6.3.1 二项式定理（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

计数原理 第六章 6.3　二项式定理 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 6.3.1　二项式定理 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点　二项式定理 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　二项式定理的正用与逆用 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　二项展开式中的特定项问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　二项式系数与项的系数问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 课标要求 1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 学法指导 1．可以用两个计数原理分析(a＋b)2的展开式，归纳得出二项式定理． 2．从计数原理的角度思考、理解、证明二项式定理．事实上，二项式定理是两个计数原理的直接应用． 3．二项式定理是一个恒等式，要善于观察，学会转化，合理使用二项式定理和二项展开式的通项解决问题． 4．学会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，去开展探究活动，发现或证明数学结论． 5．通过学习二项式定理、二项式系数性质的探究及应用，发展逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养. 提示　(a＋b)3的展开式有4项，每一项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数是4. 问题导入 问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式． 提示　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 问题2：(a＋b)3，(a＋b)4的展开式有何特点？ 提示　(a＋b)n的展开式共有n＋1项，各项中a，b的指数和都是n. 问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ 提示　(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得Ca4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b；若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2；若有三个选b，余下一个选a，则得Cab3；若都选b，则得Ca0b4. 问题4：分析(a＋b)3，(a＋b)4展开式的特点，猜测(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点． C(k＝0,1,2，…，n) Can－kbk 微梳理 1．二项式定理及其相关概念 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Ca(n－2)b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 _______________________________ 二项展开式的通项 Tk＋1＝________________ 2．二项展开式的特点 (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 思考：(1)二项展开式中的项Can－rbr是第几项？ (2)二项式中a，b能否交换位置，二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中的第r＋1项是否相同？ 提示　(1)Can－rbr是(a＋b)n的第r＋1项． (2)二项式中a，b不能交换位置．(a＋b)n展开式中的第r＋1项为Can－rbr，(b＋a)n展开式中的第r＋1项为Cbn－rar，两者是不相同的，所以在应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)二项式(a＋b)2n的展开式的项数是2n＋1.(　　) (2)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的．(　　) (3)(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5.(　　) (4)(a＋b)n的展开式中一定有常数项．(　　) 解析　(1)正确．展开式的项数比指数大1. (2)错误．二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等，只有当a，b的系数都为1时两者相等． (3)正确．(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5. (4)错误．(a＋b)n的展开式中通项Can－rbr的次数不一定为0. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 【例题1】 (1)求5的展开式． (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10·(x－1)2＋5(x－1)． 解析　(1)5＝C(2x)5＋C(2x)4x－2＋C(2x)3x－4＋C(2x)2x－6＋C(2x)x－8＋Cx－10＝32x5＋80x2＋＋＋＋. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. 规律总结 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点(即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂)．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [注意] 逆用二项式定理时，如果项的系数是正负相间的，则原式是(a－b)n的形式． 【变式1】 (1)已知C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C＝ 1 024，求n的值． (2)求4的展开式． 解析　(1)C3n＋C3n－1＋…＋C3＋C＝C3n·10＋C3n－1·11＋…＋C31·1n－1＋C30·1n＝(3＋1)n＝4n＝1 024＝210，即22n＝210，解得n＝5. (2)方法一　4＝C()4－C()3·＋ C()2·2－C·3＋C4＝x2－2x＋－＋. 方法二　4＝4 ＝(2x－1)4 ＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1) ＝x2－2x＋－＋. 【例题2】 (1)6的展开式中的常数项是(　　) A．－ B． C．－ D． (2)(多选)若n的展开式中含x2项，则n的值可能是(　　) A．6 B．9 C．12 D．14 解析　(1)二项式6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r r＝rCx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项是 4C＝.故选D项． (2)n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－r·r＝ C·x·x－2r＝C·x，令＝2，得n＝4＋5r，其中r∈N.若r＝1，则n＝9；若r＝2，则n＝14.故选BD项． 答案　(1)D　(2)BD 规律总结 求二项展开式特定项的步骤 [注意] 若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算． 【变式2】 (1)已知8的二项展开式中常数项为1 120，则实数a的值是(　　) A．－1 B．1 C．±1 D．不确定 (2)在二项式12的展开式中，求： ①第4项； ②有理项． 解析　(1)8的展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－r·r＝(－2a)rCx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以T5＝C(－2a)4＝1 120，解得a＝±1.故选C项． 答案　C (2)二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx12－r·r＝(－1)rCx12－. ②当r＝0,3,6,9,12时，Tr＋1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝ －Cx8＝－220x8，T7＝Cx4＝924x4，T10＝－C＝－220，T13＝Cx－4＝. 【例题3】 已知在n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n的值； (2)求含x2的项的系数； (3)求第4项的二项式系数及第4项的系数． 解析　(1)n的展开式的通项为Tr＋1＝Cx(－3)rx＝C(－3)rx.因为第6项为常数项，所以当r＝5时，有＝0，即n＝10. (2)由(1)知通项为Tr＋1＝C(－3)rx，令＝2，得r＝2. 所以所求的系数为C(－3)2＝405. (3)由(1)知通项为Tr＋1＝C(－3)rx， 所以第4项的二项式系数为C＝120，第4项的系数为C×(－3)3＝－120×27＝－3 240. 规律总结 (1)解决此类问题可以分成两个步骤来完成： 第一步，根据给出的条件(特定项)和(a＋b)n的通项Tr＋1＝ Can－rbr，建立方程来确定指数； 第二步，根据所求的指数求解所求的项． (2)要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关． 【变式3】 (1)(2023·北京)5的展开式中x的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 (2)9的展开式中，第4项的二项式系数为____，第4项的系数为____. 解析　(1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－rr＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝1得r＝2，所以5的展开式中x的系数为(－1)225－2C＝80.故选D项． (2)易知9的展开式的通项为Tk＋1＝C·(x2)9－kk＝kCx18－3k，当k＝3时，T4＝3Cx9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，第4项的系数为－. 答案　(1)D　(2)84　－ 微专题 用方法·破解疑难 疑难一　求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中的量 【例题1】 (1＋x)6的展开式中x2项的系数为(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 [答案] C [解析] (1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以·(1＋x)6的展开式中x2项为1·Cx2＋·Cx4＝30x2，即x2项的系数为30.故选C项． [名师点评] 求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式； 第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到； 第三步，把相乘后的项合并即可得到所求的特定项或相关量． 【练习1】 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数为(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 (2)(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)10展开式中x3的系数为______(用数字作答)． 解析　(1)因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为C，(1＋y)4的展开式中y2的系数为C，所以x2y2的系数为CC＝168.故选D项． (2)x3的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝330. 答案　(1)D　(2)330 疑难二　求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中的量 【例题2】 5(x>0)的展开式中的常数项为____(用数字作答)． [解析] 方法一　5可化为10，因而展开式的通项为Tr＋1＝C10－r·()10－2r，则r＝5时为常数项，即 C5＝. 方法二　原式＝5＝·[(x＋)2]5＝.求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5. 所以原展开式中的常数项为＝. 方法三　5＝5的通项为Tk＋1＝ C25－k，5－k的通项为T′r＋1＝Cx－rx5－k－r2－(5－k－r)＝Cx5－2r－k2k＋r－5(0≤r≤5－k)． 令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1或k＝5，r＝0. 当k＝1，r＝2时，展开式中的项为CC2×2－2＝；当k＝3，r＝1时，展开式中的项为CC2×2－1＝20；当k＝5，r＝0时，展开式中的项为C4＝4. 综上，5的展开式中的常数项为＋20＋4＝. 方法四　5是5个三项式相乘．常数项的产生有三种情况： (1)在5个相乘的三项式中，从其中1个三项式中取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得C··C·C·()3＝20； (2)在5个相乘的三项式中，从其中2个三项式中取，从另外3个三项式中选2个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得C·2·C·＝； (3)从5个相乘的三项式中都取常数项相乘，可得C·()5＝4. 综上，5的展开式中的常数项为20＋＋4＝. [答案] [名师点评] (a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法 (1)因式分解法：将三项式利用因式分解转化为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题． (2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题． (3)组合知识法：把(a＋b＋c)n看成n个(a＋b＋c)的积，利用组合知识分析项的构成． [注意] 转化为二项式时，不同的分组方式展开后式子的运算过程的繁简也不相同，要注意结合多项式中各项式子的特征合理分组，通过尝试来确定最优分组． 【练习2】 (x2－x－2)4的展开式中，x3的系数为______(用数字作答)． 解析　方法一　因为(x2－x－2)4＝(x－2)4·(x＋1)4＝[C·x4＋C·x3·(－2)＋C·x2·(－2)2＋C·x·(－2)3＋C·(－2)4]·(C·x4＋C·x3＋C·x2＋C·x＋C)，所以x3的系数为－2C·C＋4C·C＋(－8C)·C＋16C·C＝－40. 方法二　因为(x2－x－2)4表示4个因式(x2－x－2)的乘积，所以x3的系数可以是从4个因式中选1个因式提供x2，其余的3个因式中有1个提供(－x)，有2个因式都提供(－2)；也可以是从4个因式中选3个因式都提供(－x)，剩余的1个因式提供(－2)．故x3的系数为C·C(－1)·C(－2)2＋C(－1)·(－2)＝－48＋8＝－40. 答案　－40 1．若n＋5的展开式有16项，则自然数n的值为(　　) A．9 B．10 C．11 D．16 答案　B 解析　因为n＋5的展开式共有n＋6项，所以n＋6＝16，所以n＝10.故选B项． 2．6的展开式中常数项为(　　) A．－60 B．－15 C．15 D．60 答案　D 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r·r＝ (－2)rCx6－3r，令6－3r＝0，得到r＝2，所以6的展开式中常数项为(－2)2C＝60.故选D项． 3．6的展开式的中间项是______. 解析　由n＝6可知中间项是第4项，由通项公式可得T4＝ C(2x2)3·3＝C·(－1)3·23·x3＝－160x3. 答案　－160x3 4．在6的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数； (2)第4项的系数； (3)常数项． 解析　6的展开式的通项为Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝ C26－rx6－3r. (1)T4＝C23x－3，第4项的二项式系数为C＝20. (2)由(1)知第4项的系数为C·23＝160. (3)令6－3r＝0，得r＝2，故常数项为C·26－2＝240. $$