4 圆周角和圆心角的关系(第1课时)-【新课程能力培养】2024-2025学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

参考答案与提示 OF 2 ， ∴CF= 6 姨 ， ∴CD=2 6 姨 . 12. 解 ： 四边形 OACB 是菱形 . 理由 ： ∵C 是Ａ " Ｂ 的中点 ， OC 是半径 ， ∴OC⊥AB ， AC=BC ， AP=BP . ∵AB= 3 姨 OA ， ∴AP= 1 2 AB= 3 姨 2 OA. 在 Rt△AOP 中， ∵sin∠AOP= AP OA = 3 姨 2 ， ∴∠AOP=60°. 又 ∵OA=OC ， ∴ △OAC 为等边三角形 . ∴OA=AC=CB=OB. ∴ 四边形 OACB 为菱形 . 13. 解 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 AO． ∵CD⊥AB ， CD 经过圆心 O ， ∴AC＝CB＝0.9 m. ∴OC＝ AO 2 -AC 2 姨 = 1.5 2 -0.9 2 姨 ＝1.2. ∴CD＝OD+OC＝1.5+1.2＝2.7 （ m ） . ∴ 拱门最高点 D 到地面的距离为 2.7 m. （ 2 ） 如图， 设 MN 为桌子的宽度 2 m ， EF 为桌子抬高 0.5 m 时桌底经过的平面， MN ， EF 分别交 CD 于点 P ， Q ， 连接 OM ， 则 MN∥EF. 由题意得 MP=NP=1 m ， OM=1.5 m ， CQ=0.5 m ， ∴OQ=OC-CQ=1.2-0.5=0.7 （ m ） . 在 Rt△OMP 中， OP 2 +PM 2 =OM 2 ， 即 OP 2 +1 2 =1.5 2 ， 解得 OP= 5 姨 2 ≈1.118 （负值已舍去）， ∴OP>OQ ， ∴EF>MN=2 m ， 且 PQ=OQ+OP=0.7+1.118≈ 1.82 （ m ） . ∵1.82>1.2 ， ∴ 搬运该桌子时能够通过拱门 . 14. B 15. B 16. C 4 圆周角和圆心角的关系 （第 1 课时） 1. 42° 或 138° 2. 150° 3. B 4. D 5. 解： 如图， 连接 OD ， OC. ∵D 是Ａ " Ｃ 的中点， ∴∠AOD= 1 2 ∠AOC. 又 ∵∠B= 1 2 ∠AOC ， ∴∠AOD= 1 2 ∠AOC=∠B=40°. ∵OA=OD ， ∴∠A=∠ADO. ∵∠A+∠ADO +∠AOD =180° ， ∴∠A=70°. 6. 解： ∵∠COB=30° ， ∠COB=2∠D ， ∴∠D=15° . 又 ∵∠APD=∠D+∠ABD ， ∠APD= 60° ， ∴∠ABD =45°. 7. 解： AC=AE. 理由： ∵B " Ｃ ＝D " E ， ∴B " C +B " D =D " E +B " D . ∴C " D =B " E . ∴C " D 和B " E 所对的圆周角相等， 即∠DEC= ∠BCE． ∴ AC=AE． 8. 解 ： EF∥AB. 理由 ： ∵AC=EF ， ∴Ａ " Ｃ ＝Ｅ " Ｆ . ∴Ｅ " Ｃ ＝Ａ " Ｆ . ∴∠E=∠CAE. ∵AD 平分 ∠BAC ， ∴∠BAE= ∠CAE. ∴∠E=∠BAE. ∴EF∥AB. 9. 解 ： ∵OA=OC ， ∠COD=60° ， ∠CAB= 1 2 ∠BOC ， ∴∠OCA=∠OAC=30° . ∵AC=AD ， ∴∠ACD=∠ADC= 75° ， ∴∠OCE=∠ACD－∠OCA=45°. 在 Rt△OCE 中， ∵∠COE=∠OCE=45° ， OC=2 ， ∴OE= 2 姨 . 10. （ 1 ） 证明： ∵∠ADC＝∠G ， ∴AC " ＝AD " . ∵AB 为 ⊙O 的直径， ∴BC " ＝BD " . ∴∠1＝∠2. （ 2 ） 解： 如图， 连接 DF ， CB ， 由 （ 1 ） 知AC " ＝AD " ， BC " ＝BD " ， ∴∠ABC＝∠ABD ， BC＝BD. ∴BE⊥CD ， CE＝DE. ∴AB 是 DC 的垂直平分线 . ∴FD＝FC＝10. ∵ 点 C ， F 关于 DG 对称， ∴DC＝ DF＝10. ∴DE＝5. ∵tan∠1＝ 2 5 ， ∴EB＝DE · tan∠1＝2. ∵∠1＝∠2 ， ∴tan∠2＝ 2 5 . ∴AE＝ DE tan∠2 ＝ 25 2 . ∴AB＝AE+EB＝ 29 2 . ∴⊙O 的半径长为 29 4 ． 11. （ 1 ） 解： 如图， 连接 OD ， OC ， ∴OD＝OC. ∵M 是 CD 的中点， CD＝12 ， ∴DM＝ 1 2 CD＝ 6 ， OM⊥CD ， ∠OMD＝90°. 在 Rt△OMD 中， ∵OM＝3 ， DM＝6 ， ∴OD＝ OM 2 +DM 2 姨 = 3 2 +6 2 姨 = 3 5 姨 . ∴⊙O 的半径长为 3 5 姨 . （ 2 ） 证明： 如图， 连接 AC ， 延长 AF 交 BD 于点 G ， ∵AB⊥CD ， CE＝EF ， ∴AB 是 CF 的垂直平分线 . ∴AF ＝AC ， 即 △ACF 是等 腰 三 角 形 . ∴ ∠FAE＝∠CAE. ∵B " C ＝B " C ， ∴∠CAE＝∠CDB . ∴∠FAE＝∠CDB. 在 Rt△BDE 中， ∠CDB+ ∠B＝90° ， ∴∠FAE+∠B＝90°. ∴∠AGB＝90°. ∴AG⊥BD ， 即 AF⊥BD． 12. 55° 13. 90° 14. 90° 15. A 16. B 17. B 18. D 19. D 20. （ 1 ） 证明： ∵∠ACB= 1 2 ∠AOB ， ∠BAC= 1 2 ∠BOC ， ∠ACB＝2∠BAC ， ∴∠AOB＝2∠BOC. （ 2 ） 解： 如图， 过点 O 作半径 OD⊥AB 于点 E ， 连接 BD ， ∴AE＝BE. ∵∠AOB＝2∠BOC ， ∠DOB＝ 1 2 ∠AOB ， ∴∠DOB＝∠BOC ， ∴BD＝BC． ∵AB＝4 ， BC= 5 姨 ， ∴BE＝2 ， DB= 5 姨 . 在 Rt△BDE 中， ∠DEB＝90° ， DE= BD 2 -BE 2 姨 =1. 在 Rt△BOE 中， ∠OEB＝90° ， ∵OB 2 ＝ （ OB-1 ） 2 + 2 2 ， 解得 OB= 5 2 ， ∴⊙O 的半径是 5 2 ． 第 10 题答图 A B C D EF O 1 2 G O A B C M D F E G 第 11 题答图 O A B C D M N P Q E F 第 13 题答图 第 5 题答图 B O C A D 第 20 题答图 O A B C D E 215 圆 第三章 自主导学 典例精析 例题 1 如图， △ABC 内接于⊙O， ∠BAC=90°， 点 E 在⊙O 上， OE∥ AC ， 连接 AE ， 若 ∠AEO=20° ， 求 ∠B 的度数 . 【分析】 根据 OE∥AC 得内错角 ∠EAC=∠AEO ， 而同一条弧C C E 所对的 圆周角是 ∠EAC ， 圆心角是 ∠COE ， 所以有内错角 ∠EOC=∠OCA=2×20°= 40° ， 结合已知 ∠BAC=90° ， 可得 ∠B 的度数 . 【解答】 ∵OE∥AC ， ∴∠EAC=∠AEO=20°. ∵∠EAC 和 ∠EOC 是同弧所对圆周角和圆心 角， ∴∠EOC=2∠EAC= 2×20°=40°. 又 ∵OE∥AC ， ∴∠ACO=∠EOC=40°. 又 ∵∠BAC=90° ， ∴∠B=90°-∠ACO =90°-40°=50°. 【点拨】 本题主要考查圆周角定理的运用 . 灵活运用平行线的性质、 三角形内角和定理以 及圆周角和圆心角之间关系的定理是将所求的角与已知角建立联系的关键 . 例题 2 如图， ⊙O 的半径是 2， AB 是⊙O 的弦， 点 P 是弦 AB 上的动 点， 且 1≤OP≤2， 求弦 AB 所对的圆周角的度数. 【分析】 已知图形中没有呈现弦 AB 所对的圆周角， 所以解题时要先画出 圆周角， 根据圆周角定理的推论， 我们只需分别在弦 AB 所对的劣弧和优弧上 任取点 E 和点 F ， 则 ∠AEB 和 ∠AFB 的度数就是所求的弦 AB 所对的圆周角的度数 . 而已知 条件中没有相关角的度数， 只给出 ⊙O 的半径和弦 AB 上点 P 满足的条件， 所以只能借助直 角三角形的边角关系求出相关角的度数， 此时将圆的半径、 线段 OP 转化到同一个直角三角 形中成为解题的关键， 当点 P 运动到 AB 的中点 D 时恰好构成直角三角形 . 通过这个直角三 角形求出 ∠AOB 的度数， 进而求出 ∠AEB 和 ∠AFB 的度数 ． 【解答】 如图， 分别在 AB 所对的两条弧上任取点 E ， F ， 连接 AE ， BE ， AF ， BF, 作 OD⊥AB. ∵ 点 P 是弦 AB 上的动点， 且 1≤OP≤2 ， ∴ 由垂线段最 短得 OD=1 ， OA=2. 在 Rt△AOD 中， sin∠OAB= OD OA = 1 2 ， ∴∠OAB=30°. ∵OA= OB ， ∴∠AOB=120°. ∴∠AEB= 1 2 ∠AOB=60° ， ∠AFB= 1 2 （ 360°－∠AOB ） =120°. ∴ 弦 AB 所对的圆周角的度数为 60° 或 120°． 【点拨】 本题主要考查圆周角定理及其推论， 解题的关键是利用垂线段最短的性质， 将 求圆周角度数问题转化为运用直角三角形的边角关系求圆心角的问题 . 值得注意的是， 一条 弦所对的弧有两条， 即劣弧和优弧， 一条弦所对的圆周角有无数个， 但度数只有两个， 其和 为 180°． 例题 1 图 E A B C O 例题 2 答图 P A B O D F E 4 圆周角和圆心角的关系 （第 1课时） P A B O 例题 2 图 65 九年级下册 （北师大版）数学 基础巩固 达标闯关 1. 在 ⊙O 中， ∠AOB=84° ， 则弦 AB 所对的圆周角是 . 2. 如图， 在 ⊙O 中， ∠A=35° ， ∠E=40° ， 则 ∠BOD 的度数是 . 3. 如图， AB ， AC 为 ⊙O 的两条弦， 延长 CA 到点 D ， 使 AD=AB ， 若 ∠ADB=30° ， 那么 ∠BOC 为 （ ） A. 60° B. 120° C. 135° D. 150° 4. 如图， 在 ⊙O 中， 半径 OA⊥OB ， 弦 AC⊥BD 于点 E ， 则下列结论不成立的是 （ ） A. ∠D=45° B. AC=BD C. AD∥BC D. ∠CAO=∠CBO 5. 如图， AB 是半圆 O 的直径， D 是A A C 的中点， ∠B=40° ， 求 ∠A 的度数 . 6. 如图 ， AB 为 ⊙O 的直径 ， 弦 CD 交 AB 于点 P ， 且 ∠APD=60° ， ∠COB=30° ， 求 ∠ABD 的度数 . O A E D C B 第 2 题图 O D B A C O A B C D E 第 3 题图 第 4 题图 B O C A D 第 5 题图 O P D C B A 第 6 题图 66 圆 第三章 能力提升 综合拓展 7. 如图， 射线 AM 交 ⊙O 于点 B ， C ， 射线 AN 交 ⊙O 于点 D ， E ， 且B B C =D B E ． 判断 AC 与 AE 的大小关系， 并说明理由 . 8. 如图， △ABC 的三个顶点都在 ⊙O 上， AD 平分 ∠BAC 交 BC 边于点 D ， 交 ⊙O 于点 E ， 过点 E 作弦 EF ， 使 EF=AC ， 则 EF 与 AB 有怎样的位置关系？ 为什么？ 9. 如图， AB 是半圆 O 的直径， AC=AD ， OC=2 ， ∠COD=60° ， 求点 O 到 CD 的距离 OE 的长 . O C E M N B D A 第 7 题图 O B C E F A D 第 8 题图 第 9 题图 O A D B C E 67 九年级下册 （北师大版）数学 10. 如图， C ， D 为 ⊙O 上两点， 且在直径 AB 的两侧， 连接 CD 交 AB 于点 E ， G 是A A C 上一点， ∠ADC＝∠G． （ 1 ） 求证： ∠1＝∠2. （ 2 ） 点 C 关于 DG 的对称点为 F ， 连接 CF． 当点 F 落在直径 AB 上时， CF＝10 ， tan∠1＝ 2 5 ， 求 ⊙O 的半径 ． 11. 如图， ⊙O 中两条互相垂直的弦 AB ， CD 交于点 E． （ 1 ） M 是 CD 的中点， OM＝3 ， CD＝12 ， 求 ⊙O 的半径长 . （ 2 ） 点 F 在 CD 上， 且 CE＝EF ， 连接 AF ， 求证： AF⊥BD． 中考链接 真题演练 12. （ 2024 ·北京） 如图， ⊙O 的直径 AB 平分弦 CD （不是直径） ． 若 ∠D=35° ， 则 ∠C= . 13. （ 2024 ·陕西） 如图， BC 是 ⊙O 的弦， 连接 OB ， OC ， ∠A 是 B A C 所对的圆周角， 则 ∠A 与 ∠OBC 的度数和是 ． 14. （ 2024 ·连云港） 如图， AB 是圆的直径， ∠1 ， ∠2 ， ∠3 ， ∠4 的顶点均在 AB 上方的 圆弧上， ∠1 ， ∠4 的一边分别经过点 A ， B ， 则 ∠1+∠2+∠3+∠4= ． D O F A B C E 1 2 G 第 10 题图 O A B C M D F E 第 11 题图 O A D C B O A C B A B 1 2 3 4 第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图 68 圆 第三章 15. （ 2024 ·甘肃） 如图， 点 A ， B ， C 在 ⊙O 上， AC⊥OB ， 垂足为 D ， 若 ∠A=35° ， 则 ∠C 的度数是 （ ） A． 20° B． 25° C． 30° D． 35° 16. （ 2024 ·赤峰） 如图， AD 是 ⊙O 的直径， AB 是 ⊙O 的弦， 半径 OC⊥AB ， 连接 CD ， 交 OB 于点 E ， ∠BOC=42° ， 则 ∠OED 的度数是 （ ） A． 61° B． 63° C． 65° D． 67° 17. （ 2024 ·重庆） 如图， AB 是 ⊙O 的弦， OC⊥AB 交 ⊙O 于点 C ， 点 D 是 ⊙O 上一点， 连接 BD ， CD． 若 ∠D=28° ， 则 ∠OAB 的度数为 （ ） A． 28° B． 34° C． 56° D． 62° 18. （ 2023 ·杭州） 如图， 在 ⊙O 中， 半径 OA ， OB 互相垂直， 点 C 在劣弧 AB 上 ． 若 ∠ABC=19° ， 则 ∠BAC= （ ） A． 23° B． 24° C． 25° D． 26° 19. （ 2023 ·吉林） 如图， AB ， AC 是 ⊙O 的弦， OB ， OC 是 ⊙O 的半径， 点 P 为 OB 上任 意一点 （点 P 不与点 B 重合）， 连接 CP． 若 ∠BAC=70° ， 则 ∠BPC 的度数可能是 （ ） A． 70° B． 105° C． 125° D． 155° 20. （ 2023 ·武汉） 如图， OA ， OB ， OC 都是 ⊙O 的半径， ∠ACB＝2∠BAC． （ 1 ） 求证： ∠AOB＝2∠BOC. （ 2 ） 若 AB＝4 ， BC= 5 姨 ， 求 ⊙O 的半径 ． 第 20 题图 O A B C O A D C B O A D C B E O A D C B 第 15 题图 第 16 题图 第 17 题图 第 19 题图 O A B C P 第 18 题图 O B A C 69