平面向量基本定理及坐标表示讲义-2025届高三数学一轮复习

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示平面向量共线的条件. 考情分析； 在考查其他知识点时，经常涉及平面向量基本定理及坐标表示，预计2025年高考，平面向量基本定理及坐标表示和运算仍是考查的热点，题型仍将是选择题或填空题. 理一理 1. 平面向量基本定理 条件 ,是同一平面内的两个①不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,，使②   基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 ［提醒］ （1）基底 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一. 2. 平面向量的坐标运算 （1） 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设,,则 ③  , ④  , ⑤  ,⑥  . （2） 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标; ②设,,则 ⑦  , ⑧  . ［提醒］ 若,，则 3. 平面向量共线的坐标表示 设,, ⑨  . （1）的充要条件不能表示为.因为,有可能为0； （2）当且仅当时,与等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 记一记 1.向量共线的充要条件的两种形式 （1）； （2）（其中,）. 2.已知为线段的中点,若,,则点坐标为. 3.已知的顶点,,,则的重心的坐标为. 用一用 1. 已知向量,,若,则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知,,且,其中为坐标原点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 核心考点⇄师生共研 考点一 平面向量基本定理的应用 例1 （1） [2024·湖北武汉模拟]在正六边形中，用和表示,则（ ） A. B. C. D. （2） 如图，在平行四边形中，,分别为边,的中点，连接,，交于点.若,则 解题技法 运算遵法则、基底定分解 （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. （2）用向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 对点训练 1. 在中，,分别是,的三等分点，且，，若,，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在梯形中，，，，分别为，的中点，若，其中，，则的值为 考点二 平面向量的坐标运算 例2 （一题多解）如图，在直角梯形中，,,,为的中点，若,则（ ） A. B. C. 2 D. 思路一：坐标法，建立平面直角坐标系，用坐标表示出向量，由向量相等求解. 思路二：基底法，用基底表示向量，根据向量相等求解. 解题技法 平面向量坐标运算的技巧 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标； （2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解. 对点训练 1. 已知,,若,则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量,,在正方形网格中的位置如图所示，用基底｛,｝表示,则（ ） A. B. C. D. 考点三 向量共线的坐标表示 角度1 利用向量共线求参数 例3 已知向量，，，若，，三点共线，则 解题技法 利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若,,则的充要条件是”解题. 角度2 利用向量共线求向量或点的坐标 例4 已知为坐标原点，,若点在直线上，且,是的中点，则点的坐标为 解题技法 利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路：求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于 的方程（组），求出 的值后代入即可得到所求的向量.求点的坐标时，可设要求点的坐标为，根据向量共线的条件列方程（组），求出,的值. 对点训练 1. 已知为坐标原点，点,,若向量与向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，已知点,,,,,与交于点，则点的坐标为 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知点，，向量，则向量（ ） A. B. C. D. 2. 设向量,，且与的方向相反，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 的值不存在 3. 如图，已知,,,,则（ ） A. B. C. D. 4. （人教A版必修第二册P37T11改编）已知在直角梯形中,, ，,为边上一点，且,设,,则用,表示为（ ） A. B. C. D. 5. （多选）已知为坐标原点，向量,,,若点,,能构成三角形，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知向量，，.若，则 7. 已知点,,,若,且点在直线上，则 8. 在中，,为的中点，若,则 9. 已知,, （1） 当为何值时，与共线？ （2） 若,且,,三点共线，求的值. B 综合运用 10. 在中，是直线上的点，若,记的面积为,的面积为,则（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，平面内有三个向量,,,与的夹角为 ,与的夹角为 ,且,,若,则（ ） A. 1 B. C. D. 12. 已知点，分别是四边形的对角线与的中点，，,且,是不共线的向量，则向量 13. 如图，矩形与矩形全等，且. （1） 用向量与表示,; （2） 用向量与表示,. C 素养提升 14. 在直角梯形中，,,,,,分别为,的中点，点在以为圆心的上运动，若,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 课标要求 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示平面向量共线的条件. 考情分析； 在考查其他知识点时，经常涉及平面向量基本定理及坐标表示，预计2025年高考，平面向量基本定理及坐标表示和运算仍是考查的热点，题型仍将是选择题或填空题. 理一理 1. 平面向量基本定理 条件 ,是同一平面内的两个①不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数,，使②   基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 ［提醒］ （1）基底 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一. 2. 平面向量的坐标运算 （1） 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设,,则 ③  , ④  , ⑤  ,⑥  . （2） 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标; ②设,,则 ⑦  , ⑧  . ［提醒］ 若,，则 3. 平面向量共线的坐标表示 设,, ⑨  . （1）的充要条件不能表示为.因为,有可能为0； （2）当且仅当时,与等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 记一记 1.向量共线的充要条件的两种形式 （1）； （2）（其中,）. 2.已知为线段的中点,若,,则点坐标为. 3.已知的顶点,,,则的重心的坐标为. 用一用 1. 已知向量,,若,则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 [解析]选.由题得,因为,所以,解得.故选. 2. 已知,,且,其中为坐标原点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意得，是 的重心，又，,，所以 点坐标为.故选. 核心考点⇄师生共研 考点一 平面向量基本定理的应用 例1 （1） [2024·湖北武汉模拟]在正六边形中，用和表示,则（ ） A. B. C. D. [解析]设正六边形 的边长为2，如图，设,交于点，则,,则,则.故选. （2） 如图，在平行四边形中，,分别为边,的中点，连接,，交于点.若,则 [解析]由题图可设, 则. 因为,与 不共线， 所以 所以 解题技法 运算遵法则、基底定分解 （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. （2）用向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 对点训练 1. 在中，,分别是,的三等分点，且，，若,，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意知.故选. 2. 如图，在梯形中，，，，分别为，的中点，若，其中，，则的值为 [解析]由题意知，，，而， 所以，① ，② 联立①②得，与 不共线，所以，，所以. 考点二 平面向量的坐标运算 例2 （一题多解）如图，在直角梯形中，,,,为的中点，若,则（ ） A. B. C. 2 D. 思路一：坐标法，建立平面直角坐标系，用坐标表示出向量，由向量相等求解. 思路二：基底法，用基底表示向量，根据向量相等求解. [解析]方法一（坐标法） 建立如图所示的平面直角坐标系，则.不妨设,则,所以,,, ,所以,,,因为, 所以, 所以 解得 故. 方法二（基底法） 令,，取{,}为一个基底， 由题意得， . 由于,所以 解得 所以，选. 解题技法 平面向量坐标运算的技巧 （1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标； （2）解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程（组）来进行求解. 对点训练 1. 已知,,若,则点的坐标为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设,则,,根据,得, 即 解得 所以点 的坐标为. 2. 已知向量,,在正方形网格中的位置如图所示，用基底｛,｝表示,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则,,,, 所以,,,设向量, 即, 则 解得 所以. 考点三 向量共线的坐标表示 角度1 利用向量共线求参数 例3 已知向量，，，若，，三点共线，则 [解析]因为， 又，，三点共线，所以， 则,解得. 解题技法 利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若,,则的充要条件是”解题. 角度2 利用向量共线求向量或点的坐标 例4 已知为坐标原点，,若点在直线上，且,是的中点，则点的坐标为 [解析]因为点 在直线 上，所以,又,所以,设点,则,. ①若,则, 所以 解得 所以,因为 是 的中点，所以. ②若,则, 所以 解得 所以,因为 是 的中点， 所以. 综上所述，点 的坐标为 或. 解题技法 利用向量共线求向量或点的坐标的一般思路：求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于 的方程（组），求出 的值后代入即可得到所求的向量.求点的坐标时，可设要求点的坐标为，根据向量共线的条件列方程（组），求出,的值. 对点训练 1. 已知为坐标原点，点,,若向量与向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为向量 与向量 共线，所以,解得.故选. 2. 在中，已知点,,,,,与交于点，则点的坐标为 [解析]由题意得，点,同理点. 设点 的坐标为, 则,. 因为,,三点共线，所以 与 共线， 所以, 即. ,, 因为,,三点共线，所以 与 共线， 所以， 即. 由 解得 所以点 的坐标为. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知点，，向量，则向量（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意得,则.故选. 2. 设向量,，且与的方向相反，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 的值不存在 [解析]选.向量,,因为,所以,解得 或.当 时，,,与 的方向相同，舍去；当 时，,,与 的方向相反，符合题意.故选. 3. 如图，已知,,,,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.. 4. （人教A版必修第二册P37T11改编）已知在直角梯形中,, ，,为边上一点，且,设,,则用,表示为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题知,,故. 5. （多选）已知为坐标原点，向量,,,若点,,能构成三角形，则实数的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. [解析]选.易知, . 假设,,三点共线，则,即，所以只要,,,三点就能构成三角形.故选. 6. 已知向量，，.若，则 [解析]由题意得， 因为，所以，解得. 7. 已知点,,,若,且点在直线上，则 [解析]设,则由,得,所以,.又点 在直线 上，故,解得. 8. 在中，,为的中点，若,则 [解析]因为,所以,因为 为 的中点，所以,所以,所以,,则. 9. 已知,, （1） 当为何值时，与共线？ 解：, . 因为 与 共线, 所以, 即,得. （2） 若,且,,三点共线，求的值. [答案] 方法一:因为,,三点共线， 所以,即, 所以 解得. 方法二:, , 因为,,三点共线， 所以,所以,解得. B 综合运用 10. 在中，是直线上的点，若,记的面积为,的面积为,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.依题意作图，如图所示， 设, 由条件, 得,,, 所以点 在 的延长线上，并且， 所以. 11. 如图所示，平面内有三个向量,,,与的夹角为 ,与的夹角为 ,且,,若,则（ ） A. 1 B. C. D. [解析]选.作出 的相反向量,再以射线,为邻边,以 为对角线作, 由题意知， , , ,, 所以, 所以, 即.故选. 12. 已知点，分别是四边形的对角线与的中点，，,且,是不共线的向量，则向量 [解析]如图，取 的中点，连接，， 由题意得，， ， 则. 13. 如图，矩形与矩形全等，且. （1） 用向量与表示,; 解：由已知可得, . [答案] 由题图可得, . （2） 用向量与表示,. [答案] 由（1）可知， 解得,. C 素养提升 14. 在直角梯形中，,,,,,分别为,的中点，点在以为圆心的上运动，若,求的取值范围. 解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设, 则,,,, 因为, 所以, 所以,, 所以,, 所以, 因为 , 所以 , 所以, 所以, 所以 的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$