好，同学们，大家好。今天我们来学习第二章平面的投影的内容。我们先来看一下考纲要求。首先我们要理解平面的投影特性，掌握平面的投影规律，以及熟练掌握平面上点的投影。平面根据它在三投影面体系中的位置，分为了投影面的平行面、投影面的垂直面和一般位置平面。我们需要掌握这三种位置平面它的投影特性。首先我们来看一下平面的投影的画法。在前面我们已经学习了点的投影，直线的投影。那么直线的投影我们是可以通过求直线两端点的投影来确定直线的投影。平面的投影它的实质上仍是以点的投影为基础。在三投影面体系中，根据平面与投影面相对位置的不同，我们把它给分为投影面的平行面、投影面的垂直面和一般位置平面三种。这一块通常以选择题或者是填空题的形式来进行考核。好，我们来看一下这个第一句话，它说平面的投影仍然是以点的投影为基础。那么实际上例如我们要求一个空间中的一个三角形ABC，那么它的投影我们可以通过把A点的正面投影，A点的侧面投影以及A点的水平投影求出来。再将B点的正面投影，B点的侧面投影和B点的水平投影求出来，以及C点的正面投影。好C点的水平投影以及C点的侧面投影。好，C点的侧面投影求出来之后，我们可以给它来连接起来。好ABC好，ABC它的侧面既是A点B点C点的侧面投影，正面是A点B点的正面投影的连线。水平投影就是A点B点C点的水平投影的连线。那么这就是这句话的含义。平面的投影实际上还是以点的投影为基础。下面我们来看一下平面的投影特性。好，这个是平面的投影特性。应该第一个真实性，真实性是指平面平行于投影面时，那么它的投影是反映我们的平面的实际形状的。好平行它们的关系是平行。第二种收缩性，收缩性是指平面倾斜于投影面，那么投影的面积变是变小，变成了它的类似形。三积聚性是指平面垂直于投影面，那么它的投影会积聚成直线，这是平面的投影特性。好，这是平面的投影特性。下面我们来看一下平面在三投影面体系中的投影特性。刚刚我们讲的是平面相对于一个投影面的投影特性。我们来看第一种投影面的平行面，投影面的平行面它是平行于一个投影面，和另外两个投影面是倾斜的关系。例如第一个图，那么它是一个正平面，平行于正面好，和另外两个面是垂直的关系。好，这里写错了，应该是垂直的关系。由于我们的三投影面体系是两两互相垂直的，所以当它平行于一个投影面的话，和另外两个投影面就是垂直的关系。我们可以看到根据我们前面所学的平面投影特性，它会在它所平行的这个投影面上面反映它的实际形状，在另外两个投影面上积聚成直线。但是由于它和另外两个投影面是垂直的关系，并且积聚成的这个直线是平行于相应的投影轴的。我们来看第一个，正平面平行于正面，在正面反应实行在水平面和侧面继续呈直线，而且这个直线平行于X轴和平行于Z轴。我们再来看第二个，第二个的话它是在水平面反应实行，说明这是一个水平面平行于水平投影面和正面侧面都是垂直的关系，它在正面和侧面都集聚成了平行于对应投影轴的直线。第三个是侧平面，好是侧平面，我们可以看到它在侧面反应实行在正面和水平面集聚成直线，而且这个直线也是平行于对应投影轴的。我们来看一下，我们在前面讲过，如果当这个直线和这个平面平行的话，那么我们这个平面我们的这个平面这个平面上的任意一个点到这个投影面的距离都是相等的。根据我们在前面学的点到投影面的距离对应的就是点的坐标。我们可以看到这个侧平面上的点ABC，它的X坐标是不是都是相等的。因为X坐标对应的是点到侧面的距离，当这个平面和侧面平行的话，那么这个平面上任意一点的X坐标都是相同的。那么水平面的话，是我们的这个平面和水平面平行，那么我们平面上的点到水平面的距离都是相等的，可以看到它们的Z坐标都是相等的正平面是我们的这个点到正面的距离都是相等的，平面上的点到正面的距离都是相等的，而我们到正面的距离对应的是Y坐标。Y坐标我们可以看到它们的Y坐标是不是都是相等的。好，而且我们可以总结出来投影面平行面它的投影是什么形状的呢？是一面一面投影，是面反应，是信号，一面两线。好，一面两线。这两根线呢都是垂直于它，在它所垂直的投影面上积聚成了直线，所以是一面两线，并且这个面是反映实形的，这个面是反映它的实际形状的。下面我们来再来看第二种叫做投影面的垂直面，投影面的垂直面，那么它和三个投影面的关系是垂直于一个投影面，和另外两个投影面是倾斜的关系。我们可以看到第一个它是正垂面，正垂面的话它是垂直于正面，所以它在它所垂直的投影面上是集聚成了一根线，而且是和投影轴倾斜的直线。好，那么这是一根线，并且它是一个倾斜的直线。另外两面由于是倾斜的关系，所以它和另外两面的话是缩小的类似性。好是缩小的类似性。我们可以看到它的三面投影是符合它的投影特性的。例如第一个正垂面，那么它是垂直于正面和水平面和侧面都是倾斜，那么正面积聚成线，另外两面是类似形。我们再来看第二个，第二个的话我们可以看到它在水平面积聚成了一根线，并且是一根斜线，所以我们可以知道它应该是垂直于水平面的，叫做铅垂面。可以看到它垂直于H面，和正面侧面都是倾斜的关系，那么它的另外两面是类似型。第三个的话，它的这个斜线在侧面，这个面叫做侧垂面，在侧面积余成了一根斜线，正面和水平面是类似型号，垂直于侧面和正面和水平面都是倾斜。倾斜的话根据投影特性我们可以知道它是类似性。那么我们也可以反过来推，我们可以反过来推，通过它的三面投影我们来判断它的空间位置，或者我们通过它的空间位置可以判断出来它的三面投影。好，我们可以看一下他们的这个规律。它的规律是一线有一面投影继续呈线，而且是一根斜线。另外两面投影是类似形好是类似形，这和我们刚刚投影面的平行面注意一下区分。我们的投影面的平行面是一面两线，一面投影反应实行。另外两面投影是平行于对应投影轴的直线。好，那么这是第二个投影面的垂直面。我们来看第三种，第三种是一般位置平面，第三种一般位置平面和3个投影面都是倾斜的关系。那么它的三个投影均是面积小于原图形的类似性，并且不反映实际形状。那么当我们看到这个平面它的三面投影都是类似型的话，我们就可以判断这是一个一般位置平面。下面我们再来看一下平面上点的投影。因为这块知识点在后期我们在这个立体表面上取点会用到，以及再往后我们学组合体的时候也会用到。所以我们这里要提前掌握一下平面上点的投影，平面上任意点或者是直线的投影必然是在该平面的同名投影上。这个和我们在前面学的直线上点的投影他们的知识点是差不多的。首先它要满足归属性，也即是这个点或者直线如果它在平面上的话，那么它的投影一定是在对应平面的投影上好。如果是特殊位置的平面上去点，我们可以看到这个点K它是在这个平面上，这是一个什么面呢？这个面有一根线，那就说明它垂直于这个水平面，并且这还是一根斜线。由此我们就可以判断这是一个铅垂面好是一个铅垂面。那么根据这个点的归属性点，在这个平面上那么点的投影一定在这个平的投影上，我们来根据主辅长对称，并且根据它的归属性，我们这个点是不就是小K点。好，这个点就是个小K点，这里我们是利用它平面的积聚性来进行求解的那如果是一般位置，我们可以看到它在正面是类似形，水平面也是类似型，就说明这是一个一般位置平面，那我们怎么求呢？我们可以做辅助线，做辅助线平面内好平面内过平面内两点的这个直线的话，我们就可以确定了这个直线是在平面内的，我们来给它延长和BC交于一点，那我们假设这个点是小D1撇，那么小D一撇它是在B一撇C一撇上。我们可以利用点在直线上它的归属性和点的投影规律，我们可以找到小D那么A和D找到之后，我们可以利用点的归属性是不是可以找到小K点？好，小K点这是一般位置平面上取点，我们是可以做辅助线来进行求解。特殊位置的话我们是利用集聚性。下面我们来看一下题目。第一题如图所示，在三视图中标出PQ2平面的三面投影，并填写它们的名称和对投影面的相对位置。好，我们先来把这个。Q来给它找到，我们可以看到这个Q的话它在前面它的形状是这样的。好，那么这个就是我们的小Q1撇，在侧面的话它集聚成了一根直线，这是小Q两撇在前面的话它也是集聚在水平投影，在水平投影的话，它也是集聚成了一根直线，这是小Q我们可以看到它的三面投影，一面投影是反映实形，另外两面投影是积聚成了直线，而且这个直线的话还是平行于对应投影轴的。由此我们可以知道这个P的话，它是一个正平面，平行于正面，和另外两个面是垂直的关系。这是Q号，Q的话是正平面。我们再来看一下P，P的话在这里，这是P1撇。好，这是P1撇。它在正面是集聚成了一根斜线，正面积聚成了一根斜线，侧面的话我们可以看到是这个矩形线框P两撇。那么水平面水平投影的话，我们可以看到水平投影也是一个矩形线框，这是小P好，我可以看到它的三面投影是斜线、矩形和矩形。那么通过这个斜线的话，我们就可以判断这应该是一个正垂面垂直于正面和另外两面是倾斜的关系。那么它的正面投影是集聚成一根斜线，另外两面投影是类似形正垂面。好，正垂面我们再判断一下它们的关系，我们可以看到平面P的话它是垂直于正面的V面，垂直于V面的和水平面是这么一个倾斜，是倾斜的关系，和侧面的话也是倾斜的关系。而我们的平面Q的话是和正面是平行的，和另外两面都是垂直的关系，垂直的关系。下面我们来看一下第二题，如图所示，我们要标出这个平面ABC它的三面投影。好，那么这个A的话我们可以看到正面是一根斜线，那么这里是小A两撇侧面投影是类似形，这里是小这个是A点，那么也是类似型。由此我们可以看到一根斜线，通过这根斜线，实际上我们就可以判断出来它应该是正垂面好是正垂面垂直于正面和另外两面是倾斜的关系。我们再来看BB的话，它的是水平投影，是一根斜线。正面投影在这个位置在这个位置这是B一撇，侧面投影在这个位置这是B两撇门。根据这个斜线我们就可以判断它肯定是垂直于水平面的，和另外两面是倾斜的关系。那么这个叫做铅垂面好叫铅垂面。我们再来看C好，C的话是在这里，这是C在正面集聚成了一根直线C1撇，在侧面的话也是集聚成了一根直线C两撇。那么我们可以看到它是平行于水平面和另外两面垂直。C是水平面。好，C是水平面。我们再来看第三题，在三面投影体系中，当平面垂直于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的时候，我们可以看一下它们的关系。垂直于一个投影面和另外两个投影面倾斜的时候，那么这肯定是一个投影面的垂直面。投影面的垂直面我们在前面讲过三种空间位置的平面，它投影面的平行面是垂直于一个和另外两个投影面的平行面是平行于一个和另外两个是垂直的。而投影面的垂直面的话是垂直于一个和另外两个是倾斜的。还有一个一般位置平面是和三个投影面都是倾斜的关系。那么这肯定是一个投影面的垂直面。好，肯定是一个投影面的垂直面，所以这一题应该选B选项，那么A肯定不对，它不是投影面的平行面，而C和D不全面对吧？还没有说具体是垂直于哪个面，所以说我们不能说它是正垂面或者是侧垂面，应该选B选项。好，再来看第四题，已知三角形ABC的三个顶点的坐标，那么ABC是什么呢？我们来看一下它的坐标有什么特殊之处。好，我们可以发现它的Z坐标是不是都是相同的。那么Z坐标我们在前面学点的投影的时候，指的是点到H面的距离。也就是说我们这个平面三角形ABC它的各个点到哪到H面的距离都是相等的。所以我们就可以知道这个平面应该是平行于水平面的。那么这种面我们是不是就叫它水平面好叫水平面选A选项，选A选项。再看第五题，三面投影中投影为一线两面的，一线两面说明它是垂直于某一个投影面，两面的话是和另外两个投影面是倾斜的关系。其实这是换一种形式告诉我们它的投影，让我们来判断它的空间位置。我们根据前面学的投影面，平行面它是平行，一个投影面和另外两个投影面是垂直，那么它是一面两线，一般位置平面和3个投影面都是倾斜的关系，那么它是三面无实形，而投影面的垂直面的话是满足我们的题干中的条件的。D选项不对，应该选C选项。我们来看第六题，垂直于V面。好，垂直于V面，那么它在V面是集聚成了一根线的，和另外两面是倾斜的关系，那么另外两面是类似形，那么我们就可以知道，这应该是投影面的垂直面，而且还垂直于哪个面，垂直于正面。所以我们的这道题应该选A选项，而D选项正平面是平行于正面的，侧垂面的话是垂直于侧面的，铅垂面的话是垂直于水平面的。我们一定要对每一个位置的平面它的投影特性和空间位置掌握清楚。好，第七题，一般位置平面在三个投影面上的投影都具有什么性？好，首先我们要知道一般位置平面和3个投影面的关系都是倾斜的。那么我们在前面学平面投影特性的时候，讲到过当平面和投影面倾斜的话，体现了它的收缩性。选B选项。真实性是在它平行的时候体现的，积极性是在它垂直的时候体现的。好，这一题应该选B选项。我们来看一下第八题，正垂面一定怎么样。好，正垂面它肯定是不是要与正面是垂直的关系，垂直于正面和另外两面都是倾斜的关系。所以说B不对，C不对，D也不对，应该选A选项。好，选A选项。第九题，铅锤面的水平面投影会怎么样？好，铅垂面什么叫铅垂面呢？垂直于水平面的这个面叫做铅垂面。它既然垂直于水平面，那么它肯定是集聚成一根直线的。所以选A选项这里告诉了我们的空间位置，让我们来判断它的投影是什么样的。选A选项选A选项。那么C的话是倾斜的时候，D的话是什么？是平行的时候。好，第十一题，若平面在V面和W面的投影均是一条垂直于OZ轴的一个直线。我们可以看到，那么这个平面既然垂直于Z轴的话，那是不是就说明我们的这个平面上任意一点的Z坐标是相等的，而Z坐标对应的是我们的点到我们H面的距离，距离相等就说明它平行于这个H面。也就是说我们这应该是一个水平面是一个水平面。我们来看第十一题，根据形体的三视图，我们可以判断A面为什么？好，我们来找一找A面。在正面的话，它是一个矩形，在水平面是一根斜线。好，通过它的这个水平投影，实际上我们就可以判断出来，它肯定是垂直于我们的这个水平面的，而且是一根斜线。所以它和另外两个面都是倾斜的关系。我们就可以知道这应该选A选项是铅垂面。好，铅垂面，我们来看第二题，下列各组空间平面的投影中，在某一投影面上能够反映空间平面实行的是哪一个？既然反映实形，实际上他就是问我们这一个平面的话，它是不是平行于某一个投影面，平行于某一投影面，我们来看一下下面哪一个是投影面平行面的投影投影面平行面首先我们知道投影面的平行面，它是平行于一个投影面和另外两个投影面垂直的。而且它的三面投影是一面两线好是一面两线好，一面两线我们来找一找，首先我们可以排除掉A选项，因为它里面没有两个面。好，再来看它带线，带线的话我们可以看到BCD的话都带线，而我们的这个投影面的平行面，它的这个线是什么？是平行于对应投影轴的线，不是个斜线。像B的话这是一个铅垂面的投影，C的话是正垂面的投影，而D的话它是一个正平面的投影，所以它在正面是反映实形的，应该选第41个D选项。好，第41个D选项，我们来看十三题，下列说法正确的是，A选项铅垂面的水平投影积聚成与OX轴平行的直线，这个是错的。我们的铅垂面在水平面的投影是一根倾斜的线，不是一根平行于X轴的线。所以A不对。B选项正垂面的正面投影积聚成一个点，只有直线垂直的时候才会积聚成点。平面的话它垂直的话是集聚成一根直线的，所以B也不对。C选项侧垂面的正面和水平面均反映实行，那肯定不对的。我们根据侧垂面，它的空间位置是垂直于侧面，和另外两面是不是都是倾斜的关系？既然倾斜的话，那么它的投影特性，它应该是一个类似型，而不是反映实形，所以C选项不对。好，那正平面平行于正面，在正面具有真实性，这符合它的投影特性。所以第13题应该选D选项。我们来看一下第十四题，投影面垂直面有几面反应是型号。投影面垂直面的话垂直于一面投影和另外两面投影，那么我们讲反映实形它对应的是什么？是平行。而我们投影面垂直的面里面有垂直和倾斜，是不是没有平行？所以我们应该选D选项，零面投影反映实形。我们来看第十五题，平面四边形一面投影积聚成一条线，另外两面是类似型。好，我们根据它的投影，我们就能判断它和我们的一个投影面是垂直，和另外两个投影面是倾斜。那么对应的是什么呢？对应的是投影面的垂。直面四个选项里面是不是只有A选项符合条件？好，我们来看一下第十六题，如图所示，四棱台的三视图中平面A是什么？我们来看一下它的投影，水平投影是一个梯形，正面投影是一根斜线，侧面投影也是一个梯形。那么通过这个正面投影这根斜线，实际上我们就可以判断它肯定是一个正垂面，正垂面选C选项选C选项。好，我们来看一下第十七题，来完成平面的第三面投影并填空。好，那么我们在前面讲过平面投影，实际上它还是点的投影，求平面投影还是求对应点的投影。我们先来把A点找到，好祝福长对正好辅佐宽相等，把小A找到B点，主辅长对正好找到了小B点。来主副长对正副左宽相等。我们找到了小C点，我们可以看到ABC它们的水平投影连线的话是一根平行于X轴的直线，侧面投影是一个平行于Z轴的直线。那么我们是不是就可以知道这个平面ABC它应该是一个正平面。好，正平面我们再来看第二个，第2个ABC那么我们同样的方法先来主左高平齐俯左宽相等找到小A2撇。主左高平齐俯左宽相等找到小B2撇。好，那么再来主左高平齐，俯左宽相等，找到小C两撇。下面我们把我们的这个三个点给它依次连接起来。好，连接起来ABC对吧？依次连接起来我们可以看到它的侧面的话是一个类似型，正面是一根斜线，而且是一根倾斜的线。那么我们就可以知道这应该是正垂面垂直于正面，和另外两面投影都是倾斜的关系。好，我们今天的课就到这里。好，谢谢大家。