（单元讲义）第四单元 分数的意义和性质（知识梳理+典例精讲+培优必刷）-2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本（人教版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 第四单元 分数的意义和性质 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】分数的意义 1、实际生活中，在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，在这种情况下就产生了另一种数——分数。 2.一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数1表示，通常把它叫做单位“1”。 3.把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，表示其中一份的数叫做分数单位。 【知识点二】分数与除法 1、两个数相除，商可以用分数来表示，即被除数÷除数=，用字母表示为a÷b=(b≠0)。反之，分数也可以看作两个数相除，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 2、分数与除法的联系及区别 3、求一个数是另个数的几分之几 求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算,列式为:一个数÷另一个数=，即比较量÷标准量=,商表示的是两个数的倍比关系，没有单位名称。 【知识点三】真分数和假分数、带分数及其互化 1、分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 2、分子比分母大或分子等于分母的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 3、由整数(0除外)和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 4、带分数的读法：先读带分数的整数部分，再读分数部分，分数部分和整数部分中间加一个“又”字。 5、带分数的写法：“又”前面是整数部分，后面是分数部分，先写整数部分，再写分数部分。 6、假分数化成整数或带分数的方法。 （1）有些假分数的分子恰好是分母的倍数,它们实际上是整数;有些假分数的分子不是分母的倍数,这样的假分数可以写成带分数。 （2）把假分数化成整数或带分数的方法:用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数;当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数,商就是带分数的整数部分,余数是分数部分的分子，分母不变。 【知识点四】分数的基本性质 1、分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 2、根据分数的基本性质，可以把一个分数化成分母不同而大小不变的分数。 【知识点五】公因数和约分 1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。 2、求两个数最大公因数的方法: 列举法;筛选法;分解质因数法;短除法。 3、求两个数的最大公因数的特殊情况: (1)当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数; (2)当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1。 4、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分依据的是分数的基本性质。 5.分子和分母只有公因数1的分数是最简分数。约分时，通常要约成最简分数。 【知识点六】公倍数和通分 1、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 2、求两个数最小公倍数的方法。 列举法;筛选法;分解质因数法;短除法。 3、同分母分数、同分子分数的大小比较方法: (1)分母相同的两个分数，分子大的分数比较大; (2)分子相同的两个分数，分母小的分数反而大。 4、通分的意义及通分的方法。 (1)通分的意义:把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 (2)通分的方法:通分时用原分母的公倍数作公分母，为了计算简便，通常选用它们的最小公倍数作公分母，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 5、分数的大小比较。 比较异分母分数的大小:先通分化成分母相同的分数，再比较大小。 【知识点七】分数与小数的互化 1、小数化分数的规律:一位小数化分数，用10作分母，一位小数去掉小数点作分子;两位小数化分数，用100作分母，两位小数去掉小数点作分子……把小数化成分数，能约分的都应约成最简分数。 3、分数化成小数的方法: (1)分母是10，100，1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母中有几个0，有几个0就在分子中从右边起向左数出几位，点上小数点; (2)分母不是10，100，1000……的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。 (3)把带分数化成小数，方法与上面相同，带分数的整数部分作为小数的整数部分，分数部分化成小数，作为小数的小数部分。 【考点一】分数的意义 【典例一】1.把一块蛋糕平均分给3个人，每人分得这块蛋糕的（ ）。 A． B． C． 【典例二】（1）请在下面每个图中表示。 （2） 它们为什么都能表示？ 【典例三】一条水渠长500米，计划14天修完，照这样计算，4天可以修这条路的。 【考点二】分数与除法 【典例一】将6m长的铁丝平均分成9段，每段长（ ）。 A．m B．m C．m 【典例二】修路队修一条公路，已修80千米，还剩下31千米没有修。已修的和没有修的各占这条公路的几分之几？ 【典例三】五（6）班有50人，其中男生31人，而男生中爱好体育的有20人。 （1）五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的几分之几？ （2）五（6）班女生人数占全班的几分之几？ 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 【典例一】下列说法正确的是（ ）。 A．所有的质数都是奇数 B．两个奇数的差一定是偶数 C．整数都比分数大 D．一个数的倍数一定比它的因数大 【典例二】把下面的假分数化成整数或带分数。 ＝ ＝ ＝ ＝ 【典例三】一个带分数，它的分数部分的分子是4，化成假分数后，分子是53，这个带分数可能是多少？ 【考点四】分数的基本性质 【典例一】分数的分母乘2，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。 A．加2 B．加10 C．除以2 D．乘2 【典例二】把下面的分数化成分母是24而大小不变的分数，请写出过程。                                  【典例三】甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了小时，乙师傅用了小时。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 【考点五】约分及最大公因数 【典例一】把12个梨和36个橘子，平均分给若干个小朋友，都正好分完。小朋友最多有( )人，每人分到( )个梨和( )个橘子。 【典例二】五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了48人，五（2）班来了42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？一共有多少个小组？ 【典例三】一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。 【典例四】2021年春茶之际，茶农平均每天可以采摘50千克茶叶，其中龙井茶有20千克，白茶有14千克，其余是乌牛早。 （1）白茶质量是总质量的几分之几？     （2）算式“20÷（50－20－14）”解决的是什么问题？并计算。 【考点六】通分及最小公倍数 【典例一】水仙花每6天浇一次水，兰花每8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少( )天后给这两种花同时浇水。 【典例二】乐乐家的空气加湿器，每6天会亮一次灯（提醒清洗），每15天会响一次提醒音（提醒消毒）。9月1日的时候既亮灯又响铃了，下一次既亮灯又响铃是在哪一天？ 【典例三】同走一段路，小华用了小时，小兰用了小时，小明用了小时，( )的速度最快。 【典例四】尚好饮品店进了三种总容量相同的饮品，星期六整天的销售情况如下表，如果你是这家饮品的一名员工，你想对老板提些什么好建议？（要求先比较大小再提出一个好建议） 咖啡奶 椰奶 果汁 售出占 售出占 售出占 【考点七】分数和小数的互化 【典例一】把一根3m长的木条锯成同样长的8段，每段长度是这根木条总长度的，每段长m，也就是（ ）m。（填小数） 【典例二】五年级（l ）班举行折纸比赛，一组7个人共折了23个，二组8个人共折了36个，三组6个人共折了20个，平均每人折的最多的是哪个组呢？ 【典例三】2022年6月5日神舟十四号载人飞船顺利升空，我国航天事业愈发强大。王阿姨和李叔叔打同样一篇有关航天新闻的稿子，王阿姨平均每秒打个字，李叔叔平均每秒打0.9个字，谁打字快一些？ 一、填空题（满分20分） 1．（2分）一项工作，甲用了0.35小时完成，乙用了小时完成，（ ）做得快些。 2．（2分）完成同样的一份数学试卷，聪聪用了小时，红红用了小时，（ ）的速度快一些。 3．（2分）实验小学开展“我是小小宣传员”公益活动，参加人员每16人分成一组，或者每12人分成一组，都正好分完，该校参加“我是小小宣传员”公益活动的学生至少有（ ）人。 4．（2分）有两条丝带，分别长12cm和20cm，现在要把它们截成同样长的小段（整厘米），不能有剩余，每小段最长是（ ）cm。 5．（2分）一个最简分数，它的分子与分母的积是14，这个最简真分数可能是（ ）或（ ）。 6．（2分）把的分子增加9，要使分数大小不变，则分母增加（ ）。 7．（2分）是真分数，那么a最小是（ ）；当a＝3时，可以写成带分数（ ）。 8．（2分）如果是真分数，那么a最大是（ ）；如果是假分数，那么a最小是（ ）。 9．（2分）3名小朋友平均分5个同样大小的月饼，每名小朋友分到（ ）个月饼，每名小朋友分到这些月饼的（ ）。 10．（2分）5米长的钢管，锯成每段一样长的小段，共锯了5次，每段占全长的（ ），每段长（ ）米。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）超市新进一批家用电器，冰箱的数量相当于电视机的，则冰箱的数量比电视机的少。（ ） 12．（2分）3米的和1米的一样长。（ ） 13．（2分）分数，因为分母中含有因数3，所以它不能化为有限小数。（ ） 14．（2分）两个连续偶数的和是18，这两个数的最大公因数是2。 （ ） 15．（2分）a、b、c都是非0的自然数，且，则。（ ） 三、选择题（满分10分） 16．（2分）一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，这袋糖最少有（    ）颗。 A．30 B．60 C．120 D．240 17．（2分）把一张长72cm，宽60cm的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，且纸无剩余，至少能裁（    ）张。 A．2 B．4 C．30 D．6 18．（2分）下面等式成立的是（    ）。 A． B． C． D． 19．（2分）给的分母加上14，要使原分数的大小不变，则分子应（    ）。 A．乘3 B．加上3 C．加上14 D．乘14 20．（2分）分子和分母是两个相邻的奇数，这样的分数一定是（    ）。 A．真分数 B．假分数 C．最简分数 D．不能确定 四、计算题（满分12分） 21．（6分）把下列各分数约分，是假分数的再化成带分数或整数。                                                  22．（6分）先通分，再比较大小。 和        和             和 、和    、和        、和 五、作图题（满分6分） 23．（6分）下面一个正方形表示单位“1”，请你涂色表示出。 六、解答题（满分42分） 24．（6分）同一种零件，甲师傅3小时做了20个，乙师傅2小时做了15个。谁做得快一些？ 25．（6分）学校艺术节开幕式上有40多名同学进行体操表演，他们12人排成一排或者8人排成一排都正好排完，一共有多少名学生参加体操表演？ 26．（6分）五年级共有男生96人，女生84人，男、女生分别站成若干排。要使每排人数相同，每排最多站多少人？这时，男、女生一共站了几排？ 27．（6分）春城小学举行绘画比赛，全校共有140幅作品参赛。其中五年级组有28幅作品参赛，最终五年级组有6幅作品获得奖项。 （1）五年级组获奖作品占五年级组参赛作品的几分之几？ （2）五年级组参赛作品占全校参赛作品的几分之几？ 28．（6分）甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了小时，乙师傅用了小时。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 29．（6分）小丽、小红和小芳做同样的数学题。小丽3分钟做了11道题，小红4分钟做了13道题，小芳5分钟做了16道题。她们平均每分钟各做了几道题？（结果化成带分数） 30．（6分）幼儿园的张阿姨买了4袋同样的糖果，每袋1.5千克。她要把这些糖果平均分给5个小朋友。 （1）每个小朋友分到多少千克糖果？ （2）每个小朋友分到几袋糖果？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必须要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年五年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学习中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握用奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺补漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年五年级下册数学小马虎错题本 第四单元 分数的意义和性质 （知识梳理+典例精讲+培优必刷） 【知识点一】分数的意义 1、实际生活中，在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，在这种情况下就产生了另一种数——分数。 2.一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数1表示，通常把它叫做单位“1”。 3.把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，表示其中一份的数叫做分数单位。 【知识点二】分数与除法 1、两个数相除，商可以用分数来表示，即被除数÷除数=，用字母表示为a÷b=(b≠0)。反之，分数也可以看作两个数相除，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。 2、分数与除法的联系及区别 3、求一个数是另个数的几分之几 求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算,列式为:一个数÷另一个数=，即比较量÷标准量=,商表示的是两个数的倍比关系，没有单位名称。 【知识点三】真分数和假分数、带分数及其互化 1、分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 2、分子比分母大或分子等于分母的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 3、由整数(0除外)和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 4、带分数的读法：先读带分数的整数部分，再读分数部分，分数部分和整数部分中间加一个“又”字。 5、带分数的写法：“又”前面是整数部分，后面是分数部分，先写整数部分，再写分数部分。 6、假分数化成整数或带分数的方法。 （1）有些假分数的分子恰好是分母的倍数,它们实际上是整数;有些假分数的分子不是分母的倍数,这样的假分数可以写成带分数。 （2）把假分数化成整数或带分数的方法:用分子除以分母。当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数;当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数,商就是带分数的整数部分,余数是分数部分的分子，分母不变。 【知识点四】分数的基本性质 1、分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。 2、根据分数的基本性质，可以把一个分数化成分母不同而大小不变的分数。 【知识点五】公因数和约分 1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。 2、求两个数最大公因数的方法: 列举法;筛选法;分解质因数法;短除法。 3、求两个数的最大公因数的特殊情况: (1)当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数; (2)当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1。 4、把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。约分依据的是分数的基本性质。 5.分子和分母只有公因数1的分数是最简分数。约分时，通常要约成最简分数。 【知识点六】公倍数和通分 1、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 2、求两个数最小公倍数的方法。 列举法;筛选法;分解质因数法;短除法。 3、同分母分数、同分子分数的大小比较方法: (1)分母相同的两个分数，分子大的分数比较大; (2)分子相同的两个分数，分母小的分数反而大。 4、通分的意义及通分的方法。 (1)通分的意义:把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 (2)通分的方法:通分时用原分母的公倍数作公分母，为了计算简便，通常选用它们的最小公倍数作公分母，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 5、分数的大小比较。 比较异分母分数的大小:先通分化成分母相同的分数，再比较大小。 【知识点七】分数与小数的互化 1、小数化分数的规律:一位小数化分数，用10作分母，一位小数去掉小数点作分子;两位小数化分数，用100作分母，两位小数去掉小数点作分子……把小数化成分数，能约分的都应约成最简分数。 3、分数化成小数的方法: (1)分母是10，100，1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母中有几个0，有几个0就在分子中从右边起向左数出几位，点上小数点; (2)分母不是10，100，1000……的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。 (3)把带分数化成小数，方法与上面相同，带分数的整数部分作为小数的整数部分，分数部分化成小数，作为小数的小数部分。 【考点一】分数的意义 【典例一】1.把一块蛋糕平均分给3个人，每人分得这块蛋糕的（ ）。 A． B． C． 【答案】A 【典例二】（1）请在下面每个图中表示。 （2） 它们为什么都能表示？ 【答案】（1）第一个图形中和共有12个苹果，将它平均分为4份，每份有3个，占其中的三份，就是9个； （红色部分表示）； 第二个图形中一条线段将它平均分成4份，取其中的三份，就表示； （红色部分表示）； 第三个图形是一个长方形，将它平均分成4份，取其中三份。 （红色部分表示）。 （2）它们都是将图形平均分成4份，再取其中的三份，故能表示为。 【典例三】一条水渠长500米，计划14天修完，照这样计算，4天可以修这条路的。 【分析】由题意可知，总长度为单位“1”，将其平均分成14份，取其中的4份，即4天可以修这条路的，由此解答即可。 【解答】一条水渠长500米，计划14天修完，照这样计算，4天可以修这条路的。 【点评】明确分数的意义是解答本题的关键。 【考点二】分数与除法 【典例一】将6m长的铁丝平均分成9段，每段长（ ）。 A．m B．m C．m 【答案】C 【典例二】修路队修一条公路，已修80千米，还剩下31千米没有修。已修的和没有修的各占这条公路的几分之几？ 【答案】； 80÷（80＋31） ＝80÷111 ＝； 31÷（80＋31） ＝31÷111 ＝； 答：已修的长度占这条公路的，没有修的长度占这条公路的。 【典例三】五（6）班有50人，其中男生31人，而男生中爱好体育的有20人。 （1）五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的几分之几？ （2）五（6）班女生人数占全班的几分之几？ 【分析】（1）爱好体育的男生人数占全部男生人数的分率＝爱好体育的男生人数÷全部男生人数，结果用分数表示； （2）女生人数＝全班人数－男生人数，女生人数占全班人数的分率＝女生人数÷全班人数，结果用分数表示，据此解答。 【解答】（1）20÷31＝ 答：五（6）班爱好体育的男生人数占全部男生人数的。 （2）（50－31）÷50 ＝19÷50 ＝ 答：五（6）班女生人数占全班的。 【点评】掌握一个数占另一个数几分之几的计算方法是解答题目的关键。 【考点三】真分数和假分数、带分数及其互化 【典例一】下列说法正确的是（ ）。 A．所有的质数都是奇数 B．两个奇数的差一定是偶数 C．整数都比分数大 D．一个数的倍数一定比它的因数大 【答案】B 【典例二】把下面的假分数化成整数或带分数。 ＝ ＝ ＝ ＝ 【答案】 【典例三】一个带分数，它的分数部分的分子是4，化成假分数后，分子是53，这个带分数可能是多少？ 【解答】（1） （2）找出乘积是49的两个因数，也就是这个带分数的整数部分和分母。因为49=7×7，所以这个带分数的整数部分和分母都是7，这个带分数是7 。 【考点四】分数的基本性质 【典例一】分数的分母乘2，要使分数的大小不变，分子应该（ ）。 A．加2 B．加10 C．除以2 D．乘2 【答案】D 【典例二】把下面的分数化成分母是24而大小不变的分数，请写出过程。                                  【分析】分数的基本性质，分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；据此解答。 【解答】＝＝ ＝＝ ＝＝ 【典例三】甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了小时，乙师傅用了小时。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变，的分子和分母同时乘2，则＝；据此解答。 【解答】＝＝ 所以两位师傅用的时间一样长。 答：小丽说的对。 【点评】掌握分数的基本性质是解题的关键。 【考点五】约分及最大公因数 【典例一】把12个梨和36个橘子，平均分给若干个小朋友，都正好分完。小朋友最多有( )人，每人分到( )个梨和( )个橘子。 【分析】求小朋友最多有多少人，就是求12和36的最大公因数，求出最大公因数后分别除12和36，即可求出每人分到多少个梨和多少个橘子，据此解答即可。 【解答】12＝2×2×3 36＝2×2×3×3 12和36的最大公因数是： 2×2×3 ＝4×3 ＝12 即小朋友最多有12人； 12÷12＝1（个） 36÷12＝3（个） 【点评】此题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键理解求小朋友最多人数就是求最大公因数。 【典例二】五年级（1）（2）班要参加学校组织的义务劳动，五（1）班来了48人，五（2）班来了42人。如果把两个班的学生分别分成若干小组，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多有多少人？一共有多少个小组？ 【答案】6人；15个小组 48＝2×2×2×2×3 42＝2×3×7 2×3＝6（人） （48＋42）÷6 ＝90÷6 ＝15（个） 答：每组最多有6人，一共有15个小组。 【典例三】一个分数，用2约分一次，再用3约分一次，得到，原来这个分数是( )。 【分析】根据约分的方法，分别用的分子和分母乘3再乘2，求出原来的分子和分母，写出原分数即可。 【解答】2×3×2＝12、3×3×2＝18，原来这个分数是。 【点评】关键是掌握并灵活运用约分的方法。 【典例四】2021年春茶之际，茶农平均每天可以采摘50千克茶叶，其中龙井茶有20千克，白茶有14千克，其余是乌牛早。 （1）白茶质量是总质量的几分之几？     （2）算式“20÷（50－20－14）”解决的是什么问题？并计算。 【分析】（1）用白茶的质量除以茶叶的总质量即可； （2）由题意可知，20千克表示龙井茶的重量，（50－20－14）表示乌牛早的重量，则20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍，据此进行计算即可。 【解答】（1）14÷50＝ 答：白茶质量是总质量的。 （2）20÷（50－20－14）解决的是龙井茶的重量是乌牛早的重量的几倍； 20÷（50－20－14） ＝20÷16 ＝ 答：龙井茶的重量是乌牛早的倍。 【点评】本题考查求一个数占另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。 【考点六】通分及最小公倍数 【典例一】水仙花每6天浇一次水，兰花每8天浇一次水，花匠今天给两种花同时浇了水，至少( )天后给这两种花同时浇水。 【答案】24 【典例二】乐乐家的空气加湿器，每6天会亮一次灯（提醒清洗），每15天会响一次提醒音（提醒消毒）。9月1日的时候既亮灯又响铃了，下一次既亮灯又响铃是在哪一天？ 【分析】由题意可知，先求出6和15的最小公倍数，再用9月1日加上它们的最小公倍数即可。 【解答】6＝2×3 15＝3×5 则6和15的最小公倍数是2×3×5＝30 9月1日＋30＝10月1日 答：下一次既亮灯又响铃是在10月1日。 【点评】本题考查最小公倍数，明确求最小公倍数的方法是解题的关键。 【典例三】同走一段路，小华用了小时，小兰用了小时，小明用了小时，( )的速度最快。 【分析】同一段路程，如果速度越快，说明用的时间越少。所以只需要比较三个人用去的时间的大小，按照异分母分数比较大小的方法，找出用时最短的那个人，即可求出那个人的速度最快。 【解答】 因为，所以。 说明小华用时最短，意味着小华的速度最快。 【点评】此题的解题关键是相同的路程，只需要比较用的时间的大小，按照异分母分数比较大小的方法，解决问题。 【典例四】尚好饮品店进了三种总容量相同的饮品，星期六整天的销售情况如下表，如果你是这家饮品的一名员工，你想对老板提些什么好建议？（要求先比较大小再提出一个好建议） 咖啡奶 椰奶 果汁 售出占 售出占 售出占 【分析】咖啡奶的销售量占总销售量的，椰奶的销售量占总销售量的，果汁的销售量占总销售量的，它们所对应的单位“1”相同，都是总销售量，所以只需要比较分率的大小，即可说明哪种饮品的销售量更多；因此利用分数的基本性质，将三个分数化成同分母分数，即可比较大小，如果哪种饮品售出的多，就应该多进货，问题即可得解。 【解答】＝＝ ＝＝ ＝＝ ＜＜ 说明果汁的销售量最多。 答：通过比较大小，可知果汁售出的更多，对老板提的建议是：多进一些果汁，加强广告宣传。 【点评】此题的解题关键是掌握异分母异分子分数的大小比较的方法。 【考点七】分数和小数的互化 【典例一】把一根3m长的木条锯成同样长的8段，每段长度是这根木条总长度的，每段长m，也就是（ ）m。（填小数） 【答案】；；0.375 【典例二】五年级（l ）班举行折纸比赛，一组7个人共折了23个，二组8个人共折了36个，三组6个人共折了20个，平均每人折的最多的是哪个组呢？ 【分析】分别算出每组平均每人折的个数，作比较即可。 【解答】第一组平均每人折的个数：23÷7＝3（个） ≈3.286（个） 第二组平均每人折的个数：36÷8＝4.5（个）； 第三组平均每人折的个数：20÷6＝3（个）≈3.333（个）； 因为4.5＞3.333＞3.286，所以第二组平均每人折的个数多。 答：平均每人折的个数最多的是二组。 【点评】求出三个小组平均每人折的个数是解题关键，比较分数大小，把分数化成小数是其中方法之一，也可以通过通分的方法比较。 【典例三】2022年6月5日神舟十四号载人飞船顺利升空，我国航天事业愈发强大。王阿姨和李叔叔打同样一篇有关航天新闻的稿子，王阿姨平均每秒打个字，李叔叔平均每秒打0.9个字，谁打字快一些？ 【分析】把化成小数，用分子除以分母即可；然后按照小数大小比较的方法进行比较，谁每秒打的字多，谁就打字快一些。 【解答】＝5÷6≈0.83 因为0.83＜0.9，所以＜0.9。 答：李叔叔打字快一些。 【点评】本题考查分数与小数的互化以及小数大小的比较，也可以将0.9化成分数，再按照分数大小比较的方法进行比较。 一、填空题（满分20分） 1．（2分）一项工作，甲用了0.35小时完成，乙用了小时完成，（ ）做得快些。 【答案】甲 【分析】比较两人用的时间，同样一项工作，用时越少速度越快。小数和分数比大小，将分数化成小数再比较，分数化小数，直接用分子÷分母即可。 【解答】＝11÷25＝0.44、0.35小时＜小时，甲做得快些。 2．（2分）完成同样的一份数学试卷，聪聪用了小时，红红用了小时，（ ）的速度快一些。 【答案】红红 【分析】已知聪聪和红红完成同样的一份数学试卷所用的时间，求谁的速度快一些，只需比较两人所用的时间长短，用时越短，速度就越快。 【解答】＝＝ ＝＝ ＞，所以＞； 红红用的时间短，那么红红的速度快一些。 3．（2分）实验小学开展“我是小小宣传员”公益活动，参加人员每16人分成一组，或者每12人分成一组，都正好分完，该校参加“我是小小宣传员”公益活动的学生至少有（ ）人。 【答案】48 【分析】根据题意，每16人分成一组，或者每12人分成一组，都正好分完，说明参加公益活动的最少学生人数是16和12的最小公倍数。 先把16和12分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【解答】16＝2×2×2×2 12＝2×2×3 16和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48 该校参加“我是小小宣传员”公益活动的学生至少有48人。 4．（2分）有两条丝带，分别长12cm和20cm，现在要把它们截成同样长的小段（整厘米），不能有剩余，每小段最长是（ ）cm。 【答案】4 【分析】求每小段丝带最长是多少厘米，即求12和20的最大公因数，先把12和20进行分解质因数，这两个数的公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，据此解答。 【解答】12＝2×2×3，20＝2×2×5，12和20的最大公因数是2×2＝4。 有两条丝带，分别长12cm和20cm，现在要把它们截成同样长的小段（整厘米），不能有剩余，每小段最长是4cm。 5．（2分）一个最简分数，它的分子与分母的积是14，这个最简真分数可能是（ ）或（ ）。 【答案】 【分析】最简真分数：分子和分母只有公因数1且分子小于分母的分数 ，据此求出14的所有因数，再写出符合条件的最简真分数即可。 【解答】14的因数有：1，2，7，14，所以这个最简真分数可能是或。 6．（2分）把的分子增加9，要使分数大小不变，则分母增加（ ）。 【答案】24 【分析】根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变，据此确定分子扩大的倍数，进而求出分母的值，最后求出分母应乘或加上多少。 【解答】（3＋9）÷3 ＝12÷3 ＝4 8×4－8 ＝32－8 ＝24 把的分子增加9，要使分数大小不变，则分母增加24。 7．（2分）是真分数，那么a最小是（ ）；当a＝3时，可以写成带分数（ ）。 【答案】6 【分析】分子比分母小的分数叫做真分数；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。 把假分数化成带分数的方法：用分子除以分母，得到的商和余数；商是带分数的整数部分，余数是带分数的分子，分母不变。当假分数的分子为分母的倍数时，能化成整数。 【解答】当是真分数时，则a＞5，a可以是6、7、8、9…，a最小是6； 当a＝3时，＝＝。 填空如下： 是真分数，那么a最小是（6）；当a＝3时，可以写成带分数（）。 8．（2分）如果是真分数，那么a最大是（ ）；如果是假分数，那么a最小是（ ）。 【答案】7 8 【分析】真分数表示分子小于分母的分数，假分数表示分子大于或等于分母的分数，将满足条件的数列举出来，再从中找出最大或最小数。 【解答】是真分数，a＜8， a可以是：1、2、3、4、5、6、7，所以，如果是真分数，那么a最大是7； 如果是假分数，则a≥8，a可以是：8、9、10、11、12、13、14…，所以，如果是假分数，那么a最小是8。 9．（2分）3名小朋友平均分5个同样大小的月饼，每名小朋友分到（ ）个月饼，每名小朋友分到这些月饼的（ ）。 【答案】/ 【分析】求每名小朋友分到多少个月饼，平均分的是具体的数量5个，求的是具体的数量；求每名小朋友分到这些月饼的几分之几，平均分的是单位“1”，求的是分率；都用除法计算。 【解答】5÷3＝（个） 1÷3＝ 所以3名小朋友平均分5个同样大小的月饼，每名小朋友分到个月饼，每名小朋友分到这些月饼的。 10．（2分）5米长的钢管，锯成每段一样长的小段，共锯了5次，每段占全长的（ ），每段长（ ）米。 【答案】 【分析】把钢管共锯5次，实际把钢管平均分成6段，把钢管的长度看作单位“1”，平均分成6段，求每段占全长的分率，用1÷6解答；求每段长度，用钢管的长度÷6，即5÷6解答。 【解答】1÷6＝ 5÷6＝（米） 5米长的钢管，锯成每段一样长的小段，共锯了5次，每段占全长的，每段长米。 二、判断题（满分10分） 11．（2分）超市新进一批家用电器，冰箱的数量相当于电视机的，则冰箱的数量比电视机的少。（ ） 【答案】√ 【分析】将电视机数量看作单位“1”，冰箱的数量相当于电视机的，据此比较即可。 【解答】1＞ 超市新进一批家用电器，冰箱的数量相当于电视机的，则冰箱的数量比电视机的少，原题说法正确。 故答案为：√ 12．（2分）3米的和1米的一样长。（ ） 【答案】√ 【分析】根据分数的意义，3米的表示，把3米看作单位“1”，平均分成4份，其中的1份是米；1米的表示，把1米看作单位“1”，平均分成4份，其中的3份是米；据此判断。 【解答】3米的是米，1米的也是米； 所以，3米的和1米的一样长。 原题说法正确。 故答案为：√ 13．（2分）分数，因为分母中含有因数3，所以它不能化为有限小数。（ ） 【答案】× 【分析】有限小数指的是小数部分有限的小数，如果一个分数（最简分数）的分母中除了质因数2和5以外，不含有其他质因数，那么这个分数就能化成有限小数。据此解答。 【解答】，最简分数的分母是4，只有质因数2，因此是能够化成有限小数的0.75。所以上述说法错误。 故答案为：× 14．（2分）两个连续偶数的和是18，这两个数的最大公因数是2。 （ ） 【答案】√ 【分析】先根据两个连续偶数的和是18，两个连续偶数的差是2，用18减去2等于两个较小的偶数的和，再用两个较小的偶数和除以2，求出较小得偶数，再加上2求出较大的偶数；求得这两个数为8和10，再根据求两个数最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积求解。 【解答】（18－2）÷2 ＝16÷2 ＝8 8＋2＝10 8＝2×2×2 10＝2×5 所以8和10的最大公因数是2。 原题说法正确。 故答案为：√ 15．（2分）a、b、c都是非0的自然数，且，则。（ ） 【答案】√ 【分析】假设a、b、c这三个自然数分别是3、2、1，代入则、，再比较大小即可。 【解答】假设a、b、c这三个自然数分别是3、2、1 所以，a、b、c都是非0的自然数，且，则。原题说法正确。 故答案为：√ 三、选择题（满分10分） 16．（2分）一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，这袋糖最少有（    ）颗。 A．30 B．60 C．120 D．240 【答案】B 【分析】根据题意，一袋糖，4颗4颗地分、5颗5颗地分、6颗6颗地分，都正好分完而没有剩余，说明这袋糖最少的颗数是4、5、6的最小公倍数，据此解答。 【解答】 4、5、6的最小公倍数是2×2×3×5＝60 即这袋糖最少有60颗。 故答案为：B 17．（2分）把一张长72cm，宽60cm的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，且纸无剩余，至少能裁（    ）张。 A．2 B．4 C．30 D．6 【答案】C 【分析】把一块长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的最大公因数，把72、60分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即是正方形的最大边长。再看长、宽里面分别有几个这样的最大公因数，最后相乘，即可求出至少能裁的张数。 【解答】72＝2×2×2×3×3 60＝2×2×3×5 72和60的最大公因数是：2×2×3＝12 即正方形的边长最大是12cm。 72÷12＝6（张） 60÷12＝5（张） 一共：6×5＝30（张） 至少能裁30张。 故答案为：C 18．（2分）下面等式成立的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子分母同时乘或除以一个不为0的数，分数的大小不变，据此判断解答。 【解答】A． 等式不成立；不符合题意； B． 等式不成立；不符合题意； C． 等式成立；符合题意； D． 等式不成立；不符合题意。 等式成立的是。 故答案为：C 19．（2分）给的分母加上14，要使原分数的大小不变，则分子应（    ）。 A．乘3 B．加上3 C．加上14 D．乘14 【答案】A 【分析】7＋14＝21，21＝7×3，分数的分母加上14后变为21，相当于分母乘3，要使分数的大小不变，分数的分子也要乘3，2×3＝6，6－2＝4，相当于分子加上4。因此给的分母加上14，要使原分数的大小不变，则分子应乘3或者加上4，据此解答。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为零的数，分数的大小不变。 【解答】（7＋14）÷7 ＝21÷7 ＝3 2×3－2 ＝6－2 ＝4 给的分母加上14，要使原分数的大小不变，则分子应应乘3或者加上4。 故答案为：A 20．（2分）分子和分母是两个相邻的奇数，这样的分数一定是（    ）。 A．真分数 B．假分数 C．最简分数 D．不能确定 【答案】C 【分析】先理解真分数、假分数、最简分数的概念，再根据分子分母是相邻奇数这一条件判断该分数属于哪种类型。真分数是分子小于分母的分数；假分数是分子大于等于分母的分数；最简分数是分子和分母互质的分数，即分子分母除了1以外没有其他公因数。 【解答】仅知道分子分母是相邻奇数，不知道分子分母谁大谁小，所以不能确定它是真分数还是假分数。比如分子是5，分母是3时，它是假分数；若分子是3，分母是5时，它是真分数；所以分子和分母是两个相邻的奇数，这样的分数可能是真分数，也可能是假分数；由此排出选项A和选项B； 两个相邻的奇数，它们的公因数只有1。因为相邻奇数相差2，不存在除1以外的其他数能同时整除这两个数。所以这样的分数一定是最简分数。 所以分子和分母是两个相邻奇数的分数一定是最简分数。 故答案为：C 四、计算题（满分12分） 21．（6分）把下列各分数约分，是假分数的再化成带分数或整数。                                                  【答案】；；3；； 【分析】约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分；根据分数的基本性质进行约分，分子、分母同时除以它们的最大公因数，结果就是分子和分母只有公因数1的最简分数。 假分数化成整数：用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。分子能被分母整除的假分数可以化成整数。 假分数化成带分数：用假分数的分子除以分母，得到整数商和余数（余数比除数小）。整数商就是带分数的整数部分，余数为真分数部分的分子，分母不变。 【解答】 22．（6分）先通分，再比较大小。 和        和             和 、和    、和        、和 【答案】，，＜；，，＞；，，＜； ，，，＜＜；，，，＞＞；，，，＜＜ 【分析】把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分；通分时可以把两个分母的最小公倍数作为公分母，根据分数的基本性质，分子和分母要同时乘相同的数，这样分数大小不变；最后比较两个同分母分数的大小：分母相同，分子大的，分数就大。 【解答】＝＝，因为4＜7，所以＜，所以＜； ＝＝，＝＝，因为35＞24，所以＞，所以＞； 因为＝＝，＝＝，9＜10，所以＜，所以＜； ＝＝，＝＝，＝＝， 因为20＜24＜25，所以＜＜， 所以＜＜； ＝＝，＝＝， 因为6＜7＜20，所以＞＞，所以＞＞， ＝＝，＝＝，＝＝， 因为12＜21＜40，所以＜＜，所以＜＜。 五、作图题（满分6分） 23．（6分）下面一个正方形表示单位“1”，请你涂色表示出。 【答案】见详解 【分析】根据分数的意义，将每个正方形看作单位“1”，将它平均分成4份，每1份是这个正方形的，9份表示 。据此涂色即可。 【解答】根据分析，涂色如下： 六、解答题（满分42分） 24．（6分）同一种零件，甲师傅3小时做了20个，乙师傅2小时做了15个。谁做得快一些？ 【答案】乙师傅 【分析】做的个数÷用的时间＝每小时做的个数，据此求出甲乙两位师傅每小时做的个数，比较即可。分数的分子相当于被除数，分母相当于除数；异分母分数比较大小，先通分再比较。 【解答】甲师傅：20÷3＝（个）＝（个） 乙师傅：15÷2＝（个）＝（个） ＜ 答：乙师傅做得快一些。 25．（6分）学校艺术节开幕式上有40多名同学进行体操表演，他们12人排成一排或者8人排成一排都正好排完，一共有多少名学生参加体操表演？ 【答案】48名 【分析】12人排成一排或者8人排成一排都正好排完，说明总人数是12和8的公倍数，求出12和8的最小公倍数，再通过最小公倍数找到40至50之间的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【解答】12＝2×2×3 8＝2×2×2 2×2×2×3＝24（人） 24×2＝48（人） 40＜48＜50 答：一共有48名学生参加体操表演。 26．（6分）五年级共有男生96人，女生84人，男、女生分别站成若干排。要使每排人数相同，每排最多站多少人？这时，男、女生一共站了几排？ 【答案】15排 【分析】要使得每排人数相同，每排最多站的人数就是96和84的最大公因数。先将96和84分别分解质因数，两个数公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数。将女生人数除以这个最大公因数，求出女生有多少排。同理求出男生有多少排。利用加法求出一共站了几排。 【解答】96＝2×2×2×2×2×3 84＝2×2×3×7 96和84的最大公因数：2×2×3＝12 96÷12＋84÷12 ＝8＋7 ＝15（排） 答：这时，男、女生一共站了15排。 27．（6分）春城小学举行绘画比赛，全校共有140幅作品参赛。其中五年级组有28幅作品参赛，最终五年级组有6幅作品获得奖项。 （1）五年级组获奖作品占五年级组参赛作品的几分之几？ （2）五年级组参赛作品占全校参赛作品的几分之几？ 【答案】（1）；（2） 【分析】求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数。 分数和除法的关系：被除数相当于分子，除数相当于分母。 （1）将五年级组获奖作品数除以五年级组参赛作品数，求出五年级组获奖作品占五年级组参赛作品的几分之几； （2）将五年级组参赛作品数除以全校参赛作品数，求出五年级组参赛作品占全校参赛作品的几分之几。 【解答】（1）6÷28＝ 答：五年级组获奖作品占五年级组参赛作品的。 （2）28÷140＝ 答：五年级组参赛作品占全校参赛作品的。 28．（6分）甲、乙两位师傅完成同一种零件，甲师傅用了小时，乙师傅用了小时。小丽说：“两位师傅用的时间一样长。”小丽说的对吗？请用计算或画图的方法说明理由。 【答案】小丽说得对 【分析】根据分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变，的分子和分母同时乘2，则＝；据此解答。 【解答】＝＝ 所以两位师傅用的时间一样长。 答：小丽说的对。 【点评】掌握分数的基本性质是解题的关键。 29．（6分）小丽、小红和小芳做同样的数学题。小丽3分钟做了11道题，小红4分钟做了13道题，小芳5分钟做了16道题。她们平均每分钟各做了几道题？（结果化成带分数） 【答案】；； 【分析】根据做题总数÷时间＝平均每分钟做题数量，分别代入数据计算，即可求出她们平均每分钟各做了几道题。再根据假分数化成整数，用假分数的分子除以分母，如果没有余数，商就是所要化成的整数。分子能被分母整除的假分数可以化成整数。将计算结果化成带分数即可。 【解答】11÷3 ＝ ＝（道） 13÷4 ＝ ＝（道） 16÷5 ＝ ＝（道） 答：小丽平均每分钟做了道题，小红平均每分钟做了道题，小芳平均每分钟做了道题。 30．（6分）幼儿园的张阿姨买了4袋同样的糖果，每袋1.5千克。她要把这些糖果平均分给5个小朋友。 （1）每个小朋友分到多少千克糖果？ （2）每个小朋友分到几袋糖果？ 【答案】（1）千克 （2）袋 【分析】（1）先用1.5×4＝6千克，求出糖果总质量，再将6千克÷5即可求出平均1份的质量，即每个小朋友分到多少千克糖果。 （2）将4袋平均分成5份，用4÷5求出1份多少袋，即可求出平均每个小朋友分到袋数。 【解答】（1）4×1.5÷5 ＝6÷5 ＝（千克） 答：每个小朋友分到千克糖果 （2）4÷5＝（袋） 答：每个小朋友分到袋糖果。 学科网（北京）股份有限公司 $$