4 圆周角和圆心角的关系(第2课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

九年级下册 （北师大版）数学 自主导学 典例精析 例题 如图， 以 △ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其他两边 AC ， BC 的交点分别为 D ， E ， 且D D E =B D E . （ 1 ） 试判断 △ABC 的形状， 并说明理由 . （ 2 ） 已知半圆的半径为 5 ， BC=12 ， 求 sin∠ABD 的值 . 【分析】 （ 1 ） 根据图形的特征猜想 △ABC 可能是等腰三角形 . 若想证猜想的结论成立， 只需证 AB=AC 或 ∠C =∠CBA. 如果要证 AB=AC （用定义判 定）， 需构造以 AB ， AC 为一组对应边的两个全等三角形， 为此连接 AE. 如果要证 ∠C = ∠CBA （用定理判定）， 只需证 ∠C 和 ∠CBA 都等于 ∠CDE. 而从D D E =B D E 出发， 根据等角的 余角相等和圆内接四边形对角互补和补角定义可证 . （ 2 ） 若求 ∠ABD 的正弦值， 就必须求 AD 的值， 为此连接 AE. 在 △ABC 中， 我们可以 利用等腰三角形的性质求 BE ， 利用勾股定理求 AE ， 再利用面积法求 BD ， 进而求出 AD. 此题还可以利用 △CDE∽△CBA 得到 CD CB = CE AC ， 再根据等腰三角形的性质求出 CD ， 进而求 得 AD． 【解答】 （ 1 ） △ABC 为等腰三角形 . 理由如下： 解法 1 ： 如图， 连接 AE. ∵D D E =B D E ， ∴∠DAE=∠BAE. ∵AB 为直径， ∴∠AEB=∠AEC=90°. ∴△AEC≌△AEB. ∴AB=AC. 解法 2 ： ∵AB 为直径， ∴∠ADB=∠BDC=90° ， ∠C+∠DBC=∠CDE+ ∠EDB=90° . 又 ∵D D E =B D E ， ∴∠DBC=∠EDB. ∴∠C=∠CDE. ∵ 四边形 ABED 是圆内接四边形， ∴∠CBA+∠ADE=∠ADE+∠CDE=180°. ∴∠CDE= ∠CBA. ∴∠C=∠CBA. ∴AB=AC ， 即 △ABC 为等腰三角形 . （ 2 ） 解法 1 ： ∵△ABC 为等腰三角形， AE⊥BC ， ∴BE= 1 2 BC= 1 2 ×12=6. 在 Rt△ABE 中， ∵AB=10 ， ∴AE= 10 2 -6 2 姨 =8. ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°. ∴ 1 2 AE · BC= 1 2 BD · AC. ∴BD= 8×12 10 = 48 5 . 在 Rt△ABD 中， ∵AD= AB 2 -BD 2 姨 = 14 5 ， ∴sin∠ABD= AD AB = 14 5 10 = 7 25 . 解法 2 ： ∵ 四边形 ABED 是圆内接四边形， ∴∠CBA+∠ADE=∠ADE+∠CDE=180°. ∴∠CDE=∠CBA. D O A B C E 例题答图 D O A B C E 例题图 4 圆周角和圆心角的关系 （第 2课时） 70 圆 第三章 ∵∠C=∠C ， ∴△CDE∽△CBA. ∴ CD CB = CE AC . ∵BC=12 ， 半径为 5 ， ∴AC=AB=10. 由 （ 1 ） 知 CE= 1 2 BC=6 ， ∴ CD 12 = 6 10 . ∴CD= 36 5 . ∴AD=AC-CD= 14 5 . ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°. ∴sin∠ABD= AD AB = 14 5 10 = 7 25 . 【点拨】 本题考查了在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 半圆 （或直 径） 所对的圆周角是直角， 圆内接四边形的对角互补， 也考查了等腰三角形的判定与性 质和勾股定理， 以及相似三角形， 解法多样， 思路灵活 . 需要注意在圆的计算和证明中， 等弧的关系经常转化为相等的角的关系， 要联想到等腰三角形、 全等三角形和相似三角 形， 对于直径所对的圆周角是直角要联想到直角三角形相关知识 . 此外， 圆内接四边形对 角互补、 同角或等角的余角 （补角） 相等， 在圆的有关证明和计算中属于应用广泛的核 心知识 . 基础巩固 达标闯关 1. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， ∠ACD=15° ， 则 ∠BAD 的 度数为 . 2. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， 若 AB=4 cm ， ∠ADC=30° ， 则 ∠BAC 的度数为 ， 弦 AC 的长为 . 3. 已知 AD 是 ⊙O 的直径， AC 是 ⊙O 的弦， OB⊥AC 交 AC 于点 B. 若 OB=5 cm ， 则 DC= . 4. 如图， AB 是 ⊙O 的直径， 点 C 在 ⊙O 上， ∠BAC=30° ， 点 P 在线段 OB 上运动 . 设 ∠ACP=x ， 则 x 的取值范围是 . 5. 如图， 四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形， DA ， CB 的延长线交于点 P ， ∠P=30° ， ∠ABC=100° ， 则 ∠C= （ ） A. 70° B. 60° C. 45° D. 40° 6. 如图， 正方形 ABCD 内接于 ⊙O ， P 是劣弧 AD 上任意一点， 则 ∠ABP+∠DCP 等于 （ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° O A C D B 第 1 题图 第 2 题图 O C D A B O A B P C x 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 O A D B C P A B C D P O 71 九年级下册 （北师大版）数学 7. 如图 ， 弦 AB=AC ， E 是BE E C 的中点 ， 下列结论 ： ①AE 平分 ∠BAC ； ②BC⊥AE ； ③AE 是圆的直径 . 其中正确的是 （ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 如图， AC 是 ⊙O 的直径， 点 B ， D 在 ⊙O 上， 那么图中等于 1 2 ∠BOC 的角有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 如图， △ABC 的三个顶点都在 ⊙O 上， CE 是 ⊙O 的直径， CD⊥AB 于点 D. 若 ∠BCD= 25° ， 则 ∠ACE= （ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 10. 如图， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， 并且 AD 是 ⊙O 的直径， C 是B B D 的中点， AB 和 DC 的延长线交 ⊙O 外一点 E ， 那么 BC 与 EC 相等吗？ 为什么？ 能力提升 综合拓展 11. 如图， 在 △ABC 中， AB=AC ， ∠BAC=50°. 以 AB 为直径作 ⊙O ， 交 BC 边于点 D ， 交 AC 边于点 E ， 求B B D ， D B E 和A B E 所对圆心角的度数. A B C E 第 7 题图 O C D A B 第 8 题图 第 9 题图 O BA C E D A D C B E 第 10 题图 O O E A B D C 第 11 题图 72 圆 第三章 12. 如图， 圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC ， BD 交于点 E ， BD 平分 ∠ABC ， ∠BAC＝ ∠ADB． （ 1 ） 求证： BD 为圆的直径 . （ 2 ） 过点 C 作 CF∥AD 交 AB 的延长线于点 F ， 若 AC＝AD ， BF＝3 ， 求此圆半径的长 ． 13. 如图， 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， ∠1＝∠2 ， 延长 BC 到点 E ， 使得 CE＝AB ， 连接 ED． （ 1 ） 求证： BD＝ED. （ 2 ） 若 AB＝4 ， BC＝6 ， ∠ABC＝60° ， 求 tan∠DCB 的值 ． 14. 如图， 在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， 连接 DE． 过点 A 作 AF⊥DE ， 垂足为 F ， ⊙O 经过点 C ， D ， F ， 与 AD 相交于点 G． （ 1 ） 求证： △AFG∽△DFC. （ 2 ） 若正方形 ABCD 的边长为 4 ， AE=1 ， 求 ⊙O 的半径 ． 第 13 题图 D A B C O E 1 2 B A F E C D 第 12 题图 第 14 题图 G O A B C D E F 73 九年级下册 （北师大版）数学 中考链接 真题演练 15. （ 2024 ·常州） 如图， AB 是 ⊙O 的直径， CD 是 ⊙O 的弦， 连接 AD ， BC ， BD． 若 ∠BCD=20° ， 则 ∠ABD= . 16. （ 2024 ·巴中） 如图， 四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接四边形 ． 若四边形 ABCO 为菱形， 则 ∠ADC 的大小为 ． 17. （ 2024 ·泰安） 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C ， D 是 ⊙O 上两点， BA 平分 ∠CBD ， 若 ∠AOD=50° ， 则 ∠A 的度数为 （ ） A． 65° B． 55° C． 50° D． 75° 18. （ 2024 ·浙江） 如图， 在圆内接四边形 ABCD 中， AD＜AC ， ∠ADC＜∠BAD ， 延长 AD 至点 E ， 使 AE=AC ， 延长 BA 至点 F ， 连接 EF ， 使 ∠AFE=∠ADC． （ 1 ） 若 ∠AFE=60° ， CD 为直径， 求 ∠ABD 的度数 . （ 2 ） 求证： ①EF∥BC ； ②EF=BD． 19. （ 2023 ·成都） 如图， 以 △ABC 的边 AC 为直径作 ⊙O ， 交 BC 边于点 D ， 过点 C 作 CE∥AB 交 ⊙O 于点 E ， 连接 AD ， DE ， ∠B＝∠ADE． （ 1 ） 求证： AC＝BC. （ 2 ） 若 tanB＝2 ， CD＝3 ， 求 AB 和 DE 的长 ． O A D C B O A D CB O A D C B 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图 E D F A B C 第 18 题图 E O DB C A 第 19 题图 74 九年级下册 （北师大版）数学 4 圆周角和圆心角的关系 （第 2 课时） 1. 75° 2. 60° 2 cm 3. 10 cm 4. 30°≤x≤90° 5. A 6. C 7. D 8. C 9. B 10. 解 ： 相等 ． 理由 ： 如图 ， 连接 AC． ∵AD 是 ⊙O 的直径 ， ∴ ∠ACD=∠ACE =90°. ∴∠EAC +∠E=∠DAC +∠D=90°. ∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， ∴∠EBC=∠D． ∵C 是Ｂ $ D 的中点 ， ∴B $ C =D $ C . ∴∠EAC= ∠DAC. ∴∠E=∠D. ∴∠EBC=∠E ， ∴BC=EC． 11. 解 ： 如图 ， 连接 AD ， 则 ∠ADB=90° . ∵AB=AC ， ∴∠DAB= ∠DAC. ∵∠BAC=50° ， ∴∠DAB=∠DAC=25°. ∴B $ D ， D $ E 所对的圆心角 度数都等于 50°. ∵Ａ $ E =ＡE $ B －B $ E ， ∴Ａ $ E 所对圆心角的度数等于 180°－ 2×50°=80°. 12. （ 1 ） 证明： ∵BD 平分 ∠ABC ， ∴∠ABD＝∠CBD. ∴A $ D ＝C $ D . ∵∠BAC＝∠ADB ， ∴A $ B ＝B $ C . ∴A $ B +A $ D ＝B $ C + C $ D . ∴BA $ D ＝BC $ D . ∴BA $ D 是半圆. ∴BD 是 ⊙O 的直径 . （ 2 ） 解： ∵BD 是圆的直径， ∴∠BAD=∠BAE+∠DAE＝90°. ∵∠BAE＝∠ADE ， ∴∠ADE+∠DAE＝90°. ∴∠AED＝90°. ∵BD 是圆的直径， ∴BD 垂直平分 AC. ∴AD＝CD. ∵AC＝AD. ∴ △ACD 是等边三角形 . ∴∠ADC＝60°. ∵BD⊥AC ， ∴∠BDC＝ 1 2 ∠ADC＝30°. ∵CF∥AD ， ∴∠F+∠BAD＝180°. ∴∠F＝ 90° . ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形 ， ∴∠ADC+∠ABC＝180° . ∵∠FBC+∠ABC＝180° . ∴∠FBC＝∠ADC＝60° . ∴ ∠BCF＝30°. ∴BC＝2BF＝6. ∵∠BCD＝90° ， ∠BDC＝30° ， ∴BC＝ 1 2 BD. ∴BD=12. ∴ 圆的半径长是 6． 13. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 内接于 ⊙O ， ∴∠A+∠DCB＝180°. ∵∠DCE +∠DCB＝ 180° ， ∴∠A=∠DCE. ∵∠1＝∠2 ， ∴A $ D ＝D $ C ， ∴AD＝DC. ∵AB＝CE ， ∴△ABD≌△CED （ SAS ） . ∴BD＝ED. （ 2 ） 解： 如图， 过点 D 作 DM⊥BE 于点 M ， ∵AB＝4 ， BC＝6 ， CE＝AB ， ∴BE＝BC+EC＝10. ∵BD＝ED ， DM⊥BE ， ∴BM＝ME＝ 1 2 BE＝5. ∴CM＝BC-BM＝1. ∵∠ABC＝ 60° ， ∠1＝∠2 ， ∴∠2＝30°. ∴DM＝BM · tan∠2＝5× 3 姨 3 ＝ 5 3 姨 3 ， ∴tan∠DCB＝ DM CM = 5 3 姨 3 ． 14. （ 1 ） 证明： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD=∠ADC=90°. ∴∠CDF+∠ADF=90°. ∵AF⊥DE ， ∴∠AFD= 90°. ∴∠DAF+∠ADF=90°. ∴∠DAF=∠CDF. ∵ 四边形 GFCD 是 ⊙O 的内接四边形， ∴∠FCD+∠DGF=180°. ∵∠FGA+ ∠DGF=180° ， ∴∠FGA=∠FCD. ∴△AFG∽△DFC． （ 2 ） 解： 如图， 连接 CG ， ∵∠EAD= ∠AFD=90° ， ∠EDA=∠ADF ， ∴△EDA∽△ADF ， ∴ EA AF = DA DF ， 即 EA DA = AF DF . ∵△AFG∽ △DFC ， ∴ AG DC = AF DF . ∴ AG DC = EA DA . ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ DA=DC. ∴ AG=EA=1 ， DG= DA-AG=4-1=3. ∴CG= DG 2 +DC 2 姨 =5. ∵∠CDG=90° ， ∴CG 是 ⊙O 的直径， ∴⊙O 的半径为 5 2 ． 15. 70° 16. 60° 17. A 18. （ 1 ） 解： ∵CD 为直径， ∴∠CAD=90°. ∵∠ADC=∠AFE=60° ， ∴∠ACD= 90°-60°=30°. ∴∠ABD=∠ACD=30°. （ 2 ） 证明： ① 如图， 延长 AB 至点 M ， ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°. ∵∠CBM+∠ABC= 180° ， ∴∠CBM=∠ADC. 又 ∵∠AFE=∠ADC ， ∴∠AFE=∠CBM. ∴EF∥BC. ② 如图， 过点 D 作 DG∥BC 交 ⊙O 于点 G ， 连接 AG ， CG. ∵DG∥BC ， ∴EF∥ DG ， 且 ∠GDC=∠BCD ， B B D ＝C $ G . ∴BD=CG ， ∠AEF=∠GDE. ∵ 四边形 ACGD 是圆内接四边形， ∴∠ACG+∠ADG=180°. ∵∠ADG+∠GDE=180° ， ∴∠GDE= ∠ACG. ∴∠AEF=∠ACG. ∵∠AFE=∠ADC ， ∠ADC=∠AGC ， ∴∠AFE=∠AGC. 又 ∵AE=AC ， ∴△AEF≌△ACG （ AAS ） . ∴EF=CG. ∴EF=BD． 19. （ 1 ） 证明： ∵∠ADE＝∠ACE ， ∠ADE＝∠B ， ∴∠B＝∠ACE. ∵CE∥AB ， ∴∠BAC＝ ∠ACE. ∴∠B＝∠BAC. ∴AC＝BC. （ 2 ） 解 ： 如图 ， 连接 AE ， ∵AC 为 ⊙O 的直径 ， ∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°. 在 Rt△ADB 中， ∵tan B＝ AD BD ＝2 ， ∴AD＝2BD. ∵CD＝3 ， ∴AC＝BC＝BD+ CD＝BD+3. ∵AD 2 +CD 2 ＝AC 2 ， ∴ （ 2BD ） 2 +3 2 ＝ （ BD+3 ） 2 . 解得 BD＝2 或 BD＝0 （舍去） . ∴AD＝2BD＝4. 在 Rt△ADB 中 ， AB＝ AD 2 +BD 2 姨 ＝ 4 2 +2 2 姨 ＝2 5 姨 ， BC＝2+3＝5. ∵∠ADE＝∠B ， ∠AED＝ ∠ACB ， ∴△ADE∽△ABC. ∴ AD AB ＝ DE BC . ∴ 4 2 5 姨 ＝ DE 5 . ∴DE＝2 5 姨 ． 第 18 题答图 第 19 题答图 A B O C D E A D C B E O O E A B D C 第 10 题答图 第 11 题答图 第 13 题答图 D A B C O E 1 2 M G O A B C D E F 第 14 题答图 E D F A B C G M 216