(精讲册)第3章 微专题二 二次函数中与面积有关的问题(2023.23)（课件PPT）-【练客中考】2025年安徽中考数学提优方案

数学 精讲册 2025安徽 微专题二 二次函数中与面积有关的问题(2023.23) 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角 形面积的计算 类型1 利用二次函数性质求面积最大值 类型1 三边都不在坐标轴上或不平行坐标轴的 三角形面积的计算 类型2 类型3 目录 CONTENTS 类型 1 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算(2023.23) 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S＝AB·h，其中AB是△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边，h为AB边上的高 S△ABC＝(xB－xA)·｜yC｜ S△ABC＝(yA－yB)·｜xC｜ 返回目录 S△ABC＝(xB－xA)·(yC－yA) S△ABC＝(yA－yB)·(xC－xA) 返回目录 1.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A(3，0)，顶点B在y轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线y＝－x2－5x＋c经过点B，C，则菱形ABCD的面积为(　　) A．15　　 　 B．20　　 　 C．25　　 　 D．30 B 返回目录 2.如图，抛物线为y＝a(x－h)2＋k(a＜0)，直线y＝m交抛物线于A，B两点，P为抛物线的顶点，若△PAB为直角三角形，且面积为，则a的值为(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ B 返回目录 3.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为(－3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，直线x＝－2与x轴交于点P，与该二次函数的图象交于点Q，求△BPQ的面积. 解：∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－3，0)和点C(0，－3)， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3， ∴B点的坐标为(1，0). ∵直线x＝－2与x轴交于点P，与该二次函数的图象交于点Q， ∴P点的坐标为(－2，0)，Q点的坐标为(－2，－3)， ∴S△BPQ＝BP·PQ＝×[1－(－2)]×3＝. 返回目录 类型 2 三边都不在坐标轴上或不平行坐标轴的三角形面积的计算 当三角形的三边都不在坐标轴上或都不平行于坐标轴时，可将所求面积通过作辅助线拆分成一边与坐标轴平行或重合的三角形或四边形，再进行计算即可 分 割 法 S△ABC＝S△ABD＋S△BCD S△ABC＝S△ABD＋S△BDC 返回目录 补 形 法 S△ABC＝S△AFC－S△BEC－S四边形ABEF S△ABC＝S△AEC－S△ABE－S△BEC 铅 垂 法 S△ABC＝ah，即三角形面积等于 铅垂高度×水平宽度÷2 返回目录 4.如图，二次函数y＝－x2＋x＋2交x轴于点A，B(A在B的右侧)，与y轴交于点C，D(1， t)为第一象限抛物线上的点，则△ACD的面积为(　　) A．　 B．　 　　 C．　 D．1 D 返回目录 5.(2024凉山州改编)抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2，0)，B(3，n)两点，与x轴相交于另一点C． (1)求抛物线的解析式； 解：把B(3，n)代入y＝x＋2，得n＝3＋2＝5，∴B(3，5). 把A(－2，0)，B(3，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8. 返回目录 (2)在直线AB的上方的抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形的面积为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：如解图，过点M作MK∥y轴交直线AB于点K， 设M(m，－m2＋2m＋8)，则K(m，m＋2)， ∴MK＝－m2＋2m＋8－(m＋2)＝－m2＋m＋6， ∴S△ABM＝MK·(xB－xA) ＝(－m2＋m＋6)×5＝(－m2＋m＋6)， 返回目录 ∴(－m2＋m＋6)＝， ∴－m2＋m＋6＝3， 解得m＝， ∴点M的坐标为(，)或(，). 返回目录 二次函数中求三角形的面积最值的方法 (1)设二次函数图象上动点P的坐标为(t，at2＋bt＋c) (2)根据求三角形面积的方法写出面积的表达式(含字母t) (3)利用二次函数求最值的方法计算面积最值 注意：利用二次函数的性质求最值时，要注意自变量的取值范围 类型 3 利用二次函数性质求面积最大值 返回目录 6.(2024资阳改编)已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B(4，0)，BC＝4. 解：∵B(4，0)，∴OB＝4.∵∠BOC＝90°，BC＝4， ∴OC＝＝4，∴C(0，4). 把B(4，0)，C(0，4)代入y＝－x2＋bx＋c，得， 解得，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4. (1)求抛物线的解析式； 返回目录 (2)P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K.记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值. 返回目录 返回目录 二次函数中求四边形的面积最值的方法 特殊的四边形用公式求面积，不规则的四边形求面积时，过动点作平行于坐标轴的直线，采用割或补的方法把它转化为易求出面积的图形，或者把四边形分成两个三角形 返回目录 7.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象过点A(3，0)，C(－1，0). (1)求此二次函数的表达式； 解：把点A(3，0)，C(－1，0)代入y＝－x2＋bx＋c中， 得，解得， ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 返回目录 (2)若二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标； 解：在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3， ∴B(0，3).设直线AB的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(3，0)，B(0，3)代入，得， 解得，∴直线AB的表达式为y＝－x＋3. ∵二次函数图象的对称轴为直线x＝＝1， ∴当x＝1时，y＝－x＋3＝2，∴P点的坐标为(1，2). 返回目录 (3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当以点B，O，A，Q围成的四边形的面积最大时，求点Q的坐标. 解：∵S四边形BOAQ＝S△ABO＋S△ABQ，S△ABO为定值， ∴S四边形BOAQ取最大值时，S△ABQ取最大值. 设Q(m，－m2＋2m＋3)，如解图，连接QA，QB，OQ， ∵A(3，0)，B(0，3)，∴S△ABQ＝S△OBQ＋S△AOQ－S△AOB ＝×3m＋×3(－m2＋2m＋3)－×3×3＝－m2＋m＝－(m－)2＋， ∴当m＝时，S△ABQ最大， 此时点Q的坐标为(，). 返回目录 $$