安徽省八下期中真题必刷基础60题（55个考点专练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

期中真题必刷基础60题（55个考点专练） 知识导图 一、二次根式有意义的条件 二、求二次根式中的参数 三、利用二次根式的性质化简 四、二次根式的乘法 五、二次根式的除法 六、二次根式的乘除混合运算 七、求二次根式的值 八、利用二次根式的性质化简 九、最简二次根式的判断 十、化为最简二次根式 十一、同类二次根式 十二、二次根式的加减运算 十三、二次根式的混合运算 十四、分母有理化 十五、已知字母的值，化简求值 十六、二次根式的应用 十七、一元二次方程的定义 十八、一元二次方程的一般形式 十九、一元二次方程的解 二十、解一元二次方程——直接开平方法 二十一、解一元二次方程——配方法 二十二、公式法解一元二次方程 二十三、因式分解法解一元二次方程 二十四、换元法解一元二次方程 二十五、配方法的应用 二十六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 二十七、根据一元二次方程根的情况求参数 二十八、一元二次方程的根与系数的关系 二十九、传播问题(一元二次方程的应用) 三十、增长率问题(一元二次方程的应用) 三十一、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 三十二、数字问题(一元二次方程的应用) 三十三、营销问题(一元二次方程的应用) 三十四、动态几何问题(一元二次方程的应用) 三十五、其他问题(一元二次方程的应用) 三十六、用勾股定理解三角形 三十七、勾股定理的证明方法 三十八、利用勾股定理证明线段平方关系 三十九、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 四十、以直角三角形三边为边长的图形面积 四十一、勾股定理与网格问题 四十二、勾股定理与折叠问题 四十三、已知两点坐标求两点距离 四十四、勾股树（数）问题 四十五、以弦图为背景的计算题 四十六、用勾股定理构造图形解决问题 四十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 四十八、求旗杆高度(勾股定理的应用) 四十九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 五十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 五十一、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 五十二、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 五十三、求最短路径(勾股定理的应用) 五十四、判断三边能否构成直角三角形 五十五、利用勾股定理的逆定理求解 题型强化 一、二次根式有意义的条件 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）若无意义，则a的值可能是（   ） A．0 B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 二、求二次根式中的参数 3．（八年级下·安徽合肥·期中）已知是正整数，则实数n的最小值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 三、利用二次根式的性质化简 4．（八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 四、二次根式的乘法 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）计算： 五、二次根式的除法 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 六、二次根式的乘除混合运算 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算． (1) (2) 七、求二次根式的值 8．（八年级下·安徽合肥·阶段练习）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 八、利用二次根式的性质化简 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 九、最简二次根式的判断 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 十、化为最简二次根式 12．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 十一、同类二次根式 13．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 十二、二次根式的加减运算 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 十三、二次根式的混合运算 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）计算：． 十四、分母有理化 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 十五、已知字母的值，化简求值 17．（八年级下·安徽铜陵·期中）已知，求 ． 十六、二次根式的应用 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板，则原矩形木板的面积为（   ） A． B． C． D． 十七、一元二次方程的定义 19．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 十八、一元二次方程的一般形式 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9 十九、一元二次方程的解 21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 二十、解一元二次方程——直接开平方法 22．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 二十一、解一元二次方程——配方法 23．（24-25·安徽·假期作业）一元二次方程，用配方法变形可得（   ） A． B． C． D． 二十二、公式法解一元二次方程 24．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）计算或解方程： (1) (2) 二十三、因式分解法解一元二次方程 25．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 二十四、换元法解一元二次方程 26．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若，则的值是 ． 二十五、配方法的应用 27．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）若一元二次方程可化为，则的值为 ． 二十六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 28．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 二十七、根据一元二次方程根的情况求参数 29．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二十八、一元二次方程的根与系数的关系 30．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的一边为，另外两边为的两根，则的值为 ． 二十九、传播问题(一元二次方程的应用) 31．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．12人 B．12人 C．13人 D．14人 三十、增长率问题(一元二次方程的应用) 32．（2023·安徽·一模）随着“二胎政策”的推出，享受政策出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2022年学生数比2021年增长了，2023年新学期开学统计，该校学生数又比2022年增长了，设2022、2023这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是（　　） A． B． C． D． 三十一、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 33．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（    ）      A． B． C． D． 三十二、数字问题(一元二次方程的应用) 34．（八年级下·安徽蚌埠·期中）图示为2018年的5月的月历，在此月历上任意圈出个数组成一个正方形，它们组成正方形（如），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为，这四个数的和为（    ） A． B． C． D． 三十三、营销问题(一元二次方程的应用) 35．（22-23八年级下·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元． 三十四、动态几何问题(一元二次方程的应用) 36．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 三十五、其他问题(一元二次方程的应用) 37．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）某校要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场（双循环），计划安排30场比赛，设有支球队，可列方程为（    ） A． B． C． D． 三十六、用勾股定理解三角形 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知的三个角度数的比，，则为（　　） A． B．4 C．2 D． 39．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在数轴上，点和点对应的实数分别是和，，，以点为旋转中心，以为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 40．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点． （1）若，则的长度为 ； （2）若是边上的动点，则的最小值为 ． 三十七、勾股定理的证明方法 41．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 三十八、利用勾股定理证明线段平方关系 42．（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 三十九、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 43．（八年级下·安徽合肥·期中）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为（    ） A．5 B． C．5或 D．7 四十、以直角三角形三边为边长的图形面积 44．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 ． 四十一、勾股定理与网格问题 45．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图，在每个小正方形面积为1的方格纸中有三个格点、、，则点到的距离为 ． 四十二、勾股定理与折叠问题 46．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 四十三、已知两点坐标求两点距离 47．（23-24八年级·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 四十四、勾股树（数）问题 48．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，组成勾股数的是（   ）． A．，，1 B．，， C．8，， D．4，5，6 四十五、以弦图为背景的计算题 49．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）      A． B．1 C． D．2 四十六、用勾股定理构造图形解决问题 50．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长（    ）尺． A．10 B．8 C．10或2 D．8或2 四十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 51．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移，则梯子的长为（    ） A．24 B．25 C．15 D．20 四十八、求旗杆高度(勾股定理的应用) 52．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何?译文：今有一整直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，求木柱的长． 四十九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 53．（八年级下·安徽滁州·期中）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（     ） A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm 五十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 54．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，未折抵地，间折者高几何？”意思是：一根柱子， 原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？ 五十一、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 55．（八年级下·安徽安庆·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是 尺． 五十二、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 56．（八年级下·安徽合肥·期中）如图，在高3m，楼梯倾角∠ABC为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 m． 五十三、求最短路径(勾股定理的应用) 57．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 五十四、判断三边能否构成直角三角形 58．（八年级下·安徽安庆·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D． 59．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的一组是（    ） A．1，2， B．，， C．2，，4 D．，，7 五十五、利用勾股定理的逆定理求解 60．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷基础60题（55个考点专练） 知识导图 一、二次根式有意义的条件 二、求二次根式中的参数 三、利用二次根式的性质化简 四、二次根式的乘法 五、二次根式的除法 六、二次根式的乘除混合运算 七、求二次根式的值 八、利用二次根式的性质化简 九、最简二次根式的判断 十、化为最简二次根式 十一、同类二次根式 十二、二次根式的加减运算 十三、二次根式的混合运算 十四、分母有理化 十五、已知字母的值，化简求值 十六、二次根式的应用 十七、一元二次方程的定义 十八、一元二次方程的一般形式 十九、一元二次方程的解 二十、解一元二次方程——直接开平方法 二十一、解一元二次方程——配方法 二十二、公式法解一元二次方程 二十三、因式分解法解一元二次方程 二十四、换元法解一元二次方程 二十五、配方法的应用 二十六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 二十七、根据一元二次方程根的情况求参数 二十八、一元二次方程的根与系数的关系 二十九、传播问题(一元二次方程的应用) 三十、增长率问题(一元二次方程的应用) 三十一、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 三十二、数字问题(一元二次方程的应用) 三十三、营销问题(一元二次方程的应用) 三十四、动态几何问题(一元二次方程的应用) 三十五、其他问题(一元二次方程的应用) 三十六、用勾股定理解三角形 三十七、勾股定理的证明方法 三十八、利用勾股定理证明线段平方关系 三十九、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 四十、以直角三角形三边为边长的图形面积 四十一、勾股定理与网格问题 四十二、勾股定理与折叠问题 四十三、已知两点坐标求两点距离 四十四、勾股树（数）问题 四十五、以弦图为背景的计算题 四十六、用勾股定理构造图形解决问题 四十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 四十八、求旗杆高度(勾股定理的应用) 四十九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 五十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 五十一、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 五十二、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 五十三、求最短路径(勾股定理的应用) 五十四、判断三边能否构成直角三角形 五十五、利用勾股定理的逆定理求解 题型强化 一、二次根式有意义的条件 1．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）若无意义，则a的值可能是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式无意义的条件，根据二次根式无意义的条件为被开放数为负数得出，从而得出a的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵无意义， ∴ ∴ ∴a的值可能是 故选D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解答此题的关键． 根据分式及二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， ． 故答案为：． 二、求二次根式中的参数 3．（八年级下·安徽合肥·期中）已知是正整数，则实数n的最小值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【知识点】求二次根式中的参数 【分析】根据正整数的定义得出n-100为1时，实数n的最小，进而得出答案； 【详解】解：∵是正整数， ∴当18n=1时即可得到n的值最小， 此时， 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握正整数的定义是解题关键． 三、利用二次根式的性质化简 4．（八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简 【详解】B选项：，故是错误的； C选项：，故是错误的； D选项：被开方数为负数，无意义，故是错误的； 故选A． 四、二次根式的乘法 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）计算： 【答案】 【知识点】零指数幂、二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算、零指数幂的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算、零指数幂的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式 ． 五、二次根式的除法 6．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】根据二次根式的运算法则分析即可求出答案．本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 【详解】解：当，时，，故选项不正确； 当时，，故选项不正确； 当，时，，故选项不正确； ∵， ∴，故选项D正确， 故选：D． 六、二次根式的乘除混合运算 7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【知识点】二次根式的乘除混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 七、求二次根式的值 8．（八年级下·安徽合肥·阶段练习）估计的值应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【知识点】求二次根式的值、无理数的大小估算 【分析】先根据根式的运算法则进行化简，再判断它的取值范围． 【详解】解： ∵4＜6＜9 ∴2＜＜3 故选：B 【点睛】本题考查了根式的运算和估算无理数的大小，熟练掌握根式运算是解题的关键． 八、利用二次根式的性质化简 9．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式的加法法则、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、二次根式的乘除法法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，不是同类二次根式不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 九、最简二次根式的判断 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式应满足的条件：（1）被告开方式不含有开的尽方的因数与因式，（2）被告开方式不含有分母是解题的关键．根据最简二次根式应满足的条件解答即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、不是二次根式，不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 十、化为最简二次根式 12．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，解题关键是掌握最简二次根式的概念：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，原式不是最简二次根式，不符合题意； B、，原式不是最简二次根式，不符合题意； C、，原式不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意， 故选D． 十一、同类二次根式 13．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）下列二次根式能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的是同类二次根式，即可合并． 本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式是解题的关键． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，与能合并，故B符合题意； C、与不能合并，故C不符合题意； D、，与不能合并，故D不符合题意； 故选：B． 十二、二次根式的加减运算 14．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的化简，二次根式的加法，除法运算，熟练掌握知识点，正确化简是解题的关键． A、B选项分别化简即可，C、D选项分别利用二次根式的除法，加法和除法进行化简计算． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 十三、二次根式的混合运算 15．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）计算：． 【答案】5 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式，二次根式的乘法以及二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：原式 十四、分母有理化 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 十五、已知字母的值，化简求值 17．（八年级下·安徽铜陵·期中）已知，求 ． 【答案】4 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】由题意，先求出和的值，然后相加，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴； ； ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 十六、二次根式的应用 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为 和 的正方形木板，则原矩形木板的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键．根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案． 【详解】解：（1）两个正方形的面积分别为和， 这两个正方形的边长分别为和， 原矩形木板的面积为， 故选：B 十七、一元二次方程的定义 19．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若是一元二次方程，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选：B． 十八、一元二次方程的一般形式 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．；3； B．3；； C．3；；9 D．；；9 【答案】B 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程（其中a、b、c是常数，且），a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此求解即可． 【详解】解：方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为3；；， 故选；B． 十九、一元二次方程的解 21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， 即； ∵关于的一元二次方程有一个根为， 故将代入方程为， 整理得：， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 二十、解一元二次方程——直接开平方法 22．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）定义新运算，对于两个不相等的实根，我们规定符号表示中较小值，如．，，按照这样的规定，若，则的值是（    ） A．2或 B．或 C．2或 D．或 【答案】B 【知识点】新定义下的实数运算、解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，分当即时，当即时，根据新定义可得方程和方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：当即时， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 当即时， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，的值是或， 故选：B． 二十一、解一元二次方程——配方法 23．（24-25·安徽·假期作业）一元二次方程，用配方法变形可得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法将原方程变形即可． 【详解】解： 配方得：， 即， 故选：C 二十二、公式法解一元二次方程 24．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期中）计算或解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、二次根式的乘除混合运算 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， 即方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则和解一元二次方程的一般方法，准确计算． 二十三、因式分解法解一元二次方程 25．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二次根式中的参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原式变形为，解出方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 由题意得：， ∴， ∴． 故选：D 二十四、换元法解一元二次方程 26．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，据此解方程得到或（舍去），则． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 二十五、配方法的应用 27．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）若一元二次方程可化为，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】配方法的应用 【分析】先求出b的值，再根据配方法将题目中方程变形，然后即可得到k的值． 【详解】解：一元二次方程可化为， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵一元二次方程可化为， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形． 二十六、根据判别式判断一元二次方程根的情况 28．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 二十七、根据一元二次方程根的情况求参数 29．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若一元二次方程有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根得情况求参数，根据题意可知，即可求出m的取值范围． 【详解】解：根据题意可知：， 即：， 解得：， 故选：B． 二十八、一元二次方程的根与系数的关系 30．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若一个等腰三角形的一边为，另外两边为的两根，则的值为 ． 【答案】或16 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了根与系数的关系，三角形三边的关系以及等腰三角形的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 等腰三角形一边为，有两种情况，腰为或者底为，分开讨论并结合根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的根两个根是，则利用一元二次方程的根与系数的关系得，， 若腰为3，则，则，三边为3，3，5，， 若底为3， 则，三边为3，4，4，则， 则或16， 故答案为：或16． 二十九、传播问题(一元二次方程的应用) 31．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．12人 B．12人 C．13人 D．14人 【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；传染源为人，每次传播人，第一轮传播后，感染的人数一共为人，人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为人，根据两轮感染的总人数即可列出方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 故选：D． 三十、增长率问题(一元二次方程的应用) 32．（2023·安徽·一模）随着“二胎政策”的推出，享受政策出生的孩子越来越大，纷纷到了入学年龄，某校2022年学生数比2021年增长了，2023年新学期开学统计，该校学生数又比2022年增长了，设2022、2023这两年该校学生数平均增长率为，则满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这两年该校学生数平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设这两年该校学生数平均增长率为，列方程为， 故选：C． 三十一、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 33．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为， 由题意得，        整理得：， 解得： (不合题意，舍去)          ∴折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是， 故选：D． 三十二、数字问题(一元二次方程的应用) 34．（八年级下·安徽蚌埠·期中）图示为2018年的5月的月历，在此月历上任意圈出个数组成一个正方形，它们组成正方形（如），如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为，这四个数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圈出的四个数中最小数为x，则其它三个数分别为x+1，x+7，x+8，根据圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值代入（x+x+1+x+7+x+8）中即可求出结论． 【详解】解：设圈出的四个数中最小数为x，则其它三个数分别为x+1，x+7，x+8， 依题意，得：x（x+8）=128， 解得：x1=8，x2=-16（不合题意，舍去）， ∴x+x+1+x+7+x+8=48． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三十三、营销问题(一元二次方程的应用) 35．（22-23八年级下·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意，列方程表示每周利润，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 即， 解得，，， ∵每件头盔的利润不能超过进价的， ∴每件头盔的售价不能超过元， 所以舍去， 所以售价应为100元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键． 三十四、动态几何问题(一元二次方程的应用) 36．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 【答案】 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的时间应用，根据落回地面时，物体的高度为0列出方程求解即k． 【详解】解：当时，解得（舍去）或， ∴物体经过秒落回底面， 故答案为：． 三十五、其他问题(一元二次方程的应用) 37．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）某校要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场（双循环），计划安排30场比赛，设有支球队，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设有支球队，根据题意每两队之间都赛2场（双循环）,每支球队比赛场，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设有支球队，每两队之间都赛2场（双循环），计划安排30场比赛， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三十六、用勾股定理解三角形 38．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）已知的三个角度数的比，，则为（　　） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了勾股定理，以及含30度直角三角形的性质．由三角之比，利用内角和定理求出三角度数，利用30度所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：的三个内角度数之比是， ，，， ， ． 故选：A． 39．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图，在数轴上，点和点对应的实数分别是和，，，以点为旋转中心，以为半径画弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、用勾股定理解三角形、数轴上两点之间的距离，解题关键是熟练掌握实数与数轴的对应关系． 先由题意得，利用勾股定理求出后，根据实数与数轴关系即可求解． 【详解】解：依题得：， ，，， ， ， 表示的实数是， 此时表示的实数为． 故答案为：． 40．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，中，，，是的角平分线，是上的动点． （1）若，则的长度为 ； （2）若是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 / 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题： （1）由三线合一定理可得，则由勾股定理可得，再由含30度角的直角三角形的性质可得， 设，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，可证明，则当三点共线，且时，，即最小，最小值为的值， 利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，，即最小，最小值为的值， ∴此时有， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三十七、勾股定理的证明方法 41．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． (1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； (2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】(1)见解析； (2)该飞镖状图案的面积是； (3) 【知识点】勾股定理的证明方法、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 则． （2）解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． （3）解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 三十八、利用勾股定理证明线段平方关系 42．（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 三十九、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 43．（八年级下·安徽合肥·期中）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的第三条边长为（    ） A．5 B． C．5或 D．7 【答案】C 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设该直角三角形的第三条边长为， ∵直角三角形的两条边长为， ，且满足， ∴，． 若4是直角边，则第三边是斜边，由勾股定理得： ，∴； 若4是斜边，则第三边为直角边，由勾股定理得： ，∴； ∴第三边的长为5或． 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 四十、以直角三角形三边为边长的图形面积 44．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】64 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再由勾股定理得到，据此结合正方形面积公式即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴阴影部分的面积之和为64， 故答案为：64． 四十一、勾股定理与网格问题 45．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）如图，在每个小正方形面积为1的方格纸中有三个格点、、，则点到的距离为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题、分母有理化、求一个数的算术平方根 【分析】此题重点考查学生对勾股定理在方格中的实际应用能力，构建直角三角形是解题的关键．连接，过点A作的垂线交于点E，利用三角形的面积求出的长即可得到答案． 【详解】解：连接，过点A作的垂线交于点E，如图所示： ， ， ， ∴， 即点A到的距离为． 故答案为：． 四十二、勾股定理与折叠问题 46．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力． 【详解】 解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：B． 四十三、已知两点坐标求两点距离 47．（23-24八年级·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 【答案】 3 ，或 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，解题的关键是∶ （1）利用两点间距离公式求出，，，然后根据“最佳间距”定义求解即可； （2）分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴点，，的“最佳间距”是3； 故答案为：3； （2）∵点，，， ∴，， 当时，或 若， ，，符合题意； 若， ，，符合题意； 当时，或， 若， ，，符合题意； 当时，无解， 综上，点的横坐标为，或． 故答案为：，或． 四十四、勾股树（数）问题 48．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，组成勾股数的是（   ）． A．，，1 B．，， C．8，， D．4，5，6 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握满足的三个正整数是勾股数是解题的关键． 根据勾股数的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A、B中不是正整数，不能组成勾股数，故不符合要求； C中，能组成勾股数，故符合要求； D中，不能组成勾股数，故不符合要求； 故选：C． 四十五、以弦图为背景的计算题 49．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（    ）      A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】设其中一个直角三角形的面积为x，则，再根据，可得答案． 【详解】解：设其中一个直角三角形的面积为， 则，， ， ， ， 的值是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形面积的关系，表示出和是解题的关键． 四十六、用勾股定理构造图形解决问题 50．（22-23八年级下·安徽宣城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长（    ）尺． A．10 B．8 C．10或2 D．8或2 【答案】A 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿尺，则图中．    ， ， 又在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 所以， 整理，得， 因式分解，得， 解得，， 因为且， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，解一元二次方程，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 四十七、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 51．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端也外移，则梯子的长为（    ） A．24 B．25 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】设，利用勾股定理用表示出和的长，进而求出的值，即可求出的长度． 【详解】解：设，依题意，得，， 在中，根据勾股定理 在中，根据勾股定理 ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，找到为梯子长等量关系是解题的关键． 四十八、求旗杆高度(勾股定理的应用) 52．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何?译文：今有一整直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，求木柱的长． 【答案】木柱的长为尺． 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长． 【详解】解：设木柱的长为x尺，则绳索长为尺， ∴根据题意得：， 解得． ∴木柱的长为尺． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题． 四十九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 53．（八年级下·安徽滁州·期中）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（     ） A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】C 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【详解】展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB==30cm． 故选：C 五十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 54．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，未折抵地，间折者高几何？”意思是：一根柱子， 原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？ 【答案】尺 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设还有尺高，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：； 解得： 答：还有尺高． 故答案为：尺 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 五十一、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 55．（八年级下·安徽安庆·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是 尺． 【答案】10 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)、解一元二次方程——配方法 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门对角线长． 【详解】解：设竹竿x尺，则图中BD=x． ∴BC=BE-CE=x-4（x＞4），CD=CF-DF=x-2（x＞2）， 在直角三角形BCD中，∠BCD=90°， 由勾股定理得：BC2+CD2=BD2， 所以（x-4）2+（x-2）2=x2， 整理，得x2-12x+20=0， 因式分解，得（x-10）（x-2）=0， 解得x1=10，x2=2， ∵x＞4， ∴x=10． 答：竹竿为10尺． 故答案为：10． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 五十二、求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 56．（八年级下·安徽合肥·期中）如图，在高3m，楼梯倾角∠ABC为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为 m． 【答案】3+3 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用)、含30度角的直角三角形 【分析】由题意得，地毯的总长度为,根据含30°直角三角形的性质求出的长，再根据勾股定理可求出的长，进而求得地毯的长度． 【详解】解：如图，由题意得，地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于， 即地毯的总长度为， 在中 ∴（m） ∴（m）． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理，解题的关键是明白每个台阶的两条直角边的和是直角的直角边的和． 五十三、求最短路径(勾股定理的应用) 57．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用；要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，   ，， ，， ，， 则所走的最短路径的长是； 第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，   ，， ，， 所以走的最短路径的长是； 第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，   ，，， ， 则所走的最短路径的长是； ， 所走的最短路径的长是． 故答案为：． 五十四、判断三边能否构成直角三角形 58．（八年级下·安徽安庆·期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．1，， D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】此题考查的是直角三角形的判定，掌握用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，能构成直角三角形，故符合题意； D、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：C． 59．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的一组是（    ） A．1，2， B．，， C．2，，4 D．，，7 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为1，2，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，可以组成直角三角形，故此选项符合题意； C、∵， ∴三边长为2，，4不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴三边长为，，7不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 五十五、利用勾股定理的逆定理求解 60．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，的三条边，，，，则 ． 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面积公式计算即可，本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】∵，，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$