第2课时 角平分线的性质与判定的运用-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（湘教版 湖南专版）

第2课时 角平分线的性质与判定的运用 名师导学 基础过关 夏新知梳理 知识点角平分线的性质与判定的运用 ①三角形三条内角平分线相交于一点， 1.(2024·益阳期末)三条公路将A,B,C三个村庄连成一 这点到三角形 的匝离相等. 个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个 ②点到角的两边的距离相等的作图转 化为作这个角的 集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这 目例题引路 个集贸市场应建的位置是 【例1】如图，O是△ABC的三条角平分 A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 线的交点，连接OA,OB,OC.若 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 △OAB,△OBC,△OAC的面积分别是 S,S,S,则下列关系正确的是( A.S>S:+S B.S:=S:+S C.S<S:+S (第1题图) (第2题图) (第3题图) D.无法确定 【学生解答】 2.如图，△ABC的三条角平分线交于点1，ID⊥BC于点 【例2】如图，在△ABC中，O为∠ABC, D.若△ABC的周长为18，ID=3,则△ABC的面积为 ∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB, OE LAC.OF⊥BC,垂足分别为D.E.F. A.18 B.30 C.24 D.27 3.如图，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离 相等.若∠ABC+∠ACB=110°，则∠BCOC的度数为 4.(教材P26习题T3变式)如图，BD是∠ABC的平分线， (1)连接AO,求证：AO平分∠BAC: AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是 (2)若△ABC的周长为30，△ABC的 M,N.求证：PM=PN. 面积为45，求OF的长. 【学生解答】 21数学八年级下册配灯版 ☑能力提升 9.(教材P26习题T4变式)如图，公路CD∥ EF,公路AB交CD,EF于点A,B.现要建 5.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥ OA,ED⊥OB,垂足分别是C,D,连接CD 一个旅店P,使点P到三条公路的距离都相 等，请画出点P.(不写作法，保留作图痕迹) 下列结论不一定成立的是 A.DE=CE D B.EO平分∠DEC C.OE垂直平分CD D.CD垂直平分OE 6.如图，1，l2,l是三条两两相交的笔直公路， 现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距 离相等，则这个加油站的位置共有( A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 D米 昌思维拓展 10.如图，在△DBC中，DB=DC,A为△DBC (第6题图) (第7题图) 外一点，且∠BAC=∠BDC,AC,BD交于 7.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=8,AC 点O,DM⊥AC于点M,连接AD 15.以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别 (1)求证：AD平分△ABC的外角∠CAE: 交BA,BC于点M,N:再分别以点M,N为 (2)求证：AC-AB=2AM. 圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧交于 点E,作射线BE,交AC于点D,则线段AD 的长为 8.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的 一点，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, F是OC上的另一点，连接DF,EF.求证： DF-EF. 第1章直角三角形22II.1E明，(ID:AD是△AC的中线，，BD■CD.:BE⊥AD,CF⊥AD OE=OF,(AB+BC+AO=i,”△MHC的周长为0，iAB+B+ ,AD+D=A,∴F+D=2DE).∴，DE=2 ∠HED-∠F, △.BOP等腰 ,∠ED-∠F-9在△BED和△CFD中，∠DE=∠CDF,,△BEDa AC-30.5-20F.30.0F-3 3.2 BD-CD. 1.C2.D3.125 4,旺明：过点C作CF⊥AB于点F,AC平分∠BAD,AD⊥DE,CF⊥ △CFDCAAS.∴BE-F.在R1△BGE和R△CAF中，BE-CF, (BG-CA. 4,证明：：BD是∠ABC的半分线.一∠ABD-∠CBD在△ABD和 AB,∠ADC-∠AFC-90.CD=CF.AC-AC,R△ADCa AB=CB. RL△AFC(HL入.，AD=AE.同理可得BF=BE,,AB-AF十BF=AD Rt△BG≌R△CAFCHL).GE-AF.GE-AE-AF-AE,pAG △CBD中， ∠ABD=∠CBD,,△ABDa△CBD(SAS),,∠ADB= 十BE -EE.由(I)知△BED☑△CFD,DE-DF-是EE.AG-EF-2DE BD-BD. 【变式题·一题多解】证法一：任明：在△BE和△P℃E中： BC-FC. 1.4角平分线的柱质 ∠CDB.∠ADP-∠CDP,即DP平分∠ADC.'PM⊥AD,PNLCD, ∠BCE=∠FCE,“,△BCE@△FCE(SAS).,∠B-=∠CFE.,ADA 第1采时角中拿直的性嘴与判之 .PM=PN. CE-CE. 名师导学 5D6,D7 BC,∠A十∠B=1O,∠CFE十∠DFE=10,∠A=∠DFE,在 0等0平分线 8.正明：OP是∠AO那的半分线，PD LOA,PE⊥OB,∠DOF= ∠A-∠DFE, 【例1C joP=OP.R△OPD ∠EOF,PD-PE.在R△0PD框△OPE中，PD-PE, AADE和△FDE中，∠ADE-∠FDE,.△ADE②AFDE(AAS). 【酬2】证图：在R1△PFD和RtAPGE中， F-C△PFDa DE-DE. @R1△OPE《HL)..OD=OE.在△ODF和△OEF中， .AD=FD.CD=FD+FCAD++BC R△PGE(HI).PD=PE:P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB. ODOF. MD-CD. OC是∠AOB的平分线 ∠DUF=∠EF.△ODF2△(EF(SAS).DF=EF 正法二，正明，在△DEM和△DEC中，∠MDE=∠CDE.,△DEMa 1.C2,B3.C【变式1434,35,35 OF-OF. DE-DE. 6证明，BF⊥AC,CE⊥AB,∠HED=∠CFD=0.在△DE和 9.解：如图，点P,P原为所求 △DEC(SAS),ME=CE,∠N=∠DCE,”∠DE=∠BCE,∠M= ∠BED=∠CFD ∠E,:AD∥BC,÷∠MAE=∠B.在△ME和△CE中， △CDF中，∠BDE=∠CDP,,△BDEa△CDF(AAs1.,DE=DF ∠M-∠BCE, BE-CF, ∠MAE-∠B,.△AME☑△BCE(AAS)..AM=BC∴CD=MD= ,AD平分∠BAC ME-CE. 7.A8.D.2.5 10,证界：(1)过点D作DN⊥BB于点N.∠BAO-∠WDC,∠AOB= AD+AM-AD-+BC. 1m,(I)解：90”(2)证谢：过点C作CP LAM于点P,PC的延长线交BN ∠C,i∠ABO=∠DCO.DM⊥AC,DN⊥AB,∠DNB■∠DC 5.证明，过点E作EF⊥BC于点E,则∠BFE=∠CFE-90”.:BD平分 于点H,过点C作CK⊥AB于点K,:AM∥BN,CH⊥BN.∠CPE =0°.D站=C.△DNB2△DMC(AAS).,DN-DM,AD平分 ∠ABC,EA⊥AB,EA-EF,∠BAE-∠BEE-90在R△ABE和 =∠CHF=90.AC,C分别半分∠BAM.∠ABN,.CP=CK.CK= △ABC的外角∠CAE.《2)悬正Rt△DNA@R1△DMA,·AN-AM由 BE-BE, ∠CPE=∠CHF, R1△FBE中， R:△ABE☑R△FBE(HL.,AB=FB.EH (I).得△DNB☑△DMC,BN-CM.AC-AB-AN十CM-(BN EA-EF. CH,CP CH,在△CPE和△CHF中，CP■CH, △CPE≌ AN)AM. -EC.EFLBC.PB-FC.RC-2FB-ZAB ∠PCE=∠HCF. 大单元整合练利用龟平分线构造等保三角形， 第1章章末术复习 △CHPCASA).,CE=CP 全琴三角形解【包归敏材，通性通法】 思维导图 11.(1)解.DC-DB(2证明，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC,交 等 互余一半直角互念H比.相等相等 AC的延长线于点F,则∠F一∠DEB=.￥AD平分∠BAC,DE⊥AB, 1.4 核心考点 DF LAC,.DE-DF.∠B+∠ACD-18',∠ACD+∠FCD=180', 【变式题】解，过点D作DH⊥AB干点H,则∠DHE-90:AD平分 1.D2.C3B4.14 I∠F-∠DEB, ∠BAC,∠CAD-∠BAD.'DEA∥AC.∠CAD-∠ADE,∠DEH- ∠B=∠下D.在△DFC和△DEB中，∠FCD-∠B,∴.△DFC☑ 5.解，(145°(2)∠ACB-90,∠A-30,BC-2AB-8,∠ABC- ∠HAC=30°，∠BAD=∠ADE.AE=DE.AD米分∠BAC,∠C DF-DE. 90,DH⊥AB,DH-CD=3.在R△DEH申，∠DEH=30,AE= 90°-∠A-50,BE平分∠ABC,∠CBE-号∠ABC-0,CHL △DEB(AA,DC=DB DE-2D月=6. 第2课时角平分线的社质寿判瓷的路用 2.(I)证明：'AE是∠BAD的平分线，∠DAF=∠BAF,DFAB, BE,CH-}BC4y∠CH-∠DMB-45,∴∠HCM-9g- 名师厚学 ∠F=∠BAF,∠DAF=∠F,AD=DF,△ADF是等限三角形， ∠CMH=45=∠CMH,.AH=CH-4 0三边0平分线 6.D7,D8.6 【例1】C C2解：AB=AC,AD是△ABC的中授∠BAD=号∠BAC=0,∠B 9.解：(1)不座(2)如图，设本程下滑后的位置为 【例21(1)E明，，0平分∠ABC,0D⊥AB,F⊥BC,,0D-OF.同圆 -∠C-30,AD1BC,5AD-AB-6,∠ADE-0."AE是∠BAD CD,雨D=0,9m限据题查，得CD=AH=2.5m: 可得OE-OF,.D-0E.A0平分∠BAC(2)解：由1)知OD-OE G地=1.5m,∠N-可，六CD-O+D=24鱼在 OE,Sa-SEw+SAx+SaAr-7AB·OD+2C·OF+AC: 的平分线，∠DLE=亏∠BAD-D.六AE一DE.在△ADE中， R△AOB中，OA-VB-OB-2m.在RtACOD 8 9