精品解析：重庆市万州第三中学等多校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

重庆市高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章、必修第二册第六章6.4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某扇形的弧长为5，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若钝角满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（ ） A B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 在上恰有50个零点 11. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 8 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的化简结果为________. 13. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则________. 14. 已知，都是锐角，且，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，. （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 16. 如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，. （1）直接写出，两点的坐标； （2）若，，求； （3）用向量方法证明. 17. 已知函数部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴． （1）求的解析式； （2）求单调递减区间； （3）若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 18. 如图，，E是线段AD的中点，过点E的直线MN交线段AB于M，交线段AC于N，，，其中，. （1）用向量，表示. （2）证明：. （3）若，，，且，求m，n的值. 19. 设为非空数集，实数满足以下两个条件： （i），；（ii）对任意给定的，总存在，使得.这时，称为集合的上确界. （1）直接写出集合的上确界. （2）证明：集合的上确界为1. （3）已知函数，求集合的上确界. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第五章、必修第二册第六章6.4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示的公式即可求解. 【详解】因为，所以，解得. 故选：D 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切型函数的周期公式求结论即可. 【详解】函数的最小正周期. 故选：A. 3. 已知某扇形的弧长为5，圆心角为2rad，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式和面积公式即可求解. 【详解】因为扇形的弧长为5，圆心角为， 由弧长公式可知：，所以该扇形的半径， 由扇形面积公式可知：，所以该扇形面积为． 故选：D. 4. 在中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到向量，再利用向量减法的三角形法则表示出即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 5. 若钝角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】弦化切计算可得，又为钝角，所以 得出正切，最后应用二倍角正切公式计算即可. 【详解】因为，所以，所以， 又为钝角，所以 ，则， 计算得． 故选：B. 6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的夹角为锐角，得出两向量的数量积大于0，且向量不共线，再用向量坐标代入计算即可得解. 【详解】因为，，所以.又与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 则解得，且. 故选：C. 7. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，作，交的延长线于点F，由向量的坐标运算求出. 【详解】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系. 作，交的延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B 8. 若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则，结合垂线段最短性质求解. 【详解】在中，令，则，依题意，， 过作于，于是， 所以的最小值是2. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为，不共线，且都是非零向量，所以向量，可以作基底，故A符合题意； 对于B，因为，，则，所以，共线，则向量，不可以作基底，故B不符合题意； 对于C，因为，不共线，且都是非零向量，所以向量，可以作基底，故C符合题意. 对于D，因为，，则，所以，共线，则向量，不可以作基底，故D不符合题意. 故选：AC. 10. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. 为奇函数 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 在上恰有50个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象变换求得的解析式，再根据三角函数奇偶性、对称性、单调性以及零点个数的判断方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的4倍，得到函数的图象. 对A：，函数定义域为，又， 故为奇函数，A正确； 对B：，故关于对称，B正确； 对C：当时，，则在单调递增，C错误； 对D： ，当时，则， 故只需考虑，在上的零点个数， 又，结合正弦函数的图象，可知在上共有个零点，D正确. 故选：ABD. 11. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 8 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意建系，利用平面向量数量积的坐标表示，可得答案. 【详解】取线段的中点为，连接， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立直角坐标系，如下图： 则，，， 由图知， 可得，， ， 知. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简结果为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减运算计算得解. 【详解】. 故答案为： 13. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积的运算律及夹角公式计算得解. 【详解】依题意，，则， 即，解得， 所以. 故答案为： 14. 已知，都是锐角，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，先由平方关系求出和，再由二倍角公式求出和，再构造角，利用和角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，都是锐角，所以，所以. 则， . 因为，都是锐角，且，所以， 则 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，. （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用坐标计算模即可. （2）利用共线向量定理，结合向量的坐标运算求解. （3）利用向量的运算律及夹角公式求解. 【小问1详解】 由，得. 【小问2详解】 由与同向，令，则，而，解得， 所以. 【小问3详解】 由，得，即，解得， 因此，而，则， 所以与的夹角是. 16. 如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，. （1）直接写出，两点的坐标； （2）若，，求； （3）用向量方法证明. 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为， （2）， （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）结合三角函数的定义可得结论； （2）由条件结合平方关系求，，再根据数量积的坐标运算公式求结论； （3）根据，结合向量数量积的坐标运算公式及向量的模的公式证明结论. 【小问1详解】 由三角函数定义可得等于点的横坐标，等于点的纵坐标， 等于点的横坐标，等于点的纵坐标， 点的坐标为， 点的坐标为， 【小问2详解】 因为为第二象限角，， 所以， 因为为第一象限角，， 所以， 所以， 【小问3详解】 因为， ， ，， 所以， 所以. 17. 已知函数的部分图象如图所示，直线是图象的一条对称轴． （1）求的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）若方程在内恰有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数最小正周期，进而得到，，代入特殊点坐标，求出，得到解析式； （2）整体法求出函数单调递减区间； （3）得到，结合图象得到，求出答案. 【小问1详解】 由题可知，的最小正周期，则， 则，，即，． 因为，所以． 又，所以，得． 故． 小问2详解】 令， 得， 则的单调递减区间为． 【小问3详解】 由，得． 由，得． 因为方程在内恰有两个不相等的实数根，所以， 解得，即取值范围为． 18. 如图，，E是线段AD的中点，过点E的直线MN交线段AB于M，交线段AC于N，，，其中，. （1）用向量，表示. （2）证明：. （3）若，，，且，求m，n的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结会图形的几何性质，可得答案； （2）由共线定理的推论，利用与（1）同一组基底表示，建立方程组，可得答案； （3）由题干中给定的数量积，利用同一组基底表示，根据数量积的运算律，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 因为E是线段AD的中点，所以. 【小问2详解】 证明：因为M，E，N三点共线，所以. 因为，，所以. 由（1）可知，则， 所以，所以. 【小问3详解】 因为，，所以. 由（1）可知，所以. 因为，，，且，所以. 由（2）可知，联立，解得，. 19. 设为非空数集，实数满足以下两个条件： （i），；（ii）对任意给定的，总存在，使得.这时，称为集合的上确界. （1）直接写出集合上确界. （2）证明：集合的上确界为1. （3）已知函数，求集合的上确界. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用上确界的定义及正切函数的单调性计算即可； （2）利用正弦函数的单调性及上确界的定义计算即可； （3）利用正余弦函数的图象与性质分类讨论去绝对值符号，研究函数的值域结合上确界的定义计算即可. 【小问1详解】 由正切函数的单调性知时，单调递增，则， 由上确界的定义，对于，，对任意给定的，可取， 则，使得，所以上确界为； 【小问2详解】 由正弦函数的单调性可知时，则， 易知，显然，则， 所以, 由上确界的定义，对于，满足， 且对任意给定的，由于无限接近或时，无限接近1， 所以，所以的上确界为； 【小问3详解】 若时，易知，则， 由正弦函数的单调性可知：， 若时，易知， 则，由余弦函数的单调性可知：， 综上可知， 由上确界的定义知， 且对任意的，可取，满足， 即的上确界为. 【点睛】思路点睛：灵活运用三角函数的图象与性质，反复审题确定上确界的定义，计算函数的值域即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$