专题08 一线三等角与射影定理-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（重庆专用）

专题8 一线三等角与射影定理 一线三等角，在选择或填空题考察求线段长度，在解答题中考察相似三角形的证明及角度、线段长、线段比值计算。射影定理常常用在三角形相似的证明，求线段长等。 2 模型1.一线三等角 2 模型2.射影定理 6 10 模型1.一线三等角 条件：两个三角形在直线同侧，点P在线段上， 结论：. 条件：两个三角形在直线异侧，点P在的延长线上， 结论：. 条件：两个三角形在直线同侧，点P在线段上， 结论：. 证明： ∵是的外角， ∴， 即， 又∵， ∴， ∵， ∴. 条件：两个三角形在直线异侧，点P在的延长线上， 结论：. 证明： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴. 例1．如图，在矩形中，，将点B折叠到边上点E处，折痕为，连接，， 若点E是中点，则长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A． 【解答】解：∵矩形中，， ∴， 又∵E是的中点， ∴， 中，， 由题可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 例2．如图，在等腰中，，，D在上，且， 则 　． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．如图，矩形中，，，E是边上一点，且，F是边上一动点， 作，交边于点G，将沿着所在直线折叠，点D的对应点恰好落在边 上，则的长为 　 　． 【答案】4或． 【解答】解：设，则， 如图所示，过F作于H，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 中，， ∴， 解得或， ∴或． 故答案为：4或． 模型2.射影定理 条件：是斜边上的高 结论：①，； ②，； ③， 条件：是斜边上的高 结论：①，； ②，； ③， 证明：在和中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即. 同理可证结论②，③. 例1．如图，在中，，于D，若，，则（　　） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A． 【解答】解：∵，于D， ∴， ∴． 故选：A． 例2．如图，在正方形中，，点E是边上的一点，且，连接， 于点M，于点N，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，； 故选：D． 例3．如图所示，在中，，于D，下列四个结论中： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有 　 　． 【答案】②③④． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误，②正确； ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故正确的结论有：②③④． 故答案为：②③④． 一线三等角 1．如图，在边长为6的正方形中，E为上一点，，将沿折叠得到， 连接，则线段的长为 　 　． 2．如图，等边三角形的边长为3，点D、E分别在边和上．将沿着折叠，若点A 恰好落在边的三等分点处，此时的长为 　 　. 3．如图，在矩形中，，，点P在上，且，连接，将沿翻折得到，若点A的对应点落在矩形的边上，则a＝　 　． 4．如图，点E是矩形边上一点，沿折叠，点B恰好落在边上的点F处．设， （1）若点F恰为边的中点，则x＝　 　． （2）设，则y关于x的函数表达式是 　 　． 5．已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 6．已知等边，E，F分别在边、上，将沿折叠，A点落在边上的D处． （1）求证：； （2）若时，求． 7．【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，，求证：； 【问题探究】（2）在（1）条件下，若点C为的中点，求证：； 【拓展运用】（3）如图2，在中，，点O是的内心、若，，则的长为 　 　． 8．矩形中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为． （1）观察发现：如图1，若点P恰好在边上，　 　（填写一个与相似的三角形）； （2）拓展探究：如图1，若点P恰好在边上，则线段的长为 　 　； （3）迁移应用：如图2，若E是的中点，的延长线交于点F，其余条件不变，求线段的长． 9．【感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于 点F．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：． （2）若，，E为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为 　 　． 10．在矩形中，．沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在边上点F处，折痕为． 【尝试】（1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】（2）随着折痕位置的变化，F点的位置随之发生变化．当时，是否存在点F，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】（3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为．若，求的值． 11．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在正方形中，连接对角线，E是线段边上一点，且，H是线段边上的动点，过点E作的垂线交线段于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）①如图2，当，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出结论； ②请探究线段，，之间数量关系的一般结论并证明． 射影定理 1．如图，中，，于点D，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．在中，，于D，若，，则的值是（　　） A． B． C．2 D．4 3．如图，在中，，于D，，，则为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，在中，，，垂足为点D，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，中，，于点D，，E为斜边的中点， 则（　　） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，．对角线与相交于点O，过点D作的垂线，交 于点E，．则的值为（　　） A．4 B． C． D． 7．如图，在正方形中，、相交于点O，E为上一点，于点G，交于 点H，连结交于点P．若，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 8．已知在，，D是边中点，E在边上，且，于点F，，，则　 　． 9．如图，在中，，，，点D是的中点，连结，分别交、于点F、E．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点F为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 10．已知，如图，在中，， ，点E为延长线上一点，连接， 过点C作于点F，交、于M、N两点． （1）若线段、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． ①求证：； ②证：； （2）若，，求的长． 11．如图，在中，，D是上一点，过点C作，垂足为E．连接 并延长交于点F． （1）求证：； （2）已知D为的中点， ①求证：； ②若，求的值． 12．在梯形中，，．的延长线交射线于点M，过点A作的垂 线交的延长线于点N，交边于点E．已知，． （1）如图，求证：； （2）如果，求的值． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8 一线三等角与射影定理 一线三等角，在选择或填空题考察求线段长度，在解答题中考察相似三角形的证明及角度、线段长、线段比值计算。射影定理常常用在三角形相似的证明，求线段长等。 2 模型1.一线三等角 2 模型2.射影定理 6 10 模型1.一线三等角 条件：两个三角形在直线同侧，点P在线段上， 结论：. 条件：两个三角形在直线异侧，点P在的延长线上， 结论：. 条件：两个三角形在直线同侧，点P在线段上， 结论：. 证明： ∵是的外角， ∴， 即， 又∵， ∴， ∵， ∴. 条件：两个三角形在直线异侧，点P在的延长线上， 结论：. 证明： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴. 例1．如图，在矩形中，，将点B折叠到边上点E处，折痕为，连接，， 若点E是中点，则长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A． 【解答】解：∵矩形中，， ∴， 又∵E是的中点， ∴， 中，， 由题可得，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 例2．如图，在等腰中，，，D在上，且， 则 　． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3．如图，矩形中，，，E是边上一点，且，F是边上一动点， 作，交边于点G，将沿着所在直线折叠，点D的对应点恰好落在边 上，则的长为 　 　． 【答案】4或． 【解答】解：设，则， 如图所示，过F作于H，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 中，， ∴， 解得或， ∴或． 故答案为：4或． 模型2.射影定理 条件：是斜边上的高 结论：①，； ②，； ③， 条件：是斜边上的高 结论：①，； ②，； ③， 证明：在和中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即. 同理可证结论②，③. 例1．如图，在中，，于D，若，，则（　　） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A． 【解答】解：∵，于D， ∴， ∴． 故选：A． 例2．如图，在正方形中，，点E是边上的一点，且，连接， 于点M，于点N，连接，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 【解答】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，； 故选：D． 例3．如图所示，在中，，于D，下列四个结论中： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有 　 　． 【答案】②③④． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①错误，②正确； ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故正确的结论有：②③④． 故答案为：②③④． 一线三等角 1．如图，在边长为6的正方形中，E为上一点，，将沿折叠得到， 连接，则线段的长为 　 　． 【答案】． 【解答】解：过点F作，垂足为N，延长交于点M， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠得： ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为：． 2．如图，等边三角形的边长为3，点D、E分别在边和上．将沿着折叠，若点A 恰好落在边的三等分点处，此时的长为 　 　. 【答案】或． 【解答】解：分两种情况： ①当时，，， 由题可得，，BD+AD＝AE+CE＝3， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； ②当时，，， 同理可得， ∴，即， ∴； 综上所述，的长为或． 3．如图，在矩形中，，，点P在上，且，连接，将沿翻折得到，若点A的对应点落在矩形的边上，则a＝　 　． 【答案】8或． 【解答】解：①如图，当点Q落在边上时， 由翻折可知：，， 在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点Q落在边上时， 由翻折可知：，，， ∴，， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：8或． 4．如图，点E是矩形边上一点，沿折叠，点B恰好落在边上的点F处．设， （1）若点F恰为边的中点，则x＝　 　． （2）设，则y关于x的函数表达式是 　 　． 【答案】（1）2；（2）． 【解答】解：（1）∵点F为边的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得： ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．已知：如图，是等边三角形，点D、E分别在边、上，． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）或． 【解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）证得， ∴， 设，则， ∴， ∴或， ∴或． 6．已知等边，E，F分别在边、上，将沿折叠，A点落在边上的D处． （1）求证：； （2）若时，求． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】解：（1）证明：∵等边， ∴， ∵将沿折叠，A点落在边上的D处． ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴设，则， ∵翻折， ∴设，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由得： ① 由得： ② 由①②解得：，， ∴， ∴． 7．【问题背景】（1）如图1，点B，C，D在同一直线上，，求证：； 【问题探究】（2）在（1）条件下，若点C为的中点，求证：； 【拓展运用】（3）如图2，在中，，点O是的内心、若，，则的长为 　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10． 【解答】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点O作交于点E，交于点F， ∵点O是的内心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， 故答案为：10． 8．矩形中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为． （1）观察发现：如图1，若点P恰好在边上，　 　（填写一个与相似的三角形）； （2）拓展探究：如图1，若点P恰好在边上，则线段的长为 　 　； （3）迁移应用：如图2，若E是的中点，的延长线交于点F，其余条件不变，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解答】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠知，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，过点P作交于G，交于H． 则四边形是矩形， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值已经舍弃）， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．【感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于 点F．易证：．（不需要证明） 【探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：． （2）若，，E为的中点，求的长． 【应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为 　 　． 【答案】【探究】（1）证明见解析；（2）；【应用】或2． 【解答】【探究】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵E为的中点， ∴， 由（1）知， ∴， 即， ∴； 【应用】解：如果，则，，则点E与点A重合，点F与点B重合，不符合题意， ②如果，则， ∵为的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 如果，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴点E为的中点， ∴， 综上，的长为或2， 故答案为：或2． 10．在矩形中，．沿过点B的直线折叠矩形，使点C落在边上点F处，折痕为． 【尝试】（1）如图1，与始终保持相似关系，请说明理由． 【探究】（2）随着折痕位置的变化，F点的位置随之发生变化．当时，是否存在点F，使？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【延伸】（3）如图2，折叠，使边落在上处，折痕为．若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解答】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴； （2）存在点F，使， ∵将沿翻折，使点C落在边上点F处， ∴，， 又∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， 由折叠知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 11．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在正方形中，连接对角线，E是线段边上一点，且，H是线段边上的动点，过点E作的垂线交线段于点F． 【初步感知】 （1）如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 （2）①如图2，当，试探究线段，，之间的数量关系，请直接写出结论； ②请探究线段，，之间数量关系的一般结论并证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②． 【解答】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是矩形，． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）①． 理由： 过H作，过F作． 由和均为等腰直角三角形得： ，． 由得，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ②． 理由： 如①中的图： ∵， ∴， ， 同①得∴， ∴， ∴． 射影定理 1．如图，中，，于点D，下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵，于点D， ∴，，． 故选：B． 2．在中，，于D，若，，则的值是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C． 【解答】解：根据射影定理得， 即， 所以． 故选：C． 3．如图，在中，，于D，，，则为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B． 【解答】解：由射影定理得， ， ∴． 故选：B． 4．如图，在中，，，垂足为点D，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B选项正确，不符合题意； 故C选项错误，符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．如图，中，，于点D，，E为斜边的中点， 则（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【解答】解：∵，， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，E为斜边的中点， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在矩形中，．对角线与相交于点O，过点D作的垂线，交 于点E，．则的值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C． 【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，在正方形中，、相交于点O，E为上一点，于点G，交于 点H，连结交于点P．若，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A． 【解答】解：∵于点G， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 又∵， ∴， 如图，过点G作于M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 8．已知在，，D是边中点，E在边上，且，于点F，，，则　 　． 【答案】． 【解答】解：延长与交于点H，过点A作，交的延长线于点N， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵D是边中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，，，，点D是的中点，连结，分别交、于点F、E．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点F为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　． 【答案】①②． 【解答】解：∵，点D是的中点，则由斜边中线定理可知，故①结论正确； ∵，点D是的中点， ∴， ∴， 又， ∴，故②结论正确； ∵， ∴， ∵，，由勾股定理可得：， ， ∵， ∴， ∴，即， 从而可得，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点F为位似中心的位似图形，故③结论不正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故④结论不正确． 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 10．已知，如图，在中，， ，点E为延长线上一点，连接， 过点C作于点F，交、于M、N两点． （1）若线段、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． ①求证：； ②证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）． 【解答】解：（1）①证明：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， 分别为线段、的长， ∴， ∴，故，故此方程有两个相等实根，即． ②证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，又， 即． （2）解：由，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 从而 ， 又， ∴． 11．如图，在中，，D是上一点，过点C作，垂足为E．连接 并延长交于点F． （1）求证：； （2）已知D为的中点， ①求证：； ②若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②． 【解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）①证明：由（1）知． ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②由（1）得， ∴． 又∵，，， ∴． ∵，设，， 根据勾股定理，得， ∴． 12．在梯形中，，．的延长线交射线于点M，过点A作的垂 线交的延长线于点N，交边于点E．已知，． （1）如图，求证：； （2）如果，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 又，， ∴，又． ∴． （2）解：∵，设，则， 设，由， ∴，即， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 即，可得． ∴，． 又， ∴， ∴， 即，则， ∵，， ∴， ∴，即． 故． 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$