精品解析：天津市第七中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段练习数学试题

天津七中2024-2025学年度高一下学期数学第一次阶段练习 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则四点构成平行四边形 C. 若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量 D. 向量与可以作为平面内所有向量一组基底 2. 设向量，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 3. 的内角，，所对的边分别为，，.已知，，，那么的周长等于（ ） A. 12 B. 20 C. 26 D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 5. 已知复数z满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第二象限 B. 第三象限 C. 第四象限 D. 第一象限 6. 已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 中，，点在线段上，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 8. 在中，，，点在的内部，的延长线与交于点，若，则的面积是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A B. C. D. 2 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知复数满足：（为虚数单位），则_________ 11. 已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为______. 12. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______． 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则________. 14. 2021年10月1日，是中华人民共和国成立72周年，某校为了迎接“十一”国庆，特编排了“迎国庆·唱红歌”活动，活动地点让合唱团依斜坡站立，斜坡的前方是升旗台.如图，若斜坡的坡角为，斜坡上某一位置A与旗杆在同一个垂直于地面的平面内，如果在A处和坡脚处测得旗杆顶端的仰角分别为和，且米，则旗杆的高度为________米. 15. 已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为_________. 三、解答题 16. 已知复数． （1）若，求的值； （2）若为纯虚数．求的值． 17. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求值． 18. 已知复数. （1）计算复数，并求； （2）若复数满足，求实数的值. 19. 记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，. （1）求； （2）若，求线段的长. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，. （1）求； （2）若，，求周长取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津七中2024-2025学年度高一下学期数学第一次阶段练习 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则四点构成平行四边形 C. 若平面向量与平面向量相等，则向量与是始点与终点都相同的向量 D. 向量与可以作为平面内所有向量的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算判断A，根据相等向量的概念判断BC，根据基底的概念判断D. 【详解】对于A，，A错误， 对于B，若，则A，B，C，D四点可以构成平行四边形或者A，B，C，D四点共线，B错误， 对于C，若平面向量与平面向量相等，则与长度相等且方向相同，但起点不一定相同，C错误， 对于D，由，得与不共线，可以作为平面内所有向量的一组基底，D正确， 故选：D． 2. 设向量，，若，则（ ） A 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由，得，解得. 故选：C 3. 的内角，，所对的边分别为，，.已知，，，那么的周长等于（ ） A. 12 B. 20 C. 26 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理解得,从而,周长为20. 【详解】根据余弦定理得,即,整理得, 所以, 所以的周长等于7+5+8=20. 故选:B 【点睛】本题考查了余弦定理,利用余弦定理解三角形得是关键,属于基础题. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直向量，结合数量积运算律或坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】解法一：因为， 所以， 故，解得. 故选：B 解法二：因为， 由 得，解得. 故选：B. 5. 已知复数z满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应点所在的象限为（ ） A. 第二象限 B. 第三象限 C. 第四象限 D. 第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数运算公式求得z，结合复数的几何意义可得. 【详解】由得，，∴复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限. 故选：B. 6. 已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据单位向量与垂直向量的数量积表示，利用数量积的运算律以及夹角为锐角的数量积表示，同时注意排除向量共线的情况，结合充分不必要条件，可得答案；法二：由题意设出向量的坐标，根据数量积的坐标表示，结合充分不必要条件，可得答案. 【详解】法一： 由单位向量的夹角为，可得，． 若向量与向量的夹角为锐角， 则且向量与向量不共线． 由，得； 由向量与向量不共线，得，即． 所以由向量与向量的夹角为锐角，得且． 易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度. 综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件． 法二： 因为单位向量的夹角为，所以不妨令，， 则，．因为向量与向量的夹角为锐角， 所以，且，得且． 当时，可得， 此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度. 综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件． 故选：B． 7. 在中，，点在线段上，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系得到，再利用正弦定理求解边长即可. 【详解】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 而，则，由同角三角函数的基本关系得， 在中，由正弦定理可得，解得，故C正确. 故选：C 8. 在中，，，点在的内部，的延长线与交于点，若，则的面积是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可得，然后由，可得，据此可得答案. 【详解】，因， 则，，得. 又，则，过A，M做BC垂线，垂足为G，F， 则，，又底边相同， 则. 故选：C 9. 如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 已知复数满足：（为虚数单位），则_________ 【答案】 【解析】 【分析】首先化简复数，再求，进而结合复数模的公式求解即可. 【详解】因为， 所以，则. 故答案为：. 11. 已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用投影向量公式和模的运算公式即可求出结果. 【详解】， 则向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 12. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】求得的共轭复数，再结合复数乘法运算，以及其结果是实数，即可列出方程，求得结果. 【详解】实数，则，． 故答案为：. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则________. 【答案】 【解析】 【详解】利用余弦定理求出，即可求出，再由二倍角公式计算可得. 【分析】因为，所以， 由余弦定理得， ，，， 则. 故答案为：. 14. 2021年10月1日，是中华人民共和国成立72周年，某校为了迎接“十一”国庆，特编排了“迎国庆·唱红歌”活动，活动地点让合唱团依斜坡站立，斜坡的前方是升旗台.如图，若斜坡的坡角为，斜坡上某一位置A与旗杆在同一个垂直于地面的平面内，如果在A处和坡脚处测得旗杆顶端的仰角分别为和，且米，则旗杆的高度为________米. 【答案】 【解析】 【分析】设，在中，,在中，利用正弦定理即可得到关于x的方程，进而求得x的值. 【详解】设，在中，； 在中，，，，， 由正弦定理得，即，所以. 故旗杆的高度为米. 故答案为：18. 15. 已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则__________；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为_________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值. 【详解】因为，所以， 因，， 所以，， 所以， 因为为线段的中点，所以，又， 所以， 又， 所以， 因为设是线段上的动点，又为钝角， 所以， 因为正方形的边长为，， 所以， 所以， 所以当点与点重合时，取最小值，最小值为. 故答案为：；. 三、解答题 16. 已知复数． （1）若，求的值； （2）若为纯虚数．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据复数的概念和性质求解即可. 【小问1详解】 由，可知为实数， 所以，得或． 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意，故． 【小问2详解】 由题意得，解得，即． 17. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律可得，即可利用夹角公式求解， （2）利用模长公式即可求解. 【小问1详解】 由可得， 故， 所以， 由于，所以， 【小问2详解】 ， 故 18. 已知复数. （1）计算复数，并求； （2）若复数满足，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先对复数化简，然后求复数的模； （2）对等式左边化简，再由复数相等的条件列方程组可求出实数的值 【小问1详解】 因为 所以. 【小问2详解】 由，得 ， ， ， 所以，解得. 19. 记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，. （1）求； （2）若，求线段的长. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理得，最后再利用正弦定理解三角形即可； （2）根据正弦定理得，再求出，最后余弦定理即可得到答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即. 由余弦定理可得，又，所以. 在中，由正弦定理可得， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 又，所以. 因为，所以为锐角，则为钝角， 所以. 在中，由余弦定理可得， 即， 即，解得(负值舍去). 故线段的长为3. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是先利用正弦定理得，再求出，最后利用余弦定理得到关于的方程，解出即可. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，. （1）求； （2）若，，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角的正切值，结合的范围可得，再利用两角和的余弦公式即得解； （2）由（1）及已知求出的取值范围，再由正弦定理及正弦函数的性质求出的取值范围即得解. 【详解】（1）在中，因，由三角形面积公式 则， 即，而，得， （2）由知，于是得为钝角，又，则， 由正弦定理得，则，， 则， 而，即，则， 于是得，， 所以周长的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$