5.3.1 第3课时 等比数列的性质 （课件）-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第三册（人教B版2019）

第3课时　 等比数列的性质 第五章　5.3.1　等比数列 1.理解等比中项的概念. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质. 3.能运用等比数列的性质简化计算. 学习目标 导语 在我们学习等比数列的过程中，发现它与等差数列有相似之处，这其实就是我们在这两类数列之间无形之中产生了类比思想，类比的前提大多为结论提供线索，它往往能把人的认知从一个领域引伸到另一个共性的领域，由此推出另一个对象也具有同样的其他特定属性的结论，有人曾说“类比使人聪颖，数学使人严谨，数学使人智慧”，今天我们就用类比的思想来研究等比数列具有哪些性质. 一、等比中项的定义 二、等比数列的性质 课时对点练 三、等比数列的应用 随堂演练 内容索引 等比中项的定义 一 问题　我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？ 提示　不能成立，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次， 假设－1，x,1这三个数成等比数列，则根据定义会有 ，即x2＝－1， 该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项.若1，x,4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数. 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的_________.即G2＝___. 注意点： (1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列； (2)只有同号的两个实数才有等比中项； (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. (4)如果一个数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等比中项，那么这个数列一定是等比数列. 等比中项 xy 知识梳理 7 例1　(1)在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7等于 A.－4 B.±4 C.－2 D.±2 √ 因为a4是a1与a7的等比中项， 即64＝－16a7，故a7＝－4. 8 (2)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝____，ac＝____. 因为b是－1，－9的等比中项， 所以b2＝9，b＝±3. 又等比数列中奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3， 而b又是a，c的等比中项， 故b2＝ac，即ac＝9. －3 9 9 (1)由等比中项的定义可知 所以只有当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项. (2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项. 反思感悟 10 因为1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列， 跟踪训练1　 √ 11 等比数列的性质 二 设数列{an}为等比数列，则 (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则___________. (2)若m，p，n成等差数列，则___________成等比数列. 注意点： (1)性质的推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz.该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (2)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an＝a2·an－1＝…. ak·al＝am·an am，ap，an 知识梳理 13 (3)等比数列的常见性质还有： ①在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N＋)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为qk＋1. 知识梳理 14 ④若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{lg an}是公差为lg q的等差数列；若数列{bn}是等差数列，公差为d，则数列 是以cd(c>0且c≠1)为公比的等比数列. 知识梳理 15 例2　已知{an}为等比数列. 在等比数列{an}中， 16 (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8； 由等比中项，化简条件得 即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0， ∴a6＋a8＝7. 17 (3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10. 18 利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题. (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，需要一定的思维能力. 反思感悟 19 跟踪训练2　(1)已知公比为 的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a16等于 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 因为a3a11＝16， 又因为an>0， 所以a7＝4， 所以a16＝a7q9＝32， 即log2a16＝5. 20 (2)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________. 21 方法一　因为{an}是等比数列， ＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50. 因为an>0， 所以a2＝ . 22 所以a8＝ . 23 等比数列的应用 三 例3　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个式子表示n(n∈N＋)年后这辆车的价值； 从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5×(1－10%)， a3＝13.5×(1－10%)2，…，an＝13.5×(1－10%)n－1. 由等比数列的定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n(万元). 25 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱(保留两位有效数字)? 由(1)得a5＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 26 等比数列实际应用的求解策略 (1)一般地，产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解. (2)建立等比数列模型进行运算时，往往涉及指数、对数方程或不等式的问题，要注意运算的正确性，还要善于进行估算，对于近似计算问题，答案要符合实际问题的需要. 反思感悟 27 跟踪训练3　某工厂2022年1月的生产总值为a万元，计划从2022年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2023年8月底该厂的生产总值为____________万元. a(1＋m%)19 28 设从2022年1月开始， 第n个月该厂的生产总值是an万元， 则an＋1＝an＋anm%， ∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列. ∴an＝a(1＋m%)n－1. ∴2023年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元). 29 1.知识清单： (1)等比中项的概念. (2)等比数列的常用性质. (3)等比数列的实际应用. 2.方法归纳：方程和函数思想. 3.常见误区：不注重运用性质，使解题过程烦琐或者性质运用不正确而出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知{an}，{bn}都是等比数列，那么 A.{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B.{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C.{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D.{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 √ 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 1 2 3 4 2.在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5等于 A.2 B.－2 C.±2 D.4 √ ∴a3＝1，a7＝4， 易知a5与a3和a7同号， ∴a5＝2. 1 2 3 4 3.一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为 √ 1 2 3 4 4.一个等比数列中，前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有____项. 设该等比数列为{an}，由已知a1a2a3＝2，an－2an－1an＝4及等比数列的性质，得(a1an)3＝8，所以a1an＝2，又因为a1a2a3·…·an＝64＝26＝(a1an)6，所以该数列有12项. 12 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于 A.6 B.－6 C.－12 D.12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，设其公比为q(q≠0)，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝(a1a9)·(a2a8)·(a3a7) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在等比数列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的两根，则a4a16＋a10等于 A.6 B.2 C.2或6 D.－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)对任意的等比数列{an}，下列说法一定正确的是 A.a1，a3，a9成等比数列 B.a1a3，a5a7，a9a11成等比数列 C.a2，a4，a8成等比数列 D.a3，a6，a9成等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等比数列{an}的公比为q， 则下标成等差数列对应的项成等比数列， 故A，C错误，D正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列{an}为等比数列，且a3＋a5＝π，则a4(a2＋2a4＋a6)＝____. 因为数列{an}为等比数列， 且a3＋a5＝π， 所以a4(a2＋2a4＋a6) π2 ＝(a3＋a5)2＝π2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若正项等比数列{an}满足a1a5＝4，当 取最小值时，数列{an}的公比是____. 2 因为a1a5＝4，所以由等比数列的性质可得a2a4＝4， 所以数列{an}的公比是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　因为等比数列共有5项， 即a1，a2，a3，a4，a5. 又因为2×3＝1＋5， 即a3＝±1. 又因为a3要与a1，a5同号，因此a3＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2016年底，将当地沙漠绿化了40%.从2017年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠.问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(参考数据：lg 2≈0.3，最后结果精确到整数) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该地区总面积为1,2016年底绿洲面积为a1＝40%＝ ，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2016年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1. 依题意知，an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，所以an＋1＝92%·an＋12%·(1－an)＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋1>50%， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.设各项均为正数的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2·…·a9)等于 A.38 B.39 C.9 D.7 √ 因为a4a8＝a5a7＝3a7且a7≠0， 所以a5＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是 A.{ }是等比数列 B.{anan＋1}是等比数列 C.{an＋an＋1}是等比数列 D.{lg|an|}是等比数列 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C中，取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故C错误； D中，若an＝1，则{lg|an|}不是等比数列，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于_____. 由于{an}是等比数列， －213 而a7＝－2. ∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 024积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为 A.1 011 B.1 012 C.1 013 D.2 024 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q. 由题意可得a2 024＝a1·a2·a3·…·a2 024， ∴a1·a2·a3·…·a2 023＝1， 又a1>1， ∴0<q<1，数列{an}为递减等比数列， a1 011>1，a1 012＝1，a1 013<1， 则当其前n项的乘积取最大值时， n的最大值为1 012. 16.已知{an}是等差数列，满足a1＝2，a4＝14，数列{bn}满足b1＝1，b4＝6，且{an－bn}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的公差为d， 所以an＝2＋(n－1)×4＝4n－2， 故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N＋). 设cn＝an－bn，则{cn}为等比数列. c1＝a1－b1＝2－1＝1， c4＝a4－b4＝14－6＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则cn＝2n－1，即an－bn＝2n－1. 所以bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋). 故{bn}的通项公式为bn＝4n－2－2n－1(n∈N＋). (2)若对任意n∈N＋，都有bn≤bk成立，求正整数k的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，bk应为数列{bn}的最大项. 由bn＋1－bn＝4(n＋1)－2－2n－4n＋2＋2n－1＝4－2n－1(n∈N＋). 当n<3时，bn＋1－bn>0，bn<bn＋1，即b1<b2<b3； 当n＝3时，bn＋1－bn＝0，即b3＝b4； 当n>3时，bn＋1－bn<0，bn>bn＋1，即b4>b5>b6， 所以k＝3或k＝4. ＝ 所以a＝a1a7， ＝⇒G2＝ab⇒G＝±， 若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则的值为 所以a＝＝2，b＝±＝±2， 所以的值为±1. A.± B. C.1 D.±1 ②若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，{|an|}，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，|q|，q2. ③若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. ∴a1aa5＝. ∵a2a4＝， (1)若a2a4＝，求a1aa5； ∴a＝a1a5＝a2a4＝， a＋2a6a8＋a＝49， 所以a＝16. 　5 所以a1a7＝a，a2a8＝a，a3a9＝a. 所以a·a·a＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9) 所以a4a5a6＝5. 方法二　因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝a·a2＝a＝5， 同理a4a5a6＝a＝ ＝5. 因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝a＝10， ∴＝1＋m%. ∴a＝a3a7＝4， 由等比数列的性质可得，a2a3a4＝a＝1， a6a7a8＝a＝64， 每次对折后，报纸的厚度构成公比为2的等比数列，面积构成公比为的等比数列，因此对折7次后，报纸的厚度为a×27＝128a，报纸的面积为b×7＝b. A.8a，b B.64a，b C.128a，b D.256a，b 根据等比数列的性质可知a1a5＝a⇒a5＝＝. 1.已知等比数列{an}中，a1＝1，a3＝，则a5等于 A.± B.－ C. D.± ∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6. A.2 B. C.3 D. 可知解得a1q＝，q3＝，所以第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝·＝. ＝a＝27.所以a5＝. 数列{an}的奇数项组成等比数列，故＝22＝4. 4.已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则等于 A.4 B.2 C.5 D. 因为anan＋1＝2n，所以an－1an＝2n－1(n≥2)，所以＝2(n≥2)， 由题意知a2＋a18＝－6，a2·a18＝4，所以a2<0，a18<0，故a10<0，所以a10＝－＝－2，因此a4·a16＋a10＝a＋a10＝2. 而a1a3＝a，a5a7＝a，a9a11＝a， 且＝＝q8，故B正确. ＝a4a2＋2a＋a4a6 ＝a＋2a3a5＋a ＋ 设正项等比数列{an}的公比为q， 因此＋≥2＝2， 当且仅当＝，即＝q2＝4，即q＝2(负值舍去)时，等号成立. 9.在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 方法一　依题意知，a1＝4，a5＝， 由等比数列的通项公式，得＝4×q4，解得q＝±. 当q＝时，插入的3个数分别为4×＝2,2×＝1,1×＝； 当q＝－时，插入的3个数分别为4×＝－2，(－2)×＝1,1×＝－. 因此，插入的3个数分别为2,1，或－2,1，－. 所以a＝a1a5＝4×＝1， 类似地，有a＝a1a3，a＝a3a5，而且a2与a4同号. 因此当a2＝＝＝2时， a4＝＝＝； 当a2＝－＝－＝－2时， a4＝－＝－＝－. 因此，插入的3个数分别为2,1，或－2,1，－. 即an＋1－＝，a1－＝－＝－， an＋ ∴是以－为首项，为公比的等比数列， ∴－·n>， ∴an－＝·n－1， ∴an＝－·n－1， ∴an＋1＝－·n. ∴n<， 即 ＝≈3， 则当n≥4时，不等式n<恒成立， 所以log3(a1a2·…·a9)＝log3a＝log339＝9. 由{an}是等比数列可得＝q(q为定值，n>1).A中，＝为常数，{}是等比数列，故A正确； B中，＝＝q2，{anan＋1}是等比数列，故B正确； 因为＋＝，＋＝， 13.在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝_____. － 又a8a9＝a7a10，所以＋＋＋＝＝＝－. ∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a， ∴a1a2a3…a13＝(a)6·a7＝a， ∴a1·a2 023＝a2·a2 022＝a3·a2 021＝…＝a＝1. 则d＝＝4， 设{cn}的公比为q，则q3＝＝8，故q＝2. $$