第七章 复数（能力提升卷）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

第七章 复数（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一下·全国·课后作业）已知i为虚数单位，且，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】分子分母同时乘以，令虚部为0，即可得出结论. 【详解】解：因为， 所以当时，. 故选：B. 【点睛】本题考查复数运算求参数问题，属于基础题. 2．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（    ） A．2 B． C． D．－2 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，可得，根据复数的运算法则，即可得答案. 【详解】由题意得：， 所以， 又是纯虚数，所以， 解得， 故选：A. 【点睛】本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算，复数的分类，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 3．（2025·全国·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】设，,根据已知求出或即得解. 【详解】解：设，. 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 当时，方程组无解； 当时，没有实数解； 当时，, 所以或. 所以当时，； 当时，. 所以. 故选：B 4．（2025高一·全国·课后作业）复平面内正方形三个顶点分别对应复数，，，则另一个顶点对应的复数为（    ） A． B． C． D．，或 【答案】A 【分析】结合向量的知识，利用或者，求另一顶点对应的复数． 【详解】设复数，，对应的点分别为， 正方形的第四个顶点对应的复数为， 则， ． ∵， ∴,解得 故D点对应的复数为． 故选：A. 【点睛】本题考查复平面内点的表示及复数的运算问题，考查学生对于课本基本知识点的掌握程度，较易. 5．（2025高一下·安徽·阶段练习）已知复数z满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由复数相等，得出的关系式，消去得到关于的一元二次方程有实数解，利用，求解即可得出答案. 【详解】设，则， 整理得：, 所以，消去得, 因为方程有解，所以，解得：. 故选：D. 6．（2025高一·全国·课后作业）已知复数，，并且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得，消去m，可得的表达式，根据的范围，结合二次函数图像与性质，即可求得的取值范围. 【详解】由，得， 消去m，得λ＝4sin2θ－3sin θ＝， 由于－1≤sin θ≤1， 所以当时，有最小值为， 所以当时，有最大值为7， 所以， 故选：D 【点睛】本题考查根据复数相等求参数、二次函数的图像与性质，难点在于将整理成关于的二次函数，并根据的范围，进行求解，考查分析理解，化简求值的能力，属中档题. 7．（2025高一·上海·课后作业）满足+=2n的最小自然数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由复数的乘方与除法则化简后然后代入值验证． 【详解】因为，， 所以 ， 时，原式＝， 时，原式＝， 时，原式＝，满足题意． 故选：C． 8．（24-25高二上·上海·期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答. 【详解】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为， 则有，即，即有，，， 方程化为，方程有两个纯虚数根为， 方程化为：， 整理得，于是得或， 因此方程有两个纯虚数根， 而方程中，， 因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根， 所以选项A正确，选项B，C，D均不正确. 故选：A 【点睛】思路点睛：复数问题，常设出复数的代数形式，再利用复数及相关运算，探讨关系式求解. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高三·全国·专题练习）下面四个命题中的真命题为（    ） A．若复数满足，则 B．若复数满足，则 C．若复数，满足，则 D．若复数，则 【答案】AD 【分析】A选项，设，，根据得到，从而；BC选项，可举出反例；D选项，由，得到，D正确. 【详解】A选项，设，，则，故， 则，故A为真命题； B选项，复数满足，但，故命题B为假命题； C选项，若复数，满足，但，故命题C为假命题； D选项，若复数，则，故D为真命题. 故选：AD 10．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案. 【详解】A选项，，A选项正确. B选项，，B选项错误. C选项，， ， 若，则，解得，所以C选项正确. D选项，当时，，所以D选项错误. 故选：AC 11．（24-25高一下·山东聊城·期末）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．若，记为方程的一个虚数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先利用配方法求得复数根，再利用复数的运算法则求解即可. 【详解】令，得或， 由，得，所以，则， 所以是的两个复数根， 对于A，因为为方程的一个虚数根，即满足， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为与互为共轭复数， 所以，故C正确； 对于D，由，得， 若，则， 若，则， 综上：，故D正确. 故选：ACD. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025·江苏南通·一模）若复数(为虚数单位，)满足，则= ． 【答案】． 【详解】分析：由题意结合复数模的运算法则得到关于a的方程，解方程即可求得最终结果. 详解：由题意结合复数的运算法则可得：，即： ，解得：. 点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算公式与运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13．（24-25高一下·上海长宁·期末）若复数和复数满足，则 ． 【答案】 【分析】设，根据复数的运算即可求解. 【详解】设， 且， 则， 又，所以， 也即，则， 因为， 所以 故答案为：. 14．（2025高一·全国·课后作业）已知是实系数一元二次方程的根，则 ， ． 【答案】 【分析】先利用复数的四则运算求得的值，再利用韦达定理得到关于的方程组，解之即可. 【详解】因为， 所以方程的另一根为， 由韦达定理得，解得， 经检验，当时，方程的两根为与，满足题意， 所以. 故答案为：；. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高三上·河南·阶段练习）已知复数的共轭复数为. （1）若，求：； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)利用复数模、共轭复数的意义结合复数乘法运算计算即得； (2)利用共轭复数的意义及复数相等建立关系，再结合复数的几何意义列式计算即得. 【详解】(1)依题意，，，则， 于是得， 所以； (2)由(1)及得：，即，则， 因为在复平面内对应的点在第四象限，于是得，解得， 所以的取值范围为. 16．（24-25高一下·山东青岛·期中）在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，． （1）求，及，； （2）设，求． 【答案】（1），；，；（2）. 【分析】（1）因为，再根据复数的几何意义可知向量的坐标，再表示的坐标，再根据向量模的计算公式计算； （2）分别求向量和的坐标，再根据夹角公式计算. 【详解】解：（1）因为 所以所对应的复数 所以， 因为 所以所对应的复数 所以， （2）由题 因为， 所以， ， 所以 【点睛】本题考查复数，向量，以及坐标的关系，向量数量积的坐标表示，重点考查定义，公式，属于基础题型，本题的关键是理解向量坐标和复数的几何意义的关系. 17．（24-25高二下·上海虹口·期末）已知复数（i是虚数单位）是关于x的实系数方程根. (1)求的值； (2)复数满足是实数，且，求复数的值. 【答案】(1) (2) 或. 【分析】（1）实系数方程虚根是互为共轭复数的，得出另一根为，根据韦达定理即可得解. (2) 设,由是实数，得出关于的方程 ，又得的另一个方程，联立即可解得的值，即得解. 【详解】（1）实系数方程虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是，根据韦达定理可得. （2）设 ，得 又得,所以或，因此或w=. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（24-25高一下·福建·期中）已知O为坐标原点，向量分别对应复数，且和均为实数，，（为的共轭复数）. (1)求复数和； (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）设，根据复数代数形式的加法、除法运算法则化简 、，再根据复数的类型求出参数、，即可求出，再化简，从而求出其模； （2）首先根据复数的几何意义求出、的坐标，即可求出，从而求出平行四边形的面积； 【详解】（1）解：设，则由为实数，，． 则由为实数，可得， ，所以，，所以 （2）解：因为 ，，所以、，所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积． 19．（2025高一·上海·课后作业）设为方程，（）的两个根，， （1）求的解析式； （2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值. 【答案】（1）；（2）定值为，证明见解析. 【分析】（1）根据判别式讨论，根与系数之间的关系即可求解. （2）作出函数图象，证出函数的图象关于直线对称，根据图象以及对称性即可求解. 【详解】（1）， 若，即时， 为方程，（）的两个根， 则， 由根与系数的关系，得，， 因此， 当时，， 当时，， 当，即时， 方程的根为共轭复数，， 综上可得，； （2）作出的图象，如图： 当，函数关于直线对称， 当时，点关于直线对称点为， 由于，即 所以函数的图象关于直线对称 当时，为增函数，且； 当时，为减函数，且. 所以当，方程在区间上有唯一解， 在区间上也有唯一解， 则. 【点睛】关键点点睛：本题考查了方程的复数根，解题的关键是判断函数函数的图象关于直线对称，考查了分类讨论的思想. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 复数（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2025高一下·全国·课后作业）已知i为虚数单位，且，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则（    ） A．2 B． C． D．－2 3．（2025·全国·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C．3 D．5 4．（2025高一·全国·课后作业）复平面内正方形三个顶点分别对应复数，，，则另一个顶点对应的复数为（    ） A． B． C． D．，或 5．（2025高一下·安徽·阶段练习）已知复数z满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·课后作业）已知复数，，并且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·上海·课后作业）满足+=2n的最小自然数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二上·上海·期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2025高三·全国·专题练习）下面四个命题中的真命题为（    ） A．若复数满足，则 B．若复数满足，则 C．若复数，满足，则 D．若复数，则 10．（24-25高三上·河北唐山·期末）已知为虚数单位，复数，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．（24-25高一下·山东聊城·期末）代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础作用．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有个复数根（重根按重数计）．若，记为方程的一个虚数根，则（    ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2025·江苏南通·一模）若复数(为虚数单位，)满足，则= ． 13．（24-25高一下·上海长宁·期末）若复数和复数满足，则 ． 14．（2025高一·全国·课后作业）已知是实系数一元二次方程的根，则 ， ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2025高三上·河南·阶段练习）已知复数的共轭复数为. （1）若，求：； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围. 16．（24-25高一下·山东青岛·期中）在复平面内，平行四边形的顶点，，，对应复数分别为，，． （1）求，及，； （2）设，求． 17．（24-25高二下·上海虹口·期末）已知复数（i是虚数单位）是关于x的实系数方程根. (1)求的值； (2)复数满足是实数，且，求复数的值. 18．（24-25高一下·福建·期中）已知O为坐标原点，向量分别对应复数，且和均为实数，，（为的共轭复数）. (1)求复数和； (2)求以为邻边的平行四边形的面积. 19．（2025高一·上海·课后作业）设为方程，（）的两个根，， （1）求的解析式； （2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$