精品解析：福建省泉州市第七中学2024-2025学年下学期3月月考八年级数学试题

泉州七中2024-2025学年八年级下学期数学阶段测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式有意义条件是（　　） A. x＞3 B. x＜3 C. x≠0 D. x≠3 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 3 B. C. D. 0 4. 如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的25倍 B. 扩大到原来的5倍 C. 值不变 D. 缩小为原来的 5. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 7. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 8. 如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 菱形 D. 矩形 9. 如图所示，E是正方形的对角线上一点，，垂足分别是F、G，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 10. 如图，矩形中，，点E是的中点，线段在射线上左右滑动，若，连接，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：______． 12. 分式和的最简公分母是_______． 13. 计算：=_____． 14. 已知，则______． 15. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为_________． 16. 在菱形中，分别为边，，，上的点（不与端点重合）．对于任意菱形，下面四个结论中：①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④存在无数个四边形是正方形；所有正确结论的序号是______． 三、解答题：共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，求证：． 20. 先化简，后求值：，其中． 21. 如图，延长平行四边形的边．作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，若．求证：四边形是菱形． 22. 如图，有一块矩形场地，长米，宽米，现要在此场地上设计一个菱形区域用来栽种花草，其中点、分别在、上． （1）尺规作图：作出菱形；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）试求出菱形区域的面积． 23. 回顾情景，数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片边长分别为，． 动手实践： 如图1，小华将矩形纸片折叠，点A落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开，得到正方形，矩形． （1）折痕的长为______；（用含a的式子表示） （2）如图2，若P为线段上任意一点，Q为的中点，小芳继续将矩形纸片沿经过P，Q两点的直线折叠，使点C落在折痕上的点G，折痕与折痕交于点H，小芳同学不断改变点P的位置，发现四边形是某种特殊四边形． ①请你判断四边形形状，并给予证明； ②若，求四边形的周长．（用含a的式子表示） 24. 阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； （3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 25. 如图，在四边形中，点、分别在边、上．连接、． （1）如图1，四边形为正方形时，连结，且， ①已知，，求的长； ②已知，求值； （2）如图2，四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉州七中2024-2025学年八年级下学期数学阶段测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，均为整式，是分式， 故选：A． 2. 分式有意义的条件是（　　） A. x＞3 B. x＜3 C. x≠0 D. x≠3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为0，判断即可； 【详解】解：分式有意义的条件是x-3≠0，即x≠3， 故选： D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键． 3. 若分式的值为0，则x的值为（　　） A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，须同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 4. 如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 扩大到原来的25倍 B. 扩大到原来的5倍 C. 值不变 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 5. 在中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，由四边形是平行四边形，得，，则，再根据平行线的性质即可求解，灵活的应用平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 6. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质即可一一判定． 【详解】解：，，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握和运用分式的性质是解决本题的关键． 7. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案． 【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误； B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误； C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确； D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键． 8. 如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地画出将完全展开后的图形是解题的关键． 将完全展开后得到四边形，由，，证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将完全展开后得到四边形， 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 9. 如图所示，E是正方形的对角线上一点，，垂足分别是F、G，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，证明，则，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，进而可求． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，点E是的中点，线段在射线上左右滑动，若，连接，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上取点，使，取点E关于的对称点，连接交于点，在上找到点，连接，此时取得最小值，证明四边形是平行四边形，得到的最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在上取点，使，取点E关于的对称点，连接交于点， ∵点E是的中点， ∴，则， 又∵， ∴在上找到点，连接，此时取得最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E与点关于的对称， ∴， ∴，即的最小值为的长， ∵， ∴，即的最小值为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，确定最小时位置是解题关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式乘方的运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 分式和的最简公分母是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，最简公分母就是“各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里”是解答此题的关键．由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案． 【详解】解：分式的分母，都是单项式， 分式与的最简公分母是， 故答案为：． 13. 计算：=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】分母不变，直接把分子相加即可 【详解】 【点睛】略 14. 已知，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，约分．由已知得，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 15. 如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可证为等边三角形，可求的长，即可求的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，且， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分． 16. 在菱形中，分别为边，，，上的点（不与端点重合）．对于任意菱形，下面四个结论中：①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④存在无数个四边形是正方形；所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：①如图，∵四边形ABCD是菱形，连接AC，BD交于O， 过点O作直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q， 由对称性可得：OM=OP，ON=OQ， 则四边形MNPQ是平行四边形，由于是直线MP和QN是任意所作， 故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确； ②当MP⊥NQ时，四边形MNPQ菱形， 由于MP是任意所作，当MP绕点O旋转一定角度时，且都存在NQ⊥MP， 故存在无数个四边形是菱形；故正确； ③当MP=NQ时，四边形MNPQ是矩形， 由于MP是任意所作，只要以O为圆心，OM为半径的圆与菱形ABCD有交点，则都存在NQ=MP， 故存在无数个四边形是矩形；故正确； ④当四边形ABCD是正方形时， 则∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， 当AM=BN=CP=DQ时， 由AB=BC=CD=DA， 可得：AQ=BM=CN=DP， 在△AMQ和△BNM中， ， ∴△AMQ≌△BNM（SAS）， ∴∠AMQ=∠BNM，∠AQM=∠BMN，MQ=MN， ∵∠BMN+∠BNM=90°， ∴∠BMN+∠AMQ=90°， ∴∠NMQ=90°， ∵MQ=MN， ∴此时四边形MNPQ为正方形， 故只有当四边形ABCD为正方形时，存在四边形正方形，故错误. 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键． 三、解答题：共86分． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）把分子分母因式分解，然后约分即可； （2）先通分，再把分子因式分解，然后约分即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据异分母分式加减法计算即可； （2）先利用同分母分式加减法法则计算括号里，再将分式除法转化为乘法，分子分母因式分解约分化简计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可以得到，，从而可以得到，然后根据即可证明结论成立． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， （）， ； 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 先化简，后求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟记分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 21. 如图，延长平行四边形的边．作交的延长线于点E，作交的延长线于点F，若．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，全等三角形的性质和判定， 根据平行四边形的性质得，进而得出，然后说明，即可得出最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴ ∴四边形是菱形． 22. 如图，有一块矩形场地，长米，宽米，现要在此场地上设计一个菱形区域用来栽种花草，其中点、分别在、上． （1）尺规作图：作出菱形；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）试求出菱形区域的面积． 【答案】（1）见解析 （2）菱形区域的面积为3750平方米 【解析】 【分析】（1）根据菱形的定义以及题目要求作出图形即可； （2）利用勾股定理求出x，可得结论； 【小问1详解】 所作菱形如图所示. 【小问2详解】 设菱形的边长为米，则米. 在中，，，，由勾股定理，得 ， 即， 解得 ， ∴(平方米). 【点睛】本题考查作图一复杂作图，菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，属于中考常考题型． 23. 回顾情景，数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片边长分别为，． 动手实践： 如图1，小华将矩形纸片折叠，点A落在边上的点F处，折痕为，连接，然后将纸片展开，得到正方形，矩形． （1）折痕的长为______；（用含a的式子表示） （2）如图2，若P为线段上的任意一点，Q为的中点，小芳继续将矩形纸片沿经过P，Q两点的直线折叠，使点C落在折痕上的点G，折痕与折痕交于点H，小芳同学不断改变点P的位置，发现四边形是某种特殊四边形． ①请你判断四边形的形状，并给予证明； ②若，求四边形的周长．（用含a的式子表示） 【答案】（1） （2）①四边形是平行四边形，理由见解析；②． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，然后运用勾股定理即可解答； （2）①根据折叠性质、平行线的性质、等腰三角形的判定可得、，即可说明四边形是平行四边形；②先说明四边形是菱形，，然后根据菱形的周长公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵，四边形为正方形， ∴， 在中，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ∵， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 24. 阅读：如果两个分式A与和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； （3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 【答案】（1）是， （2）①；② （3）c的值为4或16 ． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； 【小问3详解】 ， ∵， ∴原式， ∴，即， ∴， ∴， ∵a，b为整数， ∴一定为5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或1， ∴c的值为4或16 ． 25. 如图，在四边形中，点、分别在边、上．连接、． （1）如图1，四边形为正方形时，连结，且， ①已知，，求的长； ②已知，求的值； （2）如图2，四边形为矩形，，点为的中点，，，求的长．． 【答案】（1）①10；②4 （2） 【解析】 【分析】此题考查了正方形性质，全等三角形的判定及勾股定理，根据全等三角形对应边之间的关系，设未知数利用勾股定理列方程为解题关键． （1）①利用勾股定理可直接得出结论； ②延长至点，使，连接，可证明，所以，；进而可得，所以；设，，则，，．所以，在中，利用股定理可得关于和的等式，解之即可得出结论； （2）如图，延长、交于点．可证，所以，由，可得，所以，设，则，即，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）①在正方中，， 在中，，，， ， 即的长为10． ②如图，延长至点，使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 设，，则，，． ， 在中，， ， ， ， ，即， 的值为4． 【小问2详解】 如图，延长、交于点． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 设，则， 即， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$