课时作业(8) 二项式系数的性质-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

课时作业（八）二项式系数的性质 答案见P ‖基础训练川 7.已知(1十x)”的展开式中第4项与第8项的二项式 一，选择题 系数相等，则奇数项的二项式系数和为 1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若a, 8.已知C=C,设(3.x-4)*=a十a(x-1)十(x b是某行的前两个数，当a=7时，b= () 1)2+十a(x-1)°，0则a++…十am= 1 三、解答题 22 9.(1十3x)"的展开式中第6项和第7项的系数相 343 等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大 4774 的项 51114 11 5 , A.20 B.21 C.22 D.23 2.若(x+)广(n∈N)的展开式的二项式系数之 和为64，则展开式的常数项为 A.10 B.20 C.30 D.120 3若(：一)广的展开式中只有第7项的二项式系 数最大，则展开式中含x项的系数是() 10.在二项式(2x一3y)”的展开式中，求： A.-462 B.462 (1)各项系数之和： C.792 D.-792 (2)所有奇数项系数之和： 4在- (3)系数绝对值的和. 的展开式中，x2的系数等于一5，则 该展开式的各项的系数中最大值为 ( A.5 B.10 C.15 D.20 5.(多选)若(2x十1)0=a十a1x十a2x2十…十 aox0,x∈R,则 () A.ao=1 B.a=0 C.aa十a,十aa十…十ao=30 D.ao+a1十a2++a10=3 二填空题 6.在(a十b)8的展开式中，二项式系数最大的项为 :在(a十b)°的展开式中，二项式系数最 大的项为 ·121· ‖能力提升川 14.已知(x+四）展开式的二项式系数之和为256 11.(9选)已知(x-1)5=ao十a(x+1)十a(x十 (1)求n的值： 1)2+…十a(x十1)，则 A.ao=-32 (2②)若展开式中的常数项为营，求加的值： B.4a=-80 (3)若(x十m)”展开式中系数最大项只有第6 C.a3+4a4=0 项和第7项，求m的值. D.ao十a1十…十as=1 12.若(a十x)(1十x)的展开式中含x的奇数次幂 的项的系数之和为32，则a= 13.已知f(x)=(1十x)"+(十2x)"(m,n均为大 于1的整数)展开式中x的系数为11，且m,4,n 成等差数列，求 (1)x2的系数 (2)f(x)展开式中x的奇数次幂的项的系数 之和 1拓展探究川 15.设(x2+1)(2.x+1)=a+a(x+2)+ a2(x+2)2+…+a11(x+2),则a0十a1十 a2十…十a1的值为 () A.-2B.-1 C.1 D.2 16.计算C+2C+3C+…+nCg的值时，可以采 用下列方法： 构造等式C十Cx十C%x2十Cx3+…十Cx”= (1十x)", 两边对x求导，得C+2Cx+3Cx2+…十 Cx"-1=n(1十x)"-1, 令x=1,得C0+2C号+3C+…十nC”= n·2m-1 类比上述计算方法，可得C%+2C+3· C十…十nC州= ·122·课时作业(八) 令x=1,y--1,可得a。-a+a-..-a-5, 1.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末 尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的 所有奇数项系数之和. 和,当a一7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为 (3)方法一la。l+lal+lal+..+lal 16.所以b-6十16-22.故选C项。 =a。-a.+a-...-a-5. 2.B 解因为C+C+..+C-2-64,所以n-6,所以该 方法二laol+lal十lal+..+laol即为(2x+3y)*展开式 式为(+){*},其展开式的通项为T,=C,令6-2r= 中各项系数的和,令x-1,y-1,得la|+la|十lal+..十 laol-5. 0.得,-3.所以常数项为T-C-20.故选B项$ 11.ABC 因为(r-1)-a+a(x+1)+a(x+1)+.. 3.D因为(-1)”的展开式中只有第7项的二项式系 a(x+1),所以[(x+1)-2]=a。+a(x+1)+a(x十 1)2+...+a(x十1),由二项式定理得[(x十1)-2展开 数最大,所以n-12,故(-)”的展开式的通项为T-,一 式的通项为T-(-2)C(x+1)→,令5-r-2,得r- Cr*(-1)'-(-1)Cx*-,令12-2r-2,得r-5,所 3,则a=(-2)3C--80,故B项正确;令5-,-4,得 1,则a=(-2)1C--10,令5-,=3,得r-2,则a= 以展开式中含x^*项的系数是(-1)C。一-792.故选D项. (一2)*C-40,所以a十4a.=0,故C项正确;令x=-1,得 4.B (x){*}的展开式的通项为T,=· (-1-1)-a。,则a--32,故A项正确;令x-0,得ao+a+ a+...+a-(-1)一-1,故D项错误,故选ABC项 (-) -(-a)'Cx5-*,令5-2r-3,则r-1,所以-ax 12.解设(a+x)(1+x)=a+ax+ax+ax+ax十 ar,令x=1,得(a+1)x2-a。+a+a+as+a4+a ①. 5--5,即a-1,展开式中第2,4,6项的系数为负数,第1, 令x=-1,得0=a。-a+a-a+a-a ②.①-②,得 3.5项的系数为正数,故各项的系数中最大值为C^{一10.故 选B项. $6(a+1)-2(a+a+a )-2x32,所以a-3 3 5.AC 解因为(2x+1)10-a。+ax+ax2+..+aox10. 13.解(1)因为C+2C-11,所以m+2n-11, xER,所以令x=0,得a。=1,A项正确;令x-1,得a。+ 又m+n-8,所以m-5,n-3, a+a+..+a。-3lo,C项正确.故选AC项. 所以x*的系数为C2+4C-C+4C-22. 6.解析因为(a十b)*的展开式中有9项,所以中间一项的二项 (2)由(1)知m-5,n-3. 式系数最大,该项为Ca*-70ab,因为(a十b)*的展开式 所以f(x)=(1+x)+(1+2x)-a。+ax+ax*+a十 中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为 ax十a, C-126ab,Ca-126a' 从而可得f(1)-2+33-a。+a+a+a+a+a 塔案70a'b 126a5b与126ab5 f(-1)-0-1-a。-a+a-a+a-a, 7.解析因为(1十x)”的展开式中第4项与第8项的二项式系数 所以a+a3+as-[f(1)-f(-1)]-30,即奇数次幕的 相等,所以C一C,解得n-10,所以二项式(1十x)的展开式中 奇数项的二项式系数和为×210-512. 项的系数之和为30. 14.解析(1)二项式系数之和为2一256,解得n-8. 答512 (2)(+) 8.解因为C-C,所以n-10,所以(3x-4)10-ao+a(x- 展开式的通项为T-C(”)= 1)+a(x-1)+...+a。(x-1)*,令x-1,可得(3-4)0 Cn:8-2r. 1-a。,令x-2,可得(6-4)10-210-a。+a:+a+.+ao 令8-2r-0,得r-4,则Cm-35.解得m-士2. 所以a+a+..+a。-20-1-1023. 答1023 (3)易知n>0,设第,十1项系数最大. 9.解析T。-C(3x),T-C(3x). 则 Cm>Cn+, -n十1 依题意有C·3-C·3,解得n-7. 所以(1十3x)的展开式中,二项式系数最大的项为T.一C· 由于只有第6项和第7项系数最大, [48m-1<5. (3)-945r和T-C·(3x)'-2835x m十1 设第r十1项系数最大, 所以 #6## #2. 则有{ C·3>C1.3-1. C·3>C1.3+1. 解得5,6 所以m只能等于2. 因为r(0,1,2,..,7),所以r-5或r-6. 15.A 解依题意,令x十2一1,即x=一1,则等式右边为 所以系数最大的项为T.-5103x,T-5103x**。 a+a十a十...十a.把x=-1代入等式左边,得[(-1){+ 10.设(2x-3y)-a”+axy+axy+.+a。y”. 1]2x(-1)+1*=-2,所以a。+a+a+..+au=-2. (1)各项系数之和为a。十a十a十..十a. 故选A项. 令x-1,y=1,可得a。+a+a+.+a=(2-3)-1. 16.将等式C+2Cx+3Cx+.+nC1-n(1+x) (2)由(1)知a。+a+a十.十a。=-1, 两边均乘以x,得Cx十2Cx十3Cx+.十nC“= ·197. nx(1+x),两边对x求导,得C+2Cx+3C-+..十 2)(+1-2)(+1-2),要得到常数项有以下方式: $-ì-n(1+x)-l+n(n-1)x(1+x)?,令x=1,得 C+2C+3C+..+C=n·21+(n-1)·2- (1)5个式子都取-2相乘得(-2)--32;(2)5个式子取1 n(n+1).2r-?. 个x,余下的取1个一,再余下的都取-2得C!CC(-2)3= 答n(n+1)·2-~? -160;(3)5个式子取2个x,余下的取2个1,再余下的都 培优训练(二) 取一2得CCC(一2)一-60,所以所求常数项为(-32)+ 1.C解展开式的通项为T-=C(3x”)()= (-160)+(-60)--252 $3.(-)”,令3n-7r=0,则nn-7,当r-3时, 智-252 9.解令f(x)-(1-2x)-a。+ax+ar+.+a n有最小值7.故选C项. (1)a。+a+..+a=f(1)-(1-2)=-1. 2.A(\2)^{}展开式的通项为T-C·(-2y· (2)令x=1,则f(1)-a+a+a+a+a+a+a+a= (-2y-1,令x=-1,则f(-1=a-a+a-a+a-a+ =(-2·C·.令6-3r=0,解得r-2,所以展$ a-a=(1+2)-2 187,所以ao+a+a+af(1)+/(-1) 开式的常数项为(-2)②}·C②}一60.故选A项. 2 -1+2187-1 093,a+a+a+a-f(1)-f(-1)_-1-2187 3.BCD析根据二项式系数的对称关系,当n一9时, 2 #. 所有二项式系数中,C一C,且C,C均为最大;当n -194. 10时,所有二项式系数中,C最大;当”一11时,所有二 10.解析(1)因为展开式前三项的二项式系数和为22,所以C十 项式系数中,C一C,且C.C均为最大.故选BCD项 C+C-22,所以r^}+n-42-0,所以n-6或n--7(舍)$ 4.C因为二项式(3c*-1)”的展开式中,所有二 故n的值为6. (2)由题可得,展开式中最大的二项式系数为C一20,所以 项式系数的和是32,所以2-32,解得n-5.令x-1,可 展开式中二项式系数最大的项为第4项,即T.一C(2x)· 得展开式中各系数的和为(3×12-1){}-2532. (#)一120r}. 故选C项. (3)展开式的通项为Ts,C·(2x) ()#C· 5.A(+){ 的展开式的通为Tt.→·()-. $ -*,令6-3-0,则r-4,所以Ta+=2^°C=960,故$ (2) -x”-y,当r-3时,·Cxy=20x^y; 展开式中的常数项为960. 当-2时,-2y·Cx=-30x$,所以20x$ 11.A (ax+1)*}展开式的通为T=C·(ax) -· 3$x*=-10x^{y,所以^的系数为-10.故选A$$ () -·a*-·→,令6-2r=-2,解得r-4,所以 6.解析由题意可得T=T=C(-ax)=C(-a) 所以C(-a)--56a5-1792,所以a5--32,解得 a*C-60,解得a=2或a--2(含),则(2-1){}展开式 a--2. -2 的通项为T-C·(2x) -*·(-1)“-2-→·(-1)*· 7.依题意,2“-128,解得n-7,所以(-2)的展开式的 C·$-*,令6-2k=0,解得k=3,所以(2x-1)^{}的展开 通项为T=C.(-2)=(-2)C’-*(rN, 式中的常数项为26-*·(-1)*·C-2x(-1)xC 8X(-1)×20--160.故选A项. 7),由7-2r-3得r-2,所以所求展开式中x项的系数 12.BD 解析因为n十1-13,所以n-12,所有奇数项的二项 是(-2)*C-84. 式系数和为2l1,故A项错误;令x-1,得所有项的系数和 84 为3^{②},故B项正确;由二项式系数的性质可知二项式系数最 8.解霸方法一当→>0时,(c+12)}→(\)”),其展开 大的项为第7项,故C项错误;因为(2-+)^展开式的通 式的通项为T+,=Cn。()”.()-(-1)C。 V)→, 项为T-C(2)12.(-)'-212-C-r,当 当r一5时,其为常数项,即一C。=一252;当x~0时, 12-,为整数时,r-0,3.6,9,12,共有5项,故D项 正确,故选BD项. -C。--252. 13.解根据题意,设所求的行数为n(nN),则存在 方法二(+#-2)#第-(+-)2)(+-2)(c+ 自然数人,使得寻一#简得1 ·198·