4.1 比例的意义和基本性质-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（人教版 广东专用）

370π(cm2) 解析:由题图可知,这个组合图形的 表面积为小、中、大圆柱的侧面积与大圆柱的两个 底面积的和。 4. 40×40×5+3.14×40×40÷2+3.14×(40÷ 2)2=11768(cm2) 5. 6÷2=3(cm) 3.14×32×(25-18)= 197.82(cm3) 197.82cm3=197.82mL 解析:亮亮喝的饮用水的体积相当于底面半径是 (6÷2)cm、高是(25-18)cm的圆柱的体积。 6. 3.14×102×2.4÷45=942 (cm3) 解析:下降 部分(2.4cm)的水的体积是(3.14×102×2.4)cm3, 而(3.14×102×2.4)cm3 恰好是小球体积的45 ,则 小球的体积是 3.14×102×2.4÷45 cm3。 7. 1 3×3.14×2 2×6=25.12(cm3) 解析:将三角形ABC 以边AC 所在的直线为轴旋 转一周,得到两个圆锥,圆锥的底面半径是2cm, 高分别是AD、CD 的长度,而AD 与CD 的长度和 为6cm,所以这个立体图形的体积为13×3.14× 22×6=25.12(cm3)。 8. 2×3.14×(5+2)×6+2×3.14×5×6= 452.16(cm2) 3.14×[(5+2)2-52]×2= 150.72(cm2) 452.16+150.72=602.88(cm2) 解析:旋转后得到一个空心圆柱(如图),这个空心 圆柱的表面积是两个圆柱的侧面积与两个环形的 面积之和。 9. 8dm=80cm 3.14×12×80=3014.4(cm2) 解析:求制作一节通风管所需要的铁皮面积,实际 上是求圆柱的侧面积。 10. 圆柱形檀木与圆锥形檀木底面积的比:22∶12= 4∶1 体积的比:(4×1)∶ 13×1×3 =4∶1 圆柱形檀木的体积:62.8÷(4+1)×4=50.24(立 方分米) 圆锥形檀木的体积:62.8-50.24=12.56(立方分米) 解析:由圆柱形檀木、圆锥形檀木底面半径的比是 2∶1知,它们的底面积的比是22∶12=4∶1;又因 为圆柱形、圆锥形檀木高的比是1∶3,所以圆柱 形、圆 锥 形 檀 木 的 体 积 的 比 是 (4×1)∶ 1 3×1×3 =4∶1,进而根据它们的体积之和是 62.8立方分米,分别算出圆柱形、圆锥形檀木的 体积。 11. 解:设圆柱的高是xcm。 15×15×(15- x)=15×15×5-15×15×15×5 x=11 15× 15×15×11=495 (cm3) 解析:根据题意知,容器 正放、倒放时空余部分的容积相等。正放时,容器 空余部分的容积=正方体的底面积×(15cm-圆 柱的高);倒放时,容器空余部分的容积=正方体的 底面积×5cm-圆柱的底面积×5cm,列方程解答 即可求出圆柱的高,进而求出圆柱的体积。 4　比　例 1. 比例的意义和基本性质 第1课时 比例的意义 1. (1) 答案不唯一,如4∶8=6∶12 (2) 1、2、3、 4、6、8、12、16、24、48 1∶2=3∶6(第2空答案不 唯一) 2. (1) 答案不唯一,如12.5∶5=20∶8 (2) ✕ (3) 答案不唯一,如24∶3=56∶7 解析:判断两种量的比能否组成比例,要看这两种 量组成的比的比值是否相等。 3. (1) 80∶1=80 160∶2=80 240∶3=80 320∶4=80 比值相等 (2) 天鹅的飞行速度 (3) 答案不唯一,如80∶1=160∶2 160∶2=320∶4 4. 阳阳的想法不对 理由:0.5时=30分,15∶ 20=0.75,22.5∶30=0.75,15∶20=22.5∶30,叶 叔叔前20分钟、接下来半小时销售荔枝的质量与 时间的比能组成比例。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 5. (1) 半径之比:(8÷2)∶7=4∶7 周长之比:8π∶(2×π×7)=4∶7 能组成比例 因为它们的比值相等 (2) 半径之比:4∶7 面积 之比:(8÷2)2π∶72π=16∶49 不能组成比例 因为它们的比值不相等 方法归纳 判断两个比能否组成比例的方法 判断两个比能否组成比例,关键要看它们 的比值是否相等。若比值相等,则能组成比 例;若比值不相等,则不能组成比例。 6. 第四个数:72÷(8+1)=8 第一个数:8×8= 64 第二个数:64÷2.5=25.6 第三个数:2.5× 8=20 64∶25.6=20∶8 解析:由题意可知,将第四个数看作1份,则第一个 数是这样的8份,因此第四个数是72÷(8+1)= 8,第一个数是8×8=64,再根据“两个比的比值是 2.5”,依次求出第二个数、第三个数。 第2课时 比例的基本性质 1. (1) 7 3 y3 易错分析 逆用比例的基本性质 把等式ax=by 改写成比例时(a、b、x、y 均不为0),相乘的两个字母必须同时作比例的 外项或内项。 (2) 20 (3) 5 2 (4) 36π 2. (1) 8×2.4=19.2 6×3.2=19.2 19.2=19.2 可以组成比例 (2) 3 5×12= 36 5 15×34= 45 4 36 5≠ 45 4 不可以组成比例 (3) 45×0.3=13.5 14×54=13.5 13.5=13.5 可以组成比例 3. 两人走的路程与时间之比能组成比例 420∶6=525∶7.5 这个比例的内项是6和525, 外项是420和7.5(或525∶7.5=420∶6 这个比 例的内项是7.5和420,外项是525和6) 4. (1) 10 (2) 3.6 (3) 90 5. 答案不唯一,如1∶5=2∶10 1∶3=2∶6 6. 答案不唯一,如a∶c=d∶b b∶c=d∶a c∶a=b∶d d∶a=b∶c 解析:因为a、b是三 角形对应的底和高,c、d 也是三角形对应的底和 高,三角形的面积一定,所以有ab=cd,逆用比例 的基本性质,即可改写成比例。 7. C 解析:由比例的基本性质知,ad=bc,当b 乘4,c不变时,bc扩大到原来的4倍。要使比例 仍然成立,则ad 也要扩大到原来的4倍,而a 除 以4,所以d应该乘16。 第3课时 解 比 例 1. x=38 x= 3 2 x=5.8 x=0.48 2. (1) 解:设小刚大约能跳xm。 x∶1.2=6∶1 x=7.2 (2) 解:设小彤在地球上大约能跳xm。 11.4∶x=6∶1 x=1.9 3. 解:设西城楼的长是xm。 x∶14=13∶7 x=26 26-14=12(m) 4. (1) 3 9 (2) 520 (3) 7 (4) 2 3 5. 3.14×6×6+3.14×(6÷2)2×2=169.56(cm2) 解:设这个球的表面积是xcm2。 169.56∶x= 3∶2 x=113.04 6. 解:设图书角原来有故事书x 本,则有科普书 6x本。 (x+10)∶6x=1∶3 x=10 解析:根 据原来故事书与科普书的本数比,可设图书角原来 有故事书x 本,则有科普书6x 本,后来又买来 10本故事书,则现在有故事书(x+10)本,根据现 在故事书与科普书的本数比列出比例并解答。 方法归纳 用比例解决问题的方法 先根据题目中的比例关系设未知数列出 比例,再根据比例的基本性质解比例。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 第4课时 练 习 课 1. (1) D (2) A (3) C 2. x=36 x=528 3. (1) 4∶5 (2) 解:设刘叔叔每小时加工x个不锈钢零件。 x∶60=4∶5 x=48 4. (1) 答案不唯一,如a∶b=c∶d 解析:根据 第一、二幅图中四个小长方形的面积可知,15∶ 30=45∶90,10∶15=20∶30,所以a∶b=c∶d。 (2) 27 5. 解:设需要x克食盐。 x∶306=1∶(1+50) x=6 解析:因为食盐水的质量是306克,所以需 要将“食盐与水的质量比是1∶50”转化为食盐与 食盐水的质量比是1∶(1+50),再列出比例解答。 6. 解:设广东陈皮的原价是5x 元,则广东腊肉的 原价是3x元。 (5x+80)∶(3x+80)=3∶2 x=80 广东陈皮:5×80=400(元) 广东腊肉:3×80=240(元) 解析:根据题意,可设 广东陈皮的原价是5x 元,则广东腊肉的原价是 3x元。这两种商品的价格分别上涨80元后,价格 分别是(5x+80)元、(3x+80)元,再与分别上涨 80元后的价格之比3∶2组成含有未知数的比例: (5x+80)∶(3x+80)=3∶2,解比例,进而求出广 东陈皮、广东腊肉的原价。 2. 正比例和反比例 第5课时 正 比 例 1. (1) D (2) D 2. 正 6001 = 1800 3 = 3600 6 =600 (一定),所以“运- 20”运货的路程和时间成正比例关系 3. (1) 300 3 1500 (2) 正 (3) 3.6 4. (1) 成正比例关系 理由:151= 30 2= 45 3= 60 4= 75 5=15 (一定),所以喷水量与喷涌天数成正比例 关系。 (2) 射线 5. (1) 正 解析:由题图可知,购买两种练习本各 自的应付金额与对应数量的比值都是一定的。 (2) 6 8 解析:由题图可知,甲练习本的单价是 0.8元/本,乙练习本的单价是(2.4÷4)元/本,即 0.6元/本。根据“数量=总价÷单价”,即可求出 当应付金额为4.8元时,甲、乙两种练习本分别可 以买的数量。 知识归纳 正比例关系的图象 正比例关系的图象是一条从(0,0)出发的 射线。从图象中可以直观地看到两种量的变 化规律,有时由一种量的值可以直接找到对应 的另一种量的值。 第6课时 反 比 例 1. D 2. (1) 每行站的人数随着站的行数减少而增多 (合理即可) (2) 成反比例关系 因为3×16= 4×12=6×8=12×4=16×3=48(一定),所以每 行站的人数与站的行数成反比例关系 3. (1) 720 (2) 反 at=720 4. (1) 150 5 6 (2) 反 解析:因为分的杯数×每杯的果汁量=一 瓶油甘果汁量(一定),所以分的杯数和每杯的果汁 量成反比例关系。 (3) 50 5. (1) 速度 时间 反 解析:根据题图可知,速 度与时间的乘积是一定的,所以速度和时间成反比 例关系。 (2) 48 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 4 比　例 1. 比例的意义和基本性质 第1课时 比例的意义 1. 填空。 (1) (深圳罗湖区)从1~20中选出四个合数 组成比例,即( )。 (2) 48的因数有( ),从中选 出四个不同的数组成的比例是( )。 2. 下面各表中相对应的两种量的比能否组成比 例? 如果能,把组成的比例写在横线上;如果 不能,在横线上画“✕”。 (1) 数量/支 5 8 总价/元 12.5 20 (2) 已读的页数 10 20 未读的页数 50 40 (3) 看书的天数 3 7 看书的页数 24 56 3. 天鹅的飞行情况如下表所示。 时间/时 1 2 3 4 … 路程/千米 80 160 240 320 … (1) 写出相对应的路程与时间的比,求出比 值并比较大小。 (2) 这个比值表示( )。 (3) 根据表中的数据写出两个比例。 4. (说理表达)某天直播中,果农叶叔叔前20分钟 销售了15千克荔枝,接下来半小时销售了 22.5千克荔枝。下面是阳阳的想法:15∶20= 0.75,22.5∶0.5=45,0.75不等于45,所以 叶叔叔前20分钟、接下来半小时销售荔枝的 质量与时间的比不能组成比例。阳阳的想法 对吗? 请判断并说明理由。 5. ★(地域美食)西樵大饼是佛山市的传统小 吃,入口松软,清香甜滑。早上,亮亮的妈妈 做了两张西樵大饼(如图)。 (1) A、B两张西樵大饼的半径之比与周长之 比分别是多少? 它们能组成比例吗? 为什么? (2) A、B两张西樵大饼的半径之比与面积之 比分别是多少? 它们能组成比例吗? 为什么? 6. (推理意识)在一个比例中,第一个数与第四 个数的和是72,第一个数是第四个数的8倍, 两个比的比值是2.5。请你写出这个比例。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 第2课时 比例的基本性质 1. 填空。 (1) ★已知3x=7y(x、y 均不为0),则x∶ y=( )∶( ), x 7= ( ) ( ) 。 (2) 已知2∶5=6∶15,若将比例中的6改为 8,则15应改为( )。 (3) (梅州蕉岭)已知一个比例的两个内项互 为倒数,其中一个外项是0.4,则另一个外项 是( )。 (4) 一个圆的半径是rcm,若r∶9=4∶r, 则这个圆的面积是( )cm2。(结果保留π) 2. 运用比例的基本性质,判断下面三组中的两 个比是否可以组成比例。 (1) 8∶6和3.2∶2.4 (2) 3 5∶15 和3 4∶12 (3) 45∶14 和54∶0.3 3. (社会生活)健步走是一项深受市民喜爱的有 氧运动,既文明环保,又健康时尚。王老师、 苏老师参加健步走活动,王老师6分钟走 420米,苏老师7.5分钟走525米。两人走 的路程与时间之比能否组成比例? 如果能, 请指出比例的内项和外项。 4. 再添加一个数,使它和6、30、18分别满足下 面的条件并组成比例。 (1) 把6和30同时作为外项(或内项),再添 加( )可以组成比例。 (2) 把6和18同时作为外项(或内项),再添 加( )可以组成比例。 (3) 把30和18同时作为外项(或内项),再 添加( )可以组成比例。 5. (学科融合)请从下面的古诗中选取4个数组 成比例。(写出2个即可) 山村咏怀 [宋] 邵雍 一去二三里,烟村四五家。 亭台六七座,八九十枝花。 6. (几何直观)如图,三角形的边a上的高为b, 边c上的高为d。根据这些信息,可以组成 哪些比例? (至少写出四个) 7. (思维过程)已知a∶b=c∶d,若a除以4,b 乘4,c不变,要使比例仍然成立,则d 应该 ( )。 A. 不变 B. 除以8C. 乘16 D. 除以16 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(人教版·广东专用)六年级下 第3课时 解 比 例 1. 解比例。 24∶3=3∶x 12∶ 1 9=x∶ 1 3 1.45 4 = x 16 1.5 x =2.5∶0.8 2. (自然科普)据研究,月球引力与地球引力之 比约为1∶6,理论上同一个人在月球上能跳 到的高度与在地球上能跳到的高度之比约为 6∶1。 (1) 小刚在阳光运动会上的跳高成绩是1.2m, 如果在月球上,那么他大约能跳多少米? (2) 如果小彤在月球上能跳11.4m,那么她 在地球上大约能跳多少米? 3. (地域景观)西城楼也称迎恩门城楼,是东莞 的标志性建筑。西城楼的宽是14m,它的长 与宽的比是13∶7。宽比长短多少米? 4. 填空。 (1) 如果1 a= a b= 1 3 ,那么a=( ),b= ( )。 (2) 一种糖水,糖与水的质量比是3∶23。用 60g糖可以配制这种糖水( )g。 (3) 最大的一位数与最小的质数的比等于x 与14 9 的比,x的值是( )。 (4) 若x∶10=2.5∶5,x∶6=a∶0.8,则a 的值是( )。 5. (模型意识)古希腊数学家阿基米德发现,当 圆柱容球(把球放在一个圆柱形容器中,盖上 盖子后,球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧 密接触)时,圆柱与球的表面积之比为3∶2。 如图所示为圆柱容球模型,这个球的表面积 是多少? 6. ★(思维过程)六(1)班图书角的故事书与科 普书的本数比是1∶6,后来同学们又买来 10本故事书,于是故事书与科普书的本数比 变成1∶3。图书角原来有故事书多少本? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 4　比　例 第4课时 练 习 课 1. 选择。 (1) 如果a∶b=13 ,那么能与b∶a组成比例 的是( )。 A. 3∶9 B. 20∶40C. 5∶15 D. 1 2∶ 1 6 (2) 若a÷9=b×14 (a、b均不为0),则a∶b 等于( )。 A. 9∶4 B. 4∶9 C. 36∶1 D. 1∶36 (3) (几何直观)如图,若长方形的周长与正 五边形的周长相等,则a∶b等于( )。 A. 2∶5 B. 6∶5 C. 5∶6 D. 5∶3 2. 解比例。 42 x=0.7∶60% 1 7∶ 2 5=x∶ 1 2 3. 张叔叔1 10 小时加工不锈钢零件的数量与刘叔 叔1 8 小时加工不锈钢零件的数量相同。 (1) 刘叔叔与张叔叔的工作效率之比是( )。 (2) 张叔叔每小时加工60个不锈钢零件,刘 叔叔每小时加工多少个不锈钢零件? 4. (探索规律)将任意一个长方形分成四个小长 方形,面积分别用a、b、c、d 表示,这些面积 之间存在着某种规律。请观察下面三幅图 (单位:cm2),解答问题。 (1) 用比例表示a、b、c、d 之间的关系为 ( )。 (2) 第三幅图中右下角的小长方形的面积是 ( )cm2。 5. (自然科普)用食盐水浸泡菠萝,可以使菠萝 的口感变甜,还可以降低菠萝中的草酸含量, 减少对身体的危害。配制306克食盐水,需 要多少克食盐? 6. (地域美食)某段时期,广东陈皮、广东腊肉的 价格之比为5∶3,如果它们的价格分别上涨 80元,那么价格之比变为3∶2。广东陈皮、 广东腊肉的原价分别是多少钱? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(人教版·广东专用)六年级下