精品解析：贵州省六盘水市钟山区2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试题

六盘水市钟山区2024-2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，所有答案必须填涂或书写在答题卡上规定的位置，否则无效．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示是年六盘水市马拉松领奖台示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 东风快递，使命必达！我国“型”洲际弹道导弹，俗称“东风快递”，速度极快，能达到马赫以上．即导弹每秒飞行米左右．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，将一把直尺和一块三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 2 6. 万达广场某品牌运动鞋专卖店的老板收集了一周内不同鞋码运动鞋的销售情况，如下表： 鞋码（码） 平均每天销售量（双） 假如每双鞋的利润相同，下列统计量中专卖店老板最关心的是（ ） A 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在六盘水市“六个强化”政策保障下，我市快递业务投递量不断增加．某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求现在平均每人每周投递快件多少件？设现在平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知，（且），，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 因式分解：a2﹣3a=_______． 14. 若，则________； 15. 太阳运行的轨道近似一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为份，每度就是一个节气，统称“二十四节气”这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，将黄道制作成一个转盘，任意转动一次转盘，指针落在每一个区域的可能性相同，则任意转动一次转盘，指针落在“冬至”区域的概率是________． 16. 如图，在矩形中，，点E为的中点，点F是边上一点，且．连接，将沿折叠，若点C的对应点P恰好落在上，则a的值为________． 三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似，且与的位似比为，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． 19. 某中学将在九年级开展社会实践活动，为了解学生在本市参加社会实践活动选择意向，在九年级的每个班中随机抽取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图． 调查问卷 在下面四个选项中，你最想去的是（ ）（单选） 选项 人数 A．梅花山 B．国学馆 C．百车河 D．野玉海 参加社会实践活动意向问卷调查扇形统计图 根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计图表中的________， ； （2）如果该校九年级学生共有人，估计九年级学生最想去“野玉海”的有多少人？ （3）学校根据调查结果选出一个地点作为社会实践活动点．为方便管理，从甲、乙、丙、丁名学生中随机抽取名学生作为此次社会实践活动带队老师的助手，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、丁名学生的概率． 20. 如图，在矩形中，，，，分别是，，，的平分线． （1）求证：四边形为正方形； （2）若，，求的长． 21. 为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）． （1）求每辆，车型各有多少个座位？ （2）要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？ 22. 如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，运动速度分别为和． （1）当为何值时，点，相距； （2）当为何值时，与相似． 23. 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． （1）三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） （2）三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； （3）某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 24. 综合与实践 （1）【猜想】是否存在面积和周长都相等的长方形？________；（填“存在”或“不存在”） （2）【验证】设长方形的长和宽分别为，，是否存在面积和周长都等于的长方形，请说明理由； （3）【拓广】若存在面积和周长都相等长方形，则这个长方形的面积（或周长）应满足什么条件？请说明理由． 25. 已知：直线为等腰直角的对称轴． （1）【问题解决】如图①，直接写出的度数为________； （2）【问题探究】如图②，将线段在直线l上平移，得到的对应线段记为，过点N作，垂足为点P．连接与交于点G．求证：； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线l上运动，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六盘水市钟山区2024-2025学年度第一学期期末质量监测 九年级数学试题卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本试卷包括试题卷和答题卡，所有答案必须填涂或书写在答题卡上规定的位置，否则无效．考试结束后，试题卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”． 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 如图所示是年六盘水市马拉松领奖台示意图，则此领奖台的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的画法．根据俯视图的画法即可解决，注意看得见的轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线． 【详解】解：由题意可得此领奖台的俯视图是， 故选：B． 3. 东风快递，使命必达！我国“型”洲际弹道导弹，俗称“东风快递”，速度极快，能达到马赫以上．即导弹每秒飞行米左右．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了较大数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如图所示，将一把直尺和一块三角板按如图方式摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行线的性质和角度的和差求解即可． 【详解】解：如图，由题意得， ∴， 由三角板可得， ∴， 故选：D． 5. 如图，在中，，若，则的长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 6. 万达广场某品牌运动鞋专卖店的老板收集了一周内不同鞋码运动鞋的销售情况，如下表： 鞋码（码） 平均每天销售量（双） 假如每双鞋的利润相同，下列统计量中专卖店老板最关心的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．利用销量大的尺码就是这组数据的众数即可解答． 【详解】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数， 又根据题意，每双鞋的销售利润相同， 鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量， 所以该店主最应关注的销售数据是众数． 故选：C． 7. 如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键．利用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可解决． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，， ∴菱形的面积， 故选：B． 8. 在六盘水市“六个强化”政策保障下，我市快递业务投递量不断增加．某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求现在平均每人每周投递快件多少件？设现在平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列式并找到等量关系是解题的关键．设现在平均每人每周投递快件件，则原来平均每人每周投递快件件，可以得出现在和原来快递公司的快递员人数，利用“快递公司的快递员人数不变”即可列式作答． 【详解】解：设现在平均每人每周投递快件件， 则原来平均每人每周投递快件件， 根据题意得， 故选：D． 9. 周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据． 【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等， 即，， 则可判断四边形是平行四边形； 由②测量地板砖的两条对角线是否相等， 即， 则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形是矩形； 故选：A． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．分当时和当时，分别探究即可． 【详解】解：当时， 函数过第二、四象限，函数过第一、二、三象限， 没有选项符合条件； 当时， 函数过第一、三象限，函数过第一、二、四象限， 选项D符合题意； 故选：D． 11. 新定义运算：如图，在的正方形网格中，黑色格子表示0，白色格子表示1，每一行都按进行运算，其中x代表第几行，a表示每一行的第一个格子，b表示每一行的第二个格子，c表示每一行的第三个格子．例如：，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义，乘方的运算，理解新定义，利用公式求出即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 12. 已知，（且），，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，解题的关键是能根据求出的结果得出规律，再利用规律求解．分别求出，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【详解】解：∵（且）， ∴， ， ， ， ∴该数列每三个数就循环一次， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 因式分解：a2﹣3a=_______． 【答案】a（a﹣3） 【解析】 【分析】直接把公因式a提出来即可． 【详解】解：a2﹣3a=a（a﹣3）． 故答案为a（a﹣3）． 14. 若，则________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键．根据已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 15. 太阳运行的轨道近似一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为份，每度就是一个节气，统称“二十四节气”这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”．如图，将黄道制作成一个转盘，任意转动一次转盘，指针落在每一个区域的可能性相同，则任意转动一次转盘，指针落在“冬至”区域的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何概率，熟知概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．首先由图可得此转盘被平分成了等份，其中“冬至”区域有份，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵如图，此转盘被平分成了等份，其中“冬至”有份， ∴指针落在“冬至”区域的概率是：． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点E为的中点，点F是边上一点，且．连接，将沿折叠，若点C的对应点P恰好落在上，则a的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理等知识，根据矩形的性质、折叠的性质可得出，，根据证明，得出，，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 在矩形中，， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，，， 又， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值，二次根式，零指数幂，还考查了解一元二次方程，熟练掌握实数运算相关法则和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再进行计算； （2）利用配方法或公式法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∵，，，， ∴， ∴，， 即，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）以点为位似中心，在第一象限画出的位似，且与的位似比为，并写出点，，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）作图见解析，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系，坐标系中的位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）利用位似的性质得出，，，再连接即可解决； （2）利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作： 其中，，，； 【小问2详解】 解：． 19. 某中学将在九年级开展社会实践活动，为了解学生在本市参加社会实践活动的选择意向，在九年级的每个班中随机抽取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图． 调查问卷 在下面四个选项中，你最想去的是（ ）（单选） 选项 人数 A．梅花山 B．国学馆 C．百车河 D．野玉海 参加社会实践活动意向问卷调查扇形统计图 根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计图表中的________， ； （2）如果该校九年级学生共有人，估计九年级学生最想去“野玉海”的有多少人？ （3）学校根据调查结果选出一个地点作为社会实践活动点．为方便管理，从甲、乙、丙、丁名学生中随机抽取名学生作为此次社会实践活动带队老师的助手，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、丁名学生的概率． 【答案】（1）； （2）人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，树状图或列表求概率，熟练掌握条形统计图和扇形统计图的关联性是解题的关键． （1）由的人数和百分比可求得调查总人数，再利用的百分比求得，利用的人数求； （2）利用样本估计总体即可求解； （3）利用树状图或列表求概率即可． 【小问1详解】 解：由题可得调查总人数为（人）， 则（人）， ， 则， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：估计九年级学生最想去“野玉海”的有（人）， 答：估计九年级学生最想去“野玉海”的有人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中恰好选中甲、丁名学生的有种， 则恰好选中甲、丁名学生概率为． 20. 如图，在矩形中，，，，分别是，，，的平分线． （1）求证：四边形正方形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用矩形得，，利用角平分线得，易证，，，是等腰直角三角形，通过证，即可判定； （2）利用等腰直角三角形求得，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，分别是，，，的平分线， ∴， ∴，，，， ∴， ，，， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 为了丰富学生课外活动，某校组织九年级师生共人参观钟山区国学馆．学校向租车公司租赁，两种车型的车接送师生往返，若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位（每个座位限乘一人）． （1）求每辆，车型各有多少个座位？ （2）要使所租车辆刚好坐满（每人都有座位，且无空位）．请通过计算，列出有哪几种租车方案？ 【答案】（1）每辆型车有个座位，每辆型车有个座位 （2）有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位，根据“若租用型车辆，型车辆，则空余个座位；若租用型车辆，型车辆，则人没座位”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租辆型车，辆型车，根据租用的两种客车的总载客量是人，可列出关于，的二元一次方程，再结合，均为非负整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆型车有个座位，每辆型车有个座位； 【小问2详解】 解：设租辆型车，辆型车， 根据题意得：， ∴， 又∵，为非负整数， ∴或或， ∴有种租车方案，方案一：辆型车，不租型车；方案二：租辆型车，辆型车；方案三：租辆型车，辆型车． 22. 如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为秒，如果点，的运动速度分别为和． （1）当为何值时，点，相距； （2）当为何值时，与相似． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练列出相关数据，并根据勾股定理和相似列式是解题的关键． （1）先列出，，利用，列式求解即可； （2）利用当时和当时，分别列式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 即或； 【小问2详解】 解：当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 23. 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． （1）三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） （2）三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； （3）某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）28；； （2）不能 （3）一共能摆放20排 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是520，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【小问1详解】 解：三角点阵中前7行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行点数和不能是520； 【小问3详解】 解：同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 24. 综合与实践 （1）【猜想】是否存在面积和周长都相等的长方形？________；（填“存在”或“不存在”） （2）【验证】设长方形的长和宽分别为，，是否存在面积和周长都等于的长方形，请说明理由； （3）【拓广】若存在面积和周长都相等的长方形，则这个长方形的面积（或周长）应满足什么条件？请说明理由． 【答案】（1）存在 （2）存在，理由见解析 （3）大于或等于 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式，不等式的应用，熟练根据题意进行列式，并掌握一元二次方程的相关定义和性质是解题的关键． （1）先列式，再进行举例即可； （2）由面积和周长都等于，列出关于，的方程组，变形为一元二次方程，求解即可； （3）设长方形的长和宽分别为，，面积或周长为，由题意得可得，则可知、是关于的一元二次方程的两个解， 则只需满足，求解即可． 【小问1详解】 解：存在，理由如下： 设长方形的长和宽分别为，， 由面积和周长都相等， 得， 举例：当时，， 则存在面积和周长都相等的长方形， 故答案为：存在； 【小问2详解】 解：设长方形的长和宽分别为，， 由面积和周长都等于， ， 由②得， 代入①得， 化简得， 解得，， 当时，（长小于宽，舍）， 当时，， 则存在长为，宽为的长方形，其面积和周长都等于； 【小问3详解】 解：存，理由如下： 设长方形的长和宽分别为，， 由面积和周长都相等，设面积或周长为， 由题意得， 即， 则可知、是关于的一元二次方程的两个解， 则只需满足，其中， 即， 解得， 即这个长方形的面积（或周长）应大于或等于． 25. 已知：直线为等腰直角的对称轴． （1）【问题解决】如图①，直接写出的度数为________； （2）【问题探究】如图②，将线段在直线l上平移，得到的对应线段记为，过点N作，垂足为点P．连接与交于点G．求证：； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线l上运动，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或4 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质求解即可； （2）利用证明，得出，，进而证出，最后根据勾股定理求解即可； （3）分M在B的右侧和左侧讨论，然后根据勾股定理，角平分线的性质，等面积法等求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线为等腰直角的对称轴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴，， ∴，， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当M在B的右侧时，过P作于Q，过G作于H，于K， 设，则，， ∴， 由（2）知：，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当M在B的左侧时，过P作于Q，过G作于H，于K， 设，则，， ∴， 同理可求， ，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或4． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，添加合适辅助线是截图的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$