连接交于点， 菱形，，， ，，，， 是等边三角形， ， 又E，F分别为边和的中点， ，垂直平分， 点P是上一动点， ， 在和中， ， ， ， ， 当三点共线时，有最小值4． 故答案为：4． 27．（19-20八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接，，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知当，K，Q共线，时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，过点作于， 则， ∴当，K，Q共线，时，的最小值， ∵四边形是菱形， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ， 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键． 类型九、菱形的性质综合问题 28．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点F、H在菱形的对角线上，，点E、G分别在菱形的边上，且，． (1)求证：四边形为矩形． (2)若E为中点，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等： （1）先由菱形的性质推出，，进而证明得到，进一步证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形； （2）如图所示，连接，先证明四边形是平行四边形，得到，再由矩形的性质得到，则，据此根据菱形的周长计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵E为中点 ∴， 由（1）可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， . ∴菱形的周长． 29．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)不发生变化， 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）连接，证明，推出 可得结论； （2）利用全等三角形的性质得到四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）是，理由如下： 如图，连接，      ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）四边形的面积不发生变化， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 即四边形的面积是边长为2的等边三角形的面积， ∴不发生变化，    过点A作于点H， 由（1）得：是等边三角形，则有：， 在中，由勾股定理得：， ∴ 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据菱形的性质可得：，，推出、是等边三角形，得到，，证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 、是等边三角形， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2023·河南信阳·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据中位线定理可得，由菱形的面积可得，进而可求出，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴ ∵点，分别是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：D 【点睛】本题综合考查了菱形的性质、中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等．熟记相关结论是解题关键． 3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据菱形的性质得，其中，然后设，可表示，根据勾股定理得，进而得出接下来根据勾股定理列出方程，求出解即可得出答案． 【详解】如图所示，过点M作，交的延长线于点F， ∵四边形是菱形，且， ∴，其中． 在中，，设， ∴， 根据勾股定理，得． ∴， 根据折叠得， 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，．将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，…，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键； 发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移 (即)到点，根据点的坐标即可求解． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示； 由图可知：每翻转次，图形向右平移； ， 点向右平移 (即)到点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为； 故选：C 5．（19-20八年级下·湖北武汉·期中）菱形的边长为，，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据菱形的边长为，可得，由，可得是等边三角形，进而可求，再根据勾股定理分别求出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴在菱形中，， ∵点为的中点， ∴ ∴菱形的边长为1，即， ∵点在的延长线上，， ∴在菱形中，， 连接，交于点， ∴， ∴， ， ∴在菱形中， ， ∵， ∴在中，， ∵点为的中点， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；②根据菱形的对角线平分一组对角线可得，然后求出只有时平分，判断出②错误；③点H与点A重合时，设，则，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，点G与点A重合时，，求出，然后写出的取值范围，判断出③正确；④过点F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到，判断出④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∵将纸片沿直线折叠，点C落在边上的一点H处， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； ②∴， ∴只有时平分，故②错误； ③若点H与点A重合时，如图： 设，则， 在中，， 即， 解得：， 若点E与点D重合时，， ∴， ∴线段的取值范围为，故③错误； ④当点H与点A重合时，过点F作于M， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，，故④正确； 综上所述，结论正确的有①③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠问题，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）菱形的面积是，而对角线长之比是，则其边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质．设菱形的对角线分别为，，根据题意得：，求出，得到菱形的对角线分别为，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设菱形的对角线分别为，， 根据题意得：， 解得：（负值已舍去）， 菱形的对角线分别为，， 其边长是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的面积可得，进而由菱形的性质和勾股定理可得，得到，即得，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，突破点是证明是等边三角形．如图连接，首先证明是等边三角形，可得，再根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在菱形中，，点 、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论： ； ；；； 其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质；根据菱形的性质，利用证明即可判断①；根据得到，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明，判断不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④ 【详解】解：在菱形中，， 为等边三角形， ， 又， ，故①正确； ， ， ∴，故②正确； ， 则在和中， ， ，即， 不成立，故③错误； ，过点作，垂足为， ， ， 菱形的面积为： ，故④错误； 故正确的结论有①②， 故答案为：①②． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·期末）如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再证，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）由矩形的性质得，然后在中，由勾股定理得，求出，然后根据菱形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴． 12．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理； （1）根据对角线互相平分可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可证明四边形是矩形；       （2）根据菱形的性质得出，，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴，                      ∵， ∴四边形是平行四边形，      ∵四边形是菱形， ∴，即，       ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形，      ∴，，，， ∵ ， ∴，   ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 13．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，再根据菱形的性质得出，根据对边分别平行证明是平行四边形即可． （2）过点作，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：点，分别是，的中点， 是的中位线， ，则， 四边形是菱形， ，则， 四边形是平行四边形； （2）解：取的中点，连接， ， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在中，根据勾股定理得，． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题． 14．（18-19八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)能， (3)或，理由见解析 【分析】（）根据时间和速度表示出和的长，利用所对的直角边等于斜边的一半求出的长，可得，再证明即可求证； （）由（）知四边形为平行四边形，如果四边形能够成为菱形，则必有邻边相等，即，据此列方程求解即可； （）当为直角三角形时，有三种情况：①当时，②当时，③当时，分别找出等量关系列方程即可求出的值即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形能够成为菱形，理由如下： 由（）得，四边形为平行四边形， 若为菱形，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，四边形能够成为菱形； （3）解：分三种情况： ①当时，如图， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ； ②当时，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当不成立； 综上所述：当为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，，含角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，掌握以上知识点是解题的关键． 15．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图， 在菱形中，，点E，点F 分别在上．    (1)如图1，若点E， 点F 分别是的中点， 则 °； (2)如图2，若满足， 求证：是等边三角形． (3)如图3，若点E为的中点，，点G、点H 分别在，上，且，求和之间的数量关系． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质及平行四边形的判定与性质； （1）连接，得到都是等边三角形，根据三线合一性质求出即可； （2）连接，得到是等边三角形，证明，进而证明结论； （3）连接，过点B作交于点P，交于点Q，先证明，设，求出，，即可求出结论； 【详解】（1）解：连接，    在菱形中，， 都是等边三角形， ∴， 点E， 点F 分别是的中点， ， ； 故答案为：60； （2）证明：如图2，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中，   ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （3）如图3，连接，过点B作交于点P，交于点Q，    在菱形中，， 四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴在和中，   ，   ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， 设， ∴  ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∵  ， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2.2菱形的性质（九大类型提分练） 类型一、菱形性质的理解 1．（24-25九年级上·广东清远·期末）菱形具有而平行四边形没有的性质是（   ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）菱形和矩形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 3．（23-24八年级下·河南漯河·期中）下列性质中矩形具有而菱形不一定具有的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 类型二、利用菱形的性质求角度 4．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）如图，在菱形中，对角线与交于点Ｏ，，垂足为E，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则的度数为 ． 7．（21-22八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF，BF． (1)求证：； (2)若∠ADC=110°，求的度数． 类型三、利用菱形的性质求线段的长 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知菱形的对角线和交于点O，且，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2025·甘肃定西·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，点为的中点．若，则菱形的周长为（   ） A．4 B．16 C．12 D．20 10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形为菱形，延长到，在内作射线，过点作于，若平分，，则对角线的长为 ． 11．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图所示，四边形是菱形，对角线相交于点，且． (1)求菱形的周长； (2)若，求的长． 12．（23-24八年级下·河南安阳·期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，过点A作于E． (1)求的长； (2)求的长． 类型四、利用菱形的性质求面积 13．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）一个菱形的两条对角线的长分别是10和，则这个菱形的面积为（） A． B． C．35 D． 14．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（    ） A．3 B．4 C． D． 15．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，在菱形中，对角线和相交于点，，，于点H，则的面积为 ． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． (1)求证：四边形的为矩形； (2)若，，求菱形的面积． 17．（22-23八年级下·广西贺州·期末）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点．    (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求菱形的面积． 类型五、菱形与坐标 18．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，在平而直角坐标系中，四边形为菱形，，，，则对角线交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 类型六、菱形与作图问题 20．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，，则的长为 ． 21．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两相交于点E，F，连接，相交于点G． 与相交于点H，连接，． 则的长为 ． 22．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是的中点． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，与的延长线交于点，连接．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求证：四边形是矩形． 类型七、菱形与翻折问题 23．（24-25八年级上·山东东营·期末）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 24．（24-25九年级下·辽宁·开学考试）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为 ． 25．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，分别是边上一点，将菱形沿折叠，当点落在的中点处时，连接． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 类型八、菱形的最值问题 26．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 27．（19-20八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 类型九、菱形的性质综合问题 28．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，点F、H在菱形的对角线上，，点E、G分别在菱形的边上，且，． (1)求证：四边形为矩形． (2)若E为中点，，求菱形的周长． 29．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知菱形的边长为2，，点、分别是边、上的两个动点，，连接． (1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由． (2)在运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明理由． 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南信阳·三模）如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　) A．3 B． C．2 D． 3．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在菱形中，，点M，N分别在和上，沿将折叠，点A恰好落在边上的点E处．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形，已知，点在轴上，．将菱形沿轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转次，点的落点依次为，，，…，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（19-20八年级下·湖北武汉·期中）菱形的边长为，，点为的中点，以为边作菱形，其中点在的延长线上，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在一张矩形纸片中，，，点E、F分别在，上，将纸片沿直线折叠，点C落在上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③线段的取值范围为； ④当点H与点A重合时，． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）菱形的面积是，而对角线长之比是，则其边长是 ． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 9．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在菱形中，°，，是边上的一点，分别是的中点，则线段的长为 ． 10．（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，在菱形中，，点 、分别为边、上的点，且，连接、交于点，连接交于点，则下列结论： ；；；； 其中正确的结论是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·期末）如图：在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求菱形的面积． 12．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 13．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 14．（18-19八年级下·湖南岳阳·期中）如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点运动的时间是秒（），过点作于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； (3)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 15．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图， 在菱形中，，点E，点F 分别在上．    (1)如图1，若点E， 点F 分别是的中点， 则 °； (2)如图2，若满足， 求证：是等边三角形． (3)如图3，若点E为的中点，，点G、点H 分别在，上，且，求和之间的数量关系． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$